Mathematica与基础物理教学

柴连明 高伟

摘要：基于创新教育和教学手段现代化这两个主题，本文通过基础物理教学中几个典型实例阐述了将数学软件Mathematica与基础物理教学相结合的的一种新型基础物理教学模式。我们发现，将Mathematica软件和基础物理教学有机地结合起来，能帮助学生建立直观的物理图像，更好地理解物理概念，能激发学生的学习兴趣，培养学生独立思考的能力。

关键词：Mathematica软件;基础物理;教学模式1引言

基础物理课程指物理本科专业基础理论课，具体包括力学、热学、光学、电磁学和原子物理等课程。 学生对这些课程的学习效果不仅影响着对更深层次理论物理课程的理解和掌握，并且直接关系着物理专业学生培养的基本质量，这点在扩招后的新升本院校中表现的尤为重要。基础物理问题的解决一般涉及到许多高等数学方面的计算，而在求解时，一般都是采用手工推算的方法，这对于复杂的力学、电磁学、光学等问题的求解不仅耗时费力，且容易出错。另外，即使能够得到解析结果，却往往不能得到直观的物理图像。这些课程通常是与高等数学同步开设(如力学、热学)或者刚结束不久（如电磁学、光学、原子物理），导致学生对高等数学知识尚未来得及进一步深化，就已经进入了如何使用的问题。对高等数学知识学习与使用的同步或者间隔太短往往很大程度成为了抑制了学生对基础物理理解的瓶颈。随着信息技术的普及，在21世纪初很多高校开始将一些计算机软件引入基础物理教学，试图改变教学中存在的以上矛盾。然而，目前国内在这方面的进展并不理想，问题的症结在于：一方面需要遴选出适合现代化教学的理论物理内容，另一方面缺乏表现和显示这些内容的合适手段，因为找到一门与理论物理教学结合得较好的计算机语言并非易事。在理论物理研究者中，C语言和Fortran 语言已经应用得较为普遍，但对初学者而言，这些语言不容易上手，要想熟练地应用它们需要有一个漫长的过程。随后也有很多人提出将Matlab软件引入基础物理教学[1]。很多教學实践已经证明，在不涉及数值计算的问题情况下，Matlab程序代码式的语言不但没有让学生避开复杂数学运算的困扰，反而为他们增添了很多程序设计方面的麻烦，教学结果只能是事倍功半。Mathematica软件是美国Wolfram Research公司开发的数学软件，具有数值计算、符号计算和图像处理的强大功能，使用非常方便．它具有丰富的内部函数，仅需输入简单的命令就可以快速地进行解方程、微分、积分和解微分方程等计算，而这些运算又往往是在基础物理学生中阻拦学生的主要问题。同时，它还有友好的图形界面，只需输入简短的语句就可以绘出精美的二维和三维图形。Mathematica软件和其他数学软件相比，更加小巧（Mathematica4.0安装后容量仅一百兆比特，而Matlab则达到1G比特），功能却毫不逊色。因此，Mathemetica在科研和教学中有着广泛应用[2]．笔者在基础物理教学实践中发现，如果将Mathematica软件引入基础物理教学，不但可以有效地解决许多原本要用复杂的高等数学知识手工推导的问题，而且运算结果也可以通过Mathematica作图和动画得到直观的体现，更加有助于学生对物理规律的理解。

2应用举例

2.1 李萨如图像

对于不同频率的两个相互垂直的简谐振动，可以合成各种奇特的平面曲线。研究表明，如果两个相互垂直的简谐振动的频率成简单的整数比，例如1:1,1：2,1:3,2:3,3:5等，则合成运动的轨道是稳定的曲线，质点的运动也具有周期性，这种质点运动轨道图形称为利萨茹图形[3]。如两个简谐振动运动方程分别为其中m，n代表整数。可以用Mathematica命令在计算机上绘出两个简谐振动的合成图。并且可以用动画命令显示绘图的整个过程。取A=1，ω0=1，下面图1绘出频率比m:n=5:4，α=π/20时分别在t=π/2,π, 3π/2,2π的李萨如图。命令语句则很简单，并且与手写的数学表达式形式相似：

接着键入执行

即可按GIF形动画文件的格式将动画图片保存到名为lisaru.gif的文件中。该文件可使用著名的看图软件ACDSee查看其动画效果。

类似地，也可以绘出其他频率比的利萨茹图形，不同频率比的图形各不相同．由于图形花样与分振动频率比有关，因此可以通过利萨茹图形的花样判断二个分振动的频率比; 通过频率比可由已知频率测量未知频率，这在电学测量技术中占重要地位，可达到很高的精确度。

2驻波

振幅相同、而传播方向相反的两列简谐相干波叠加得到的振动称为驻波[3]。假设一列波沿 轴正方向传播，另一列沿着 轴负方向传播，它们的波方程可表示如下

其中A、ω和K分别为振幅、角频率和波数。当这两列波相遇会形成驻波。图2给出了当在不同时刻驻波的波形图，在Mathematica的界面中双击任意一个图，即可出现驻波的动画效果，这更有利于学生理解驻波这种特殊的波动行为。命令格式如下

3LCR电路暂态过程

在阶跃电压的作用下，从开始发生变化到逐渐趋于稳态的过程叫做暂态过程[4]。下面我们以暂态过程中典型的LCR电路放电过程为例，了解Mathematica处理该过程的简便性。

放电过程中系统的控制方程为

其中其中u，L、C和R分别为极板间电压、电感、电容和电阻值。我们假设L=1亨，R=300欧姆，初始电压e=20伏，以下是Mathematica求解过程：

输入语句：

得到方程的解为

然后输入语句

可以画出该函数对应的图像fig1。同理，容易得到R=2000Ω对应的图像fig2。为了方便比较，可以将两个图像用命令放在一张图中，如图3。

R=2000Ω

类似的，也很容易得到LRC电路充电过程的暂态曲线，由于篇幅限制，在此不做讨论。

4氢原子角向概率密度分布

图4表示了几种典型情况下氢原子的角向概率密度分布曲线，结果与教材[5]中完全一致，但执行语句只需要下面很简单几条。

3小结

通过以上的例子我们感受到，较之其他计算机语言，用Mathematica编程确实简洁明了。而将Mathematica软件和基础物理教学有机地结合起来，不但能直观地演示物理图像，而且能激发学生的学习激情，培养学生独立思考的能力。其牢牢把握住创新教育和教学手段现代化这两个主题，因此利用Mathematica辅助教学是一项极有意义的工作。本文只是应用了Mathematica计算和绘画两方面的功能，Mathematica还有许多丰富的功能有待利用。希望更多的高校教师能掌握并运用Mathematica 软件，共同促进基础物理教学思想和教学模式的现代化。

[参考文献]

[1]管靖,彭芳麟,胡静,等.理论力学教学现代化———“理论力学计算机模拟实验”课程的探索[J ].基础物理，2001，(8):38-40.

[2]张志涌.精通Mathematica[M].北京:航空航天大学出版社，2000:115.

[3]漆安慎,杜婵英.力学[M].北京:高等教育出版社，1997:5.

[4]赵凯华,陈熙谋.电磁学[M].北京:高等教育出版社，1985:6第二版.

[5]王永昌.近代物理学[M].北京:高等教育出版社，2006:5.