适用“除法”解决的排列组合题型

纪宏伟

一、问题的提出

首先看几个具体的实例：

例1用4个1号球，3个2号球，2个3号球摇出一个9位数的奖号，共有多少种可能的号码？

例2有6×6的方格中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有1辆车，每辆车占1格，则停放的方法有多少种？

例38人参加百米赛跑，若无同时到达终点情况，则甲比乙先到，乙又在丙之前到达的情况共有多少种？

例47个人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人身高各不相同，则甲、乙、丙三人从高到矮且自左向右的排法有多少？

例5某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级中，且每班安排2名，则不同的安排方案总数有多少？

例6某校一社团共有10名成员，从周一到周五每天安排两人值日，若甲、乙必须排在同一天，且丙、丁不能排在同一天，则不同的安排方案共有多少种？

认真梳理这几个例子，不难辨认例1和2属于不全相异元素的全排列问题，例3和4属于某几个元素顺序固定的问题（也即定序问题），例5和例6属于均匀分组之后再分配的问题，其中均匀分组包括全均匀分组和部分均匀分组.这些问题类型的解答都要用到本文所要阐述的一种解法——“除法”.

二、问题的分析

1.不尽相异的n个元素的全排列问题

在n个元素中，有n1个元素相同，又另有n2个元素相同，…，一直到另有nr个元素相同，且n1+n2+…+nr=n，这n个元素的全排列叫做不尽相异的n个元素的全排列问题，其计算公式是N=n！n1！n2！…nr！.

2.“定序”的排列问题

在n个元素中，其中有m个元素之间的顺序固定不变（不一定相邻）的排列称为“定序”的排列问题，其计算公式为：N=AnnAmm.类似的还可以推广到一般情形，即若有n个元素排成一列，其中有m个元素之间的顺序固定不变，而另外k个元素之间的顺序也一定，则共有AmnAmmAkk种不同的排法，也就是若某几个元素的顺序固定，则必须除以固定顺序的元素个数的全排列数.

3.不同元素的均匀分组分配问题

将n个不同的元素按照某种条件分成m组，成为分组问题，其中若均匀分成不编号的m组，则就是全均匀分组问题；若分成不编号的m组，但其中有r（r

4.圆排列或环状排列问题

n个不同的元素依照不同的顺序并按一定的方向（顺时针或逆时针）排成环状称为圆排列或环状排列问题，其排列数计算公式为：N=Annn.

三、问题的解答

由以上分析，不难得出例1～6的解答.

由以上过程可看出，“除法”是从所列式的形式特点来说的，其主要适用于不尽相异的n个元素的全排列问题，某些元素顺序确定的排列问题，不同元素的均匀分组分配问题.希望这对同学们的复习起到一定参考作用.

一、问题的提出

首先看几个具体的实例：

例1用4个1号球，3个2号球，2个3号球摇出一个9位数的奖号，共有多少种可能的号码？

例2有6×6的方格中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有1辆车，每辆车占1格，则停放的方法有多少种？

例38人参加百米赛跑，若无同时到达终点情况，则甲比乙先到，乙又在丙之前到达的情况共有多少种？

例47个人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人身高各不相同，则甲、乙、丙三人从高到矮且自左向右的排法有多少？

例5某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级中，且每班安排2名，则不同的安排方案总数有多少？

例6某校一社团共有10名成员，从周一到周五每天安排两人值日，若甲、乙必须排在同一天，且丙、丁不能排在同一天，则不同的安排方案共有多少种？

认真梳理这几个例子，不难辨认例1和2属于不全相异元素的全排列问题，例3和4属于某几个元素顺序固定的问题（也即定序问题），例5和例6属于均匀分组之后再分配的问题，其中均匀分组包括全均匀分组和部分均匀分组.这些问题类型的解答都要用到本文所要阐述的一种解法——“除法”.

二、问题的分析

1.不尽相异的n个元素的全排列问题

在n个元素中，有n1个元素相同，又另有n2个元素相同，…，一直到另有nr个元素相同，且n1+n2+…+nr=n，这n个元素的全排列叫做不尽相异的n个元素的全排列问题，其计算公式是N=n！n1！n2！…nr！.

2.“定序”的排列问题

在n个元素中，其中有m个元素之间的顺序固定不变（不一定相邻）的排列称为“定序”的排列问题，其计算公式为：N=AnnAmm.类似的还可以推广到一般情形，即若有n个元素排成一列，其中有m个元素之间的顺序固定不变，而另外k个元素之间的顺序也一定，则共有AmnAmmAkk种不同的排法，也就是若某几个元素的顺序固定，则必须除以固定顺序的元素个数的全排列数.

3.不同元素的均匀分组分配问题

将n个不同的元素按照某种条件分成m组，成为分组问题，其中若均匀分成不编号的m组，则就是全均匀分组问题；若分成不编号的m组，但其中有r（r

4.圆排列或环状排列问题

n个不同的元素依照不同的顺序并按一定的方向（顺时针或逆时针）排成环状称为圆排列或环状排列问题，其排列数计算公式为：N=Annn.

三、问题的解答

由以上分析，不难得出例1～6的解答.

由以上过程可看出，“除法”是从所列式的形式特点来说的，其主要适用于不尽相异的n个元素的全排列问题，某些元素顺序确定的排列问题，不同元素的均匀分组分配问题.希望这对同学们的复习起到一定参考作用.

一、问题的提出

首先看几个具体的实例：

例1用4个1号球，3个2号球，2个3号球摇出一个9位数的奖号，共有多少种可能的号码？

例2有6×6的方格中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有1辆车，每辆车占1格，则停放的方法有多少种？

例38人参加百米赛跑，若无同时到达终点情况，则甲比乙先到，乙又在丙之前到达的情况共有多少种？

例47个人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人身高各不相同，则甲、乙、丙三人从高到矮且自左向右的排法有多少？

例5某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级中，且每班安排2名，则不同的安排方案总数有多少？

例6某校一社团共有10名成员，从周一到周五每天安排两人值日，若甲、乙必须排在同一天，且丙、丁不能排在同一天，则不同的安排方案共有多少种？

认真梳理这几个例子，不难辨认例1和2属于不全相异元素的全排列问题，例3和4属于某几个元素顺序固定的问题（也即定序问题），例5和例6属于均匀分组之后再分配的问题，其中均匀分组包括全均匀分组和部分均匀分组.这些问题类型的解答都要用到本文所要阐述的一种解法——“除法”.

二、问题的分析

1.不尽相异的n个元素的全排列问题

在n个元素中，有n1个元素相同，又另有n2个元素相同，…，一直到另有nr个元素相同，且n1+n2+…+nr=n，这n个元素的全排列叫做不尽相异的n个元素的全排列问题，其计算公式是N=n！n1！n2！…nr！.

2.“定序”的排列问题

在n个元素中，其中有m个元素之间的顺序固定不变（不一定相邻）的排列称为“定序”的排列问题，其计算公式为：N=AnnAmm.类似的还可以推广到一般情形，即若有n个元素排成一列，其中有m个元素之间的顺序固定不变，而另外k个元素之间的顺序也一定，则共有AmnAmmAkk种不同的排法，也就是若某几个元素的顺序固定，则必须除以固定顺序的元素个数的全排列数.

3.不同元素的均匀分组分配问题

将n个不同的元素按照某种条件分成m组，成为分组问题，其中若均匀分成不编号的m组，则就是全均匀分组问题；若分成不编号的m组，但其中有r（r

4.圆排列或环状排列问题

n个不同的元素依照不同的顺序并按一定的方向（顺时针或逆时针）排成环状称为圆排列或环状排列问题，其排列数计算公式为：N=Annn.

三、问题的解答

由以上分析，不难得出例1～6的解答.

由以上过程可看出，“除法”是从所列式的形式特点来说的，其主要适用于不尽相异的n个元素的全排列问题，某些元素顺序确定的排列问题，不同元素的均匀分组分配问题.希望这对同学们的复习起到一定参考作用.