数学解题能力提升的策略与技巧

王恩奎, 李三平, 刘玉凤

(1. 陕西师范大学 数学与信息科学学院, 西安 710062; 2. 德惠市第8中学, 吉林 德惠 130300)

数学解题能力提升的策略与技巧

王恩奎1, 李三平1, 刘玉凤2

(1. 陕西师范大学 数学与信息科学学院, 西安 710062; 2. 德惠市第8中学, 吉林 德惠 130300)

数学课程在培养学生逻辑思维与分析推理能力上具有举足轻重的作用。解题能力的提高可以使学生巩固数学知识,培养数学思想、发散思维和创新意识。利用一些数学案例对提升数学解题的策略与技巧进行分析,提出了认真审题,灵活运用数学思想和方法,多练习、勤反思3个策略。认真审题,培养仔细的审题习惯,是提高学生解题能力的前提;其次必须牢牢掌握以学习过的数学思想和方法并且能在准确分析之后灵活地运用;最后多练习、勤反思,逐步巩固知识结构。在一题多解、一题多变、对比辨析及问题的延伸中,探索培养和提高学生解题能力的有效途径。

解题能力; 审题; 思想方法; 反思; 策略

0 引 言

提高高中学生分析和解决数学问题的能力,表达和交流能力,以及独立获取数学知识的能力,是《普通高中数学课程标准(实验稿)》对高中学生数学能力的进一步要求,因此,培养解题能力、发展思维能力已成为中学教学的一项重要任务[1]。学生获取解题能力的途径主要通过动手实践,这样有助于调动学生学习和探索的兴趣和积极性[2-3]。我们认为,学生在数学学习中,需要养成一些良好的学习习惯,才能更好的分析问题,将数学知识应用于解决问题中。

1 认真审题

审题能力的提高是提高解题的首要前提,就需要进行认真、细致地审题。审题要注意看得准确,分析清楚,要多琢磨,细推敲。因此,学生在解题时必须要养成仔细的审题习惯,对题目进行通读,对题目中的条件(存在于题目中的隐含条件尤为重要)、结论,给予整体认识,理清和呈现一道题的各个部分、各种因素、各个方面等等,分清主次,抓住问题的突破口,衔接好相关的知识点,通过对题目的深入研究整理出解决问题的思路,从而把一道数学题解决好,使学生认识到审好题、审对题是解好题的关键,养成认真审题的习惯,并逐步提高学生对数学题特别是繁和难数学问题的解读能力[4,12]。

例1 已知a,b,c都是实数,求证:2a-(b+c),2b-(a+c),2c-(a+b)三个数中,至少存在一个不大于零的数,而且至少有一个数不小于零。

如果学生在审题时,能发现[2a-(b+c)]+[2b-(a+c)]+[2c-(a+b)]=0,则此问题就可以利用反证法解决。

2 灵活运用数学思想方法

数学思想和方法是数学基本概念、理论的相互联系和本质所在,中学数学教学以渗透数学思想、观点为中心[5,14],学生在数学学习中应把基本思想方法作为出发点,所以,要提高数学解题能力,就必须牢牢掌握并且熟练应用基本的数学思想和方法。

2.1分类讨论的思想

要求学生在思考、解答问题时,一定要周全,分析所给题设条件,根据所给问题的特点和要求,分别讨论不同的情况,然后再逐一进行研究。

例2 学习高中数学必修5等比数列前项和,在得出公式时,就对公比q,分为q=1与q≠1两种情况进行分类讨论[6,13]。

图1 例3图

例3 如图1,在直径为20 cm的圆中,存在两条互相平行的弦AB,CD,长度分别为12、16 cm,请问AB,CD,之间的距离?

在解决此题时,很多学生只分析了一种情况:

1) 若AB,CD,在圆心两旁时,如图1所示。

利用勾股定理及弦中线定理,分别求出圆心到AB,CD,的距离,再求和;

而不少学生忽略了另一种情况[7]:

2) 如果两弦在圆心同旁时呢？即求出圆心到两弦的距离后作差。

2.2数形结合的思想

在数学学习中,“数”与“形”密不可分。在解决有些数学问题时,结合图形分析可使问题明朗化,问题的关键所在就能被轻易地发现,对于问题解决有很大的帮助。比如:1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题[8,11];2)2个函数图象交点个数问题等等,都可以借助数形结合的思想来更轻松地解决。

例4 已知抛物线y=-x2+2x+1,若直线l=t与抛物线总有交点,求t的取值范围。

此题考查函数的交点问题,若通过数形结合思想将抛物线画出来确定最值,再观察动直线与抛物线的相交情况,即可得到答案。

2.3化归与转化的思想

化归与转化思想是指在解决数学问题时,采用合适的方法将问题转换,进而解决问题的一种策略。通常,化难为易,化繁为简,化未知为已知。

图2 例5图

例5 如图2所示,矩形ABCD中,长为4,宽为2,DC为以AB为直径的半圆O的切线,切点为E,试求阴影图形的面积。

学生在进行此类问题的分析时,应注意到所求图形是不规则的,就可以结合转化思想将阴影图形转化为我们熟悉的规则图形进行求解。连接OE、交BD于点F,则ΔOFB≅ΔEFD,即阴影面积为圆O面积的1/4。

2.4函数思想

函数思想是把某些变化过程中一些相互制约变量用函数关系表示出来,研究这些量间的相互制约关系,从而解决问题。例如,构建函数模型并结合图象,研究方程根的范围、不等式的解集、参数范围,另外有些数列问题就可以通过函数的思想进行求解。

3 多练习、勤反思

数学定义、定理、公式、思想方法分散在不同阶段、不同内容的学习中,只有养成多练习、勤反思的学习习惯,才能使数学知识系统化、结构化,才能形成良好的数学认知结构,从而真正提高数学解题能力。既不束缚学生的发散思维和创新意识,又使学生的数学解题能力得到有效地培养[9]。

3.1检验运算结果

首先要检查结果的正确性,其次是否有可以依据的分析,最后解答是否详尽。

3.2讨论解题解法

重点在于解法的改进或者变换为其他解决方法;研究解法的关键和思维过程的分析;规律的总结,概括为一般性的解法程序等。以上的讨论对于学生思维能力的培养、思维的灵活性的增强、经验方法的总结、概括能力发挥着重要的作用。

3.3解题后的反思、总结及推广

学生积极思维的培养、发现问题的锻炼、创造突破能力的提高离不开解题后的反思、总结[10,15]。

例6 证明:顺次连结任何四边形的各边中点,所得四边形是平行四边形,可进一步发展推广为:证明:将任意四边形的各边中点顺次连接,那么原四边形对角线的和就是所得四边形的周长。

4 结 论

在数学课程的的学习中,学生必须要打好扎实的理论基础。养成细致的审题习惯,牢牢掌握必要的数学思想和方法并且能够加以灵活运用,在知识学习和理论实践中不断反思、总结、归纳,力求对知识题目举一反三,那么解题能力自然会得到培养和提高。只有经过以上训练,学生解题能力的提高才有根底,解题的功底才扎实。

[ 1 ]曹才翰,章建跃. 中学数学教学概论[M]. 北京:北京师范大学出版社, 2012.

[ 2 ]张美香. 培养学生动手下操作能力,调动思维积极性[J]. 教育实践与研究, 2003(7):55-56.

[ 3 ]张景斌,王尚志. 中学数学建模活动中为学生创造发展空间[J]. 数学教育学报, 2001,10(1):11-15.

[ 4 ]许娟娟. 数学教学中学生审题能力及其培养[J]. 教育与管理, 2011(24):127-129.

[ 5 ]李三平. 高观点下的中学数学[M]. 西安:陕西师范大学出版总社有限公司, 2013.

[ 6 ]王现枝. 数列的求和[J]. 考试周刊, 2008(8):44-45.

[ 7 ]李学军. 必修②《解析几何初步》习题课教学设计[J]. 中小学生数学:高中版, 2013(3):24-25,33.

[ 8 ]牟雪珍. 巧用数形结合思想的解题探究[J]. 中学数学, 2012(12):83-84.

[ 9 ]张馨月. 中学数学中解题步骤知识的教学思考[J]. 沈阳师范大学学报:自然科学版, 2012,30(1):119-121.

[10]丛远林. 解题后怎样反思[J]. 中学数学, 2013(8):85-87.

[11]蒋伟. 巧用数形结合,发挥奇特功效[J]. 中学教学参考, 2012(16):65.

[12]史博民. 高中数学审题能力培养研究[J]. 新课程学习(中), 2012(9):84.

[13]史丽霞,秦振. 数列中的分类讨论问题[J]. 高中数学教与学, 2012(19):12-14.

[14]张平. 略谈数学思想的渗透[J]. 吉林教育, 2012(12):76-77.

[15]马录刚. 数学解题后的反思[J]. 考试周刊, 2012(86):63.

Strategiesandskillstoenhancecapabilityofsolvingprobleminmathematics

WANG Enkui1, LI Sanping1, LIU Yufeng2

(1. College of Mathematics and Information Science, Shanxi Normal University, Xi’an 710062, China; 2. Dehui No.8 Middle School, Dehui 130300, China)

Mathematics has played a decisive role in cultivating the students’ logical thinking and analytical reasoning ability. Problem solving ability can enable students to consolidate the knowledge of mathematics, cultivate of mathematical thinking and divergent thinking, and form innovative consciousness. Using some mathematical analysis examples on how to improve the ability of solving mathematical problems of high school students, put forward carefully, flexible use of mathematical thought and method, practice more, often reflect on three strategies. Carefully examines the topic training habits is the premise to improve students ability of solving problems; secondly we must firmly grasp the mathematical thought and method to study and can be flexibly used in accurate analysis; finally, more practice and ground reflection, to consolidate the knowledge structure. In the extended multi solution to one problem, a changeful, comparative analysis and problems, explore the culture and improve strategies and skills of students ability of solving problems.

solving ability; examines the topic problem; thinking method; reflect; strategy

2013-07-28。

陕西省教育教学研究一般项目(GERP-13-09)。

王恩奎(1990-),男,辽宁鞍山人,陕西师范大学硕士研究生;

: 李三平(1962-),男,陕西周至人,陕西师范大学副教授,硕士研究生导师。

1673-5862(2014)02-0288-03

G633.6

: A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2014.02.035