对数据分布特征测度的分析

陈龙禹

摘要：统计数据经过整理和显示后，我们对数据分布的类型和特点就有了一个大致的了解，但这种了解只是表面上的，还缺少代表性的数量特征值准确地描述出统计数据的分布。对统计数据分布的特征，可以从三个方面进行测度和描述：一是分布的集中趋势；二是分布的离散程度；三是分布的偏态和测度。这三个方面分别反映了数据分布的测度特征。

关键词：数据分布；特征测度；分析

中图分类号：F270 文献标识码：A

文章编号：1005-913X（2014）08-0192-01

一、集中趋势的测度

（一）分类数据：众数

众数主要用于测度分类数据的集中趋势，同时也适用于顺序数据以及数值型数据集中趋势的测度位。需注意的是，只有当数据较多，具有明显集中趋势时，计算众数才有意义，才可以利用它来作为某种决策的参考依据。如纺织企业职工“性别”中“女性”人数最多，则“女性”为众数。再如鞋厂在制定各种尺码鞋子的生产计划时，市场上销量最多的型号是众数，也是生产厂家或经销商应该重点生产和销售的型号。

（二）数值型数据：平均数

平均数用于反映所有数值型数据的一段水平。根据计算方法的不同，有算术平均数和几何平均数之分。平均数表明所有变量值的集中趋势，受极端值的影响，它是集中趋势的最主要测度值，主要用于数值型数据集中趋势的测度。

（三）众数、中位数和平均数的比较

1.众数、中位数和均值的关系

从分布的角度看，众数始终是一组数据分布的最高峰值，中位数是处于一组数据中间位置上的值，而均值则是全部数据的算术平均。因此，对同一组数据计算众数、中位数和均值，三者之间具有以下关系：在单蜂分布条件下，如果数据的分布是对称的，则众数、中位数和均值必定相等，即众数=中位数=均值；如果数据是左偏分布，说明数据存在极小值，必然拉动均值向极小值一方靠，而众数和中位数由于位置是代表值，不受极值的影响，因此三者之间的关系表现为：均值<中位数<众数；如果数据是右偏分布，说明数据存在极大值，必然拉动均值向极大值一边靠，则众数<中位数<均值，如图1所示。

2.众数、中位数和均值的特点与应用场合

众数、中位数和算术平均数各自具有不同的特点，掌握它们之间的关系和各自的不同特点，有助于在实际应用中选择合理的测度值来描述数据的集中趋势。

（1）虽然对于顺序数据以及数值型数据也可以计算众数，但众数主要适合于作为分类数据的集中趋势测度值，而且众数只有在数据量较多时才有意义，当数据量较少时，不宣使用众数。

（2）中位数以及其他分位数主要适用于作为顺序数据的集中趋势测度值，虽对于顺序数据也可以使用众数，但以中位数为宜。

（3）算数平均数适合用于数值型数据的集中趋势测度值，特别是当分布比较法则，不存在极端值比较偏离现象时，用算述平均数达标集中趋势最合适，但平均值的主要缺点是易受数据极端值的影响，对于偏态分布的数据，平均数的代表性差。因此，当数据位偏态分布，特别是偏斜的程度较大时，可以考虑选择众数或中位数等位置代表，这时它们的代表性要比平均数好。

（4）算术平均数包含的信息是最多的、最丰富的，算术平均数具有两个重要的数学性质，即所有观测值与算术平均数的离差和等于零；所有观测值与算术平均势的离差平方和为最小。

二、离散程度的测度

集中趋势只是统计总体数据分布的特征之一。介于个体的差异性，总体中的各数据还呈现出与集中趋势的代表值和分散的离中趋势，这是数据的另一特征，它所反映的是各变量值远离其中心值的程度。因此，对统计数据的分析，除了要反映其分布的集中趋势外，还要反映统计数据的离散程度，以达到对数据变动规律的全面描述。

根据所依据数据类型的不同，数据离散程度的主要指标有极差、平均差、四分位差、方差、标淮差以及离散系数等。测度离散程度的主要作用如下。一是反映现象总体中变量分布的离中趋势。总体各单位的标志值存在差异，标志变动度表明总体各单位标志值的分散程度。变量值的差异越大，离散趋势也越大；反之，变量值越小，离散趋势也越小。二是衡量均值的代表性。均值作为总体数量标志的代表，其代表性取决于总体各数据的差异程度。总体中各数据的变异程度越大，均值的代表性就越小；反之，总体中各数据的变异程度越小，均值的代表性就越大。三是测定现象变动的均匀性或稳定性程度。离散程度能够表明生产过程的节奏性和其他活动的均衡性，可作为企业产品质量控制和评价经济管理工作的依据。

三、偏态与峰态的测度

（一）偏态的测度

在客观实际生活中，一些经济变量的次数分配往往是非对称型的，如收入分配、市场占有份额、资源配置等等，这些经济变量经分组后，总体各单位在不同的分组变量值下分布并不均匀对称，而呈现出偏斜的分布状况，统计上将其称为偏态分布。利用众数、中位数和平均数之间的关系就可以判断分布是对称、左偏还是右偏。显然，判断偏态的方向并不困难，但要测度偏斜的程度则需要计算偏态系数。统计分折中测定偏态系数的方法很多。

（二）峰态的测度

峰态是指数据分布的尖峭状况和程度。峰态是次数分布的另一个数量特征。这个特征是：某种次数分布与正态分布相比较，是尖顶还是平顶，其尖顶或平顶的程度如何。蜂度是次数分布曲线顶端的尖峭程度。峰度通常分为三种：正态峰度、尖峰度和平峰度。如果分布的形状比正态分布更高更瘦，则称为尖峰分布；如果分布的形状比正态分布更矮更胖，则称为平峰分布。峰态系数是统计中描述次数分布状态的又一个重要特征值，用以测定邻近数值周围变量值分布的集中或分散程度。

参考文献：

[1] 陈文丽，韩立岩.λ-可加模糊测度的一般形式及分布特征[J].模糊系统与数学，2007（1）.

[2] 张 红，王新生，余瑞林.基于Voronoi图的测度点状目标空间分布特征的方法[J].华中师范大学学报（自然科学版），2005（3）.

[责任编辑：文 筠]

摘要：统计数据经过整理和显示后，我们对数据分布的类型和特点就有了一个大致的了解，但这种了解只是表面上的，还缺少代表性的数量特征值准确地描述出统计数据的分布。对统计数据分布的特征，可以从三个方面进行测度和描述：一是分布的集中趋势；二是分布的离散程度；三是分布的偏态和测度。这三个方面分别反映了数据分布的测度特征。

关键词：数据分布；特征测度；分析

中图分类号：F270 文献标识码：A

文章编号：1005-913X（2014）08-0192-01

一、集中趋势的测度

（一）分类数据：众数

众数主要用于测度分类数据的集中趋势，同时也适用于顺序数据以及数值型数据集中趋势的测度位。需注意的是，只有当数据较多，具有明显集中趋势时，计算众数才有意义，才可以利用它来作为某种决策的参考依据。如纺织企业职工“性别”中“女性”人数最多，则“女性”为众数。再如鞋厂在制定各种尺码鞋子的生产计划时，市场上销量最多的型号是众数，也是生产厂家或经销商应该重点生产和销售的型号。

（二）数值型数据：平均数

平均数用于反映所有数值型数据的一段水平。根据计算方法的不同，有算术平均数和几何平均数之分。平均数表明所有变量值的集中趋势，受极端值的影响，它是集中趋势的最主要测度值，主要用于数值型数据集中趋势的测度。

（三）众数、中位数和平均数的比较

1.众数、中位数和均值的关系

从分布的角度看，众数始终是一组数据分布的最高峰值，中位数是处于一组数据中间位置上的值，而均值则是全部数据的算术平均。因此，对同一组数据计算众数、中位数和均值，三者之间具有以下关系：在单蜂分布条件下，如果数据的分布是对称的，则众数、中位数和均值必定相等，即众数=中位数=均值；如果数据是左偏分布，说明数据存在极小值，必然拉动均值向极小值一方靠，而众数和中位数由于位置是代表值，不受极值的影响，因此三者之间的关系表现为：均值<中位数<众数；如果数据是右偏分布，说明数据存在极大值，必然拉动均值向极大值一边靠，则众数<中位数<均值，如图1所示。

2.众数、中位数和均值的特点与应用场合

众数、中位数和算术平均数各自具有不同的特点，掌握它们之间的关系和各自的不同特点，有助于在实际应用中选择合理的测度值来描述数据的集中趋势。

（1）虽然对于顺序数据以及数值型数据也可以计算众数，但众数主要适合于作为分类数据的集中趋势测度值，而且众数只有在数据量较多时才有意义，当数据量较少时，不宣使用众数。

（2）中位数以及其他分位数主要适用于作为顺序数据的集中趋势测度值，虽对于顺序数据也可以使用众数，但以中位数为宜。

（3）算数平均数适合用于数值型数据的集中趋势测度值，特别是当分布比较法则，不存在极端值比较偏离现象时，用算述平均数达标集中趋势最合适，但平均值的主要缺点是易受数据极端值的影响，对于偏态分布的数据，平均数的代表性差。因此，当数据位偏态分布，特别是偏斜的程度较大时，可以考虑选择众数或中位数等位置代表，这时它们的代表性要比平均数好。

（4）算术平均数包含的信息是最多的、最丰富的，算术平均数具有两个重要的数学性质，即所有观测值与算术平均数的离差和等于零；所有观测值与算术平均势的离差平方和为最小。

二、离散程度的测度

集中趋势只是统计总体数据分布的特征之一。介于个体的差异性，总体中的各数据还呈现出与集中趋势的代表值和分散的离中趋势，这是数据的另一特征，它所反映的是各变量值远离其中心值的程度。因此，对统计数据的分析，除了要反映其分布的集中趋势外，还要反映统计数据的离散程度，以达到对数据变动规律的全面描述。

根据所依据数据类型的不同，数据离散程度的主要指标有极差、平均差、四分位差、方差、标淮差以及离散系数等。测度离散程度的主要作用如下。一是反映现象总体中变量分布的离中趋势。总体各单位的标志值存在差异，标志变动度表明总体各单位标志值的分散程度。变量值的差异越大，离散趋势也越大；反之，变量值越小，离散趋势也越小。二是衡量均值的代表性。均值作为总体数量标志的代表，其代表性取决于总体各数据的差异程度。总体中各数据的变异程度越大，均值的代表性就越小；反之，总体中各数据的变异程度越小，均值的代表性就越大。三是测定现象变动的均匀性或稳定性程度。离散程度能够表明生产过程的节奏性和其他活动的均衡性，可作为企业产品质量控制和评价经济管理工作的依据。

三、偏态与峰态的测度

（一）偏态的测度

在客观实际生活中，一些经济变量的次数分配往往是非对称型的，如收入分配、市场占有份额、资源配置等等，这些经济变量经分组后，总体各单位在不同的分组变量值下分布并不均匀对称，而呈现出偏斜的分布状况，统计上将其称为偏态分布。利用众数、中位数和平均数之间的关系就可以判断分布是对称、左偏还是右偏。显然，判断偏态的方向并不困难，但要测度偏斜的程度则需要计算偏态系数。统计分折中测定偏态系数的方法很多。

（二）峰态的测度

峰态是指数据分布的尖峭状况和程度。峰态是次数分布的另一个数量特征。这个特征是：某种次数分布与正态分布相比较，是尖顶还是平顶，其尖顶或平顶的程度如何。蜂度是次数分布曲线顶端的尖峭程度。峰度通常分为三种：正态峰度、尖峰度和平峰度。如果分布的形状比正态分布更高更瘦，则称为尖峰分布；如果分布的形状比正态分布更矮更胖，则称为平峰分布。峰态系数是统计中描述次数分布状态的又一个重要特征值，用以测定邻近数值周围变量值分布的集中或分散程度。

参考文献：

[1] 陈文丽，韩立岩.λ-可加模糊测度的一般形式及分布特征[J].模糊系统与数学，2007（1）.

[2] 张 红，王新生，余瑞林.基于Voronoi图的测度点状目标空间分布特征的方法[J].华中师范大学学报（自然科学版），2005（3）.

[责任编辑：文 筠]

摘要：统计数据经过整理和显示后，我们对数据分布的类型和特点就有了一个大致的了解，但这种了解只是表面上的，还缺少代表性的数量特征值准确地描述出统计数据的分布。对统计数据分布的特征，可以从三个方面进行测度和描述：一是分布的集中趋势；二是分布的离散程度；三是分布的偏态和测度。这三个方面分别反映了数据分布的测度特征。

关键词：数据分布；特征测度；分析

中图分类号：F270 文献标识码：A

文章编号：1005-913X（2014）08-0192-01

一、集中趋势的测度

（一）分类数据：众数

众数主要用于测度分类数据的集中趋势，同时也适用于顺序数据以及数值型数据集中趋势的测度位。需注意的是，只有当数据较多，具有明显集中趋势时，计算众数才有意义，才可以利用它来作为某种决策的参考依据。如纺织企业职工“性别”中“女性”人数最多，则“女性”为众数。再如鞋厂在制定各种尺码鞋子的生产计划时，市场上销量最多的型号是众数，也是生产厂家或经销商应该重点生产和销售的型号。

（二）数值型数据：平均数

平均数用于反映所有数值型数据的一段水平。根据计算方法的不同，有算术平均数和几何平均数之分。平均数表明所有变量值的集中趋势，受极端值的影响，它是集中趋势的最主要测度值，主要用于数值型数据集中趋势的测度。

（三）众数、中位数和平均数的比较

1.众数、中位数和均值的关系

从分布的角度看，众数始终是一组数据分布的最高峰值，中位数是处于一组数据中间位置上的值，而均值则是全部数据的算术平均。因此，对同一组数据计算众数、中位数和均值，三者之间具有以下关系：在单蜂分布条件下，如果数据的分布是对称的，则众数、中位数和均值必定相等，即众数=中位数=均值；如果数据是左偏分布，说明数据存在极小值，必然拉动均值向极小值一方靠，而众数和中位数由于位置是代表值，不受极值的影响，因此三者之间的关系表现为：均值<中位数<众数；如果数据是右偏分布，说明数据存在极大值，必然拉动均值向极大值一边靠，则众数<中位数<均值，如图1所示。

2.众数、中位数和均值的特点与应用场合

众数、中位数和算术平均数各自具有不同的特点，掌握它们之间的关系和各自的不同特点，有助于在实际应用中选择合理的测度值来描述数据的集中趋势。

（1）虽然对于顺序数据以及数值型数据也可以计算众数，但众数主要适合于作为分类数据的集中趋势测度值，而且众数只有在数据量较多时才有意义，当数据量较少时，不宣使用众数。

（2）中位数以及其他分位数主要适用于作为顺序数据的集中趋势测度值，虽对于顺序数据也可以使用众数，但以中位数为宜。

（3）算数平均数适合用于数值型数据的集中趋势测度值，特别是当分布比较法则，不存在极端值比较偏离现象时，用算述平均数达标集中趋势最合适，但平均值的主要缺点是易受数据极端值的影响，对于偏态分布的数据，平均数的代表性差。因此，当数据位偏态分布，特别是偏斜的程度较大时，可以考虑选择众数或中位数等位置代表，这时它们的代表性要比平均数好。

（4）算术平均数包含的信息是最多的、最丰富的，算术平均数具有两个重要的数学性质，即所有观测值与算术平均数的离差和等于零；所有观测值与算术平均势的离差平方和为最小。

二、离散程度的测度

集中趋势只是统计总体数据分布的特征之一。介于个体的差异性，总体中的各数据还呈现出与集中趋势的代表值和分散的离中趋势，这是数据的另一特征，它所反映的是各变量值远离其中心值的程度。因此，对统计数据的分析，除了要反映其分布的集中趋势外，还要反映统计数据的离散程度，以达到对数据变动规律的全面描述。

根据所依据数据类型的不同，数据离散程度的主要指标有极差、平均差、四分位差、方差、标淮差以及离散系数等。测度离散程度的主要作用如下。一是反映现象总体中变量分布的离中趋势。总体各单位的标志值存在差异，标志变动度表明总体各单位标志值的分散程度。变量值的差异越大，离散趋势也越大；反之，变量值越小，离散趋势也越小。二是衡量均值的代表性。均值作为总体数量标志的代表，其代表性取决于总体各数据的差异程度。总体中各数据的变异程度越大，均值的代表性就越小；反之，总体中各数据的变异程度越小，均值的代表性就越大。三是测定现象变动的均匀性或稳定性程度。离散程度能够表明生产过程的节奏性和其他活动的均衡性，可作为企业产品质量控制和评价经济管理工作的依据。

三、偏态与峰态的测度

（一）偏态的测度

在客观实际生活中，一些经济变量的次数分配往往是非对称型的，如收入分配、市场占有份额、资源配置等等，这些经济变量经分组后，总体各单位在不同的分组变量值下分布并不均匀对称，而呈现出偏斜的分布状况，统计上将其称为偏态分布。利用众数、中位数和平均数之间的关系就可以判断分布是对称、左偏还是右偏。显然，判断偏态的方向并不困难，但要测度偏斜的程度则需要计算偏态系数。统计分折中测定偏态系数的方法很多。

（二）峰态的测度

峰态是指数据分布的尖峭状况和程度。峰态是次数分布的另一个数量特征。这个特征是：某种次数分布与正态分布相比较，是尖顶还是平顶，其尖顶或平顶的程度如何。蜂度是次数分布曲线顶端的尖峭程度。峰度通常分为三种：正态峰度、尖峰度和平峰度。如果分布的形状比正态分布更高更瘦，则称为尖峰分布；如果分布的形状比正态分布更矮更胖，则称为平峰分布。峰态系数是统计中描述次数分布状态的又一个重要特征值，用以测定邻近数值周围变量值分布的集中或分散程度。

参考文献：

[1] 陈文丽，韩立岩.λ-可加模糊测度的一般形式及分布特征[J].模糊系统与数学，2007（1）.

[2] 张 红，王新生，余瑞林.基于Voronoi图的测度点状目标空间分布特征的方法[J].华中师范大学学报（自然科学版），2005（3）.

[责任编辑：文 筠]