基于稳健加权总体最小二乘的点云数据平面拟合*

欧江霞 李明峰 王永明 徐 燕

1)南京工业大学地球空间信息研究中心，南京 210009

2)武汉大学测绘学院，武汉 430079

基于稳健加权总体最小二乘的点云数据平面拟合*

欧江霞1)李明峰1)王永明2)徐 燕1)

1)南京工业大学地球空间信息研究中心，南京 210009

2)武汉大学测绘学院，武汉 430079

针对经验权值偏差及扫描数据异常点对传统加权整体最小二乘点云数据平面拟合精度的影响，提出既可自适应修正观测向量权值及系数矩阵权值，又能剔除异常数据的稳健加权整体最小二乘算法。将新算法应用于拟合不同扫描距离获取的点云数据，算例表明，与常规方法相比，该算法的单位权中误差较小，平面拟合精度较优。

点云数据;平面拟合;最小二乘;稳健估计;权值

在点云数据平面拟合过程中，若仅观测向量含有随机误差，则可通过建立高斯-马尔科夫模型，采用最小二乘(least squares，LS)法求取平面参数的最或然值。由于受观测条件、仪器精度等各种因素的影响，参与平面参数解算的所有观测值均含有一定的随机误差，此时可采用顾及观测向量误差与系数矩阵误差的总体最小二乘(total least squares，TLS)方法［1－4］。若获取的观测向量精度不等，则可根据每个观测向量的精度确定其相对权值，并引入加权总体最小二乘(weighted total least squares，WTLS)方法［5－7］进行参数解算，提高参数的精确度。传统的加权最小二乘模型中的权值根据经验设定，缺乏严密性。对此，本文提出基于稳健估计的加权总体最小二乘(robust weighted total least squares，RWTLS)点云数据平面拟合算法，即在模型参数的迭代解算过程中自适应地修正观测向量权值与系数矩阵权值，使各观测向量的权值趋于合理，提高权值的可靠性，同时以3倍距离标准差为阈值，剔除异常数据，提高数据的可信度。将新算法应用于三维激光扫描点云数据平面拟合，验证了其适用性。

1 稳健加权最小二乘平面拟合算法

1.1 加权最小二乘基本原理

点云数据平面拟合函数模型为:

式中，a、b、c为待求平面拟合参数。顾及观测向量误差与系数矩阵误差的EIV(errors-in-variable)模型为:

式中，Z为含有随机误差ez的n×1维观测向量，A是含有随机误差EA的n×m维系数矩阵，ξ为待估参数:

随机误差ez与EA的统计性质如下:

式中，“⊗”为Kronecker积，vec()为矩阵拉直变换，σ20为未知方差分量，QZ、QA为ez与eA的对称、非奇异协因数阵，且有:

式中，PZ为观测值权阵，PA为系数阵A的权阵，P0、PXY分别为系数阵A的行向量权阵及列向量矩阵。

加权总体最小二乘的参数估计准则为:

1.2 定权准则

由于系数矩阵A第三列为常数，不需要修正，则A的列向量权阵为:

入射角越小时，点云数据的点位精度越高;反之，精度越低。因此，可将入射角余弦值cosθi作为每个点云数据相应的权值［8－10］。若点云数据在x、y、z三个方向等精度获取，则观测值权阵PZ及系数阵A的行向量权阵PXY定义如下:

1.3 稳健加权总体最小二乘参数解算

参照非线性最小二乘的牛顿-高斯迭代算法，式(2)可改写成如下形式:

式中，λ为n×1维拉格朗日乘数，通过对式(9)求导、求极值可计算出λ及ξ的值。结合文献［5－6］中WTLS迭代算法与稳健估计的选权迭代思想［11］，并顾及点云数据的特点，提出稳健加权总体最小二乘算法。具体解算过程如下:

1)在利用总体最小二乘法求得平面参数估值的基础上，计算各点的入射角余弦初始值cosθi(0)，并根据式(6)、(7)设定A的列向量权阵P0及A的行向量初始权阵PXY(0)、观测值初始权阵PZ(0);

2)求取参数 ξ =［a，b，c］T的迭代初始值:

式中，Q0为 P0的广义逆［5，10］;

6)计算点至平面的距离di、距离标准差σ:

式中，n为总观测数。若di＞3σ，则认为该点为异常点，删除;反之，保留;

8)计算单位权中误差及平面拟合精度:

2 算例分析

利用徕卡C10三维激光扫描仪分别扫描距其20、30 m的标准反射板(反射率为90%)，获得两组点云数据(图1)。

分别利用 LS、TLS、WTLS及 RWTLS法对两个样本点云数据进行平面拟合。本文采用奇异值分解(SVD)求解 TLS 参数估值［1，3］;依据式(6)、(7)设定WTLS中A的列向量权阵P0及A的行向量权阵PXY、观测值权阵PZ，并将其作为RWTLS中对应权阵的初始值。各方法计算得到的平面参数及精度评定因子如表1、2所示。

图1 实验样本的点云数据Fig.1 Point clouds in the experiments

表1中，各方法求得的拟合参数差异较小，其中，由于未顾及各观测值的点位精度，TLS法的单位权中误差及平面拟合精度最大，拟合效果最差;而WTLS以各点入射角为权值，建立加权解算模型，得到较合理的平面参数解;RWTLS在WTLS的基础上，在解算过程中自适应地修正观测向量权值及系数矩阵权值，同时以3倍距离标准差为阈值，剔除扫描数据中的异常点，通过迭代计算，获得最优参数解，其精度相对LS法、TLS法及WTLS法分别提高了57%、62%、12%。

由表2可知，由于扫描距离较远，扫描数据受入射角及外界信号干扰等因素的影响也随之增加，各方法求得的平面参数差异较大，总体拟合精度较低。其中，WTLS法的单位权中误差及平面拟合精度最大，表明根据先验知识设定的权值与实际权值存在较大偏差，且一旦赋予了错误的权值进行参数解算，所求参数解的可信度较低，拟合精度远远低于其他各种方法。而RWTLS法在解算过程中根据数据特点不断修正权值，获得了最精确的平面参数解及最好的拟合效果。

表1 20 m处点云数据拟合精度比较Tab.1 Comparison of fitting accuracy with the point clouds from 20 m

表2 30 m处点云数据拟合精度比较Tab.2 Comparison of fitting accuracy with the point clouds from 30 m

3 结语

顾及观测向量误差及系数矩阵误差的WTLS点云数据平面拟合法，在基于合理权值的前提下，可获得比LS法、TLS法更好的拟合效果;而当权值存在偏差时，若不能得到修正，其拟合精度将大大降低。RWTLS法对所有误差进行了最小化约束，并根据数据特点，不断修正观测向量权值及系数矩阵权值，同时在拟合过程中设置阈值，剔除异常数据，最终获得最为精确的平面参数解，体现了该方法在点云数据平面拟合中较好的适用性。

WTLS法及RWTLS法中权值的设置缺少统一的原则，往往通过经验确定，RWTLS法虽在迭代过程中修正权值，但也增加了运算次数。因此，如何获取较精确合理的权阵初始值还需进一步研究。

1 鲁铁定，陶本藻，周世健.基于整体最小二乘法的线性回归建模和解法［J］.武汉大学学报:信息科学版，2008，33(5):504 － 507.(Lu Tieding，Tao Benzao，Zhou Shijian.Modeling and algorithm of linear regression based on total least squares［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2008，33(5):504 －507)

2 鲁铁定，周世健.总体最小二乘的迭代解法［J］.武汉大学学报:信息科学版，2010，35(11):1 351 －1 354.(Lu Tieding ，Zhou Shijian.An iterative algorithm for total least squares estimation［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2010，35(11):1 351 －1 354)

3 官云兰，刘绍棠，周世健.基于整体最小二乘的稳健点云数据平面拟合［J］.大地测量与地球动力学，2011(5):80－ 83.(Guan Yunlan，Liu Shaotang，Zhou Shijian.Robust plane fitting of point clouds based on TLS［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2011(5):80 －83)

4 Burkhard S，Yaron A F.On the multivariate total leastsquares approach to empirical coordinate transformations［J］.Journal of Geodesy.2008，82(7):373 －383.

5 Burkhard S，Andreas W.On weighted total least-squars adjustment for linear regression［J］.Journal of Geodesy，2008，82(6):415－421.

6 Shen Y Z，Li B F，Felus Y A.An iterative solution of weighted total least-squares adjustment［J］.Journal of Geodesy，2010，85(4):229 －238.

7 杨仕平，范东明，龙玉春.加权总体最小二乘算法的改进［J］.大地测量与地球动力学，2013(1):48 －52.(Yang Shiping，Fan Dongming，Long Yuchun.An improved weighted total least squares algorithm［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2013(1):48 － 52)

8 Bucksch A，Lindenbergh R C，Van R J.Error budget of terrestrial laser scanning:influence of the intensity remission on the scan quality［R］.Novosibirsk:III International Scientific Congress Geo-Siberia，2007.

9 Soudarissanane S，Lindenbergh R，Menenti M.Teunissen.Incidence angle influence on the quality of terrestrial laser scanning points［C］.ISPRS Workshop Laserscanning，Paris，2009.

10 袁庆，楼立志，陈玮娴.基于加权整体最小二乘的点云数据平面拟合法［J］.大地测量与地球动力学，2011(6):1－ 3.(Yuan Qing，Lou Lizhi，Chen Weixian.Applying weighted total least-squares to the plane point cloud fitting of terrestrial laser scanning［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2011(6):1 －3)

11 王新洲，陶本藻，邱卫宁.高等测量平差［M］.北京:测绘出版社，2006.(Wang Xinzhou，Tao Benzao，Qiu Weining.Advanced surveying adjustment［M］.Beijing:Survey and Mapping Press，2006)

PLANE FITTING OF POINT CLOUDS BASED ON ROBUST WEIGHTED TOTAL LEAST SQUARES

Ou Jiangxia1)，Li Mingfeng1)，Wang Yongming2)and Xu Yan1)
1)Institute of Geo-Spatial Information，Nanjing University of Technology，Nanjing 210009
2)School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan430079

A method of conventional weighted total least squares was proposed based on the robust weighted total least squares for eliminating the influences of point clouds anomalous points in laser scanning data on fitting precision.The method can be used to correct adaptively the weight of observation vector and and coefficient matrix，and remove anomalous data.The result of fitting analysis with the point clouds from different distances shows that the fitting accuracy with the method is better than the conventional methods.

point clouds;plane fitting;least square;robust estimation;weight

P207

A

1671-5942(2014)03-0160-04

2013-11-04

国家自然科学基金项目(41274009);江苏省研究生科研创新计划项目(CXLX13_422);南京市科技计划项目(201101069);江苏省测绘科研项目(JSCHKY201108)。

欧江霞，男，1989年生，硕士生，主要研究方向:大地测量数据处理方法研究。E－mail:oujx0512@163.com。