浅析微积分发展史在教学中的运用

陈洁

摘 要： 微积分是学习高等数学各个分支必不可少的基础，也是学习和掌握近代任何一门自然科学和工程技术的工具，因此微积分的教学是至关重要的。本文分析了在微积分的教学中如何合理地运用微积分发展史，激发学生的学习兴趣。

关键词： 微积分 数学史 数学家

从十七世纪开始，随着社会的不断进步和生产力的发展，数学开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，微积分不断完善成一门学科。微积分给数学注入了旺盛的生命力，使数学获得了极大的发展，取得了空前繁荣。

微积分，是研究极限、微分、积分和无穷级数的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。而对于从事微积分教学的教师来说，如何让学生更快更好地转变数学思维模式，如何让学生更深地理解极限、导数、微分、积分等一系列难懂的数学概念，如何提高学生学习微积分兴趣，使他们了解微积分的文化价值，感受导数在解决实际问题的作用，这是一个值得研究的问题。卡约黎在1893年出版的《数学史》前言中强调要把数学史当做一个数学教学的工具。

一、通过数学家的介绍激发学生的学习兴趣

数学课堂的导入是数学教学中重要的环节，好的课题导入能够集中学生的注意力，引起学生的兴趣，点燃学生的思维火花，增强学生思维的广阔性和灵活性。在微积分教学中，如果开始就直接介绍极限的概念，对于部分学生来说，就很抽象、晦涩、乏味，就会使他们毫无学习兴趣。李正银在《数学教学中的德育渗透艺术》中提出可以在数学教育中应用数学史：1.讲述数学家的故事。2.让学生知道数学发展历史中饱含了数学家的艰辛。3.数学家的创造历程。

克莱因在《古今数学思想》中指出：“学生不仅能从数学家的艰苦漫长工作中，学习到知识、获得经验，还能获得不怕失败的勇气。”因此，在微积分的教学中，可以先介绍一些有关数学家的生平简历，促使学生更好地认识微积分的价值，更深刻了解微积分的魅力所在，从而激发学生数学学习兴趣和求知欲。

微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念，求积的无限小方法，微分与积分的互逆关系。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。因此提起微积分的历史，人们自然会想到牛顿和莱布尼兹，这主要是因为他们提出了微积分的基本概念和运算方法，建立了著名的牛顿—莱布尼兹公式。他们对微积分建立的历史功绩是不容怀疑的。

牛顿Isaac Newton（1642—1727）是伟大的英国物理学家、数学家、天文学家，出生于林肯郡的一个农村家庭。1661年进剑桥大学三一学院学数学，1665年毕业，获学士学位。1669年，牛顿受巴罗博士推举而继承他的数学教授职位。1689和1701年牛顿两次作为剑桥大学代表被选入议会。1703年起任英国皇家学会会长。牛顿一生未婚。1727年3月20日（新历3月31日）因肾结石症在伦敦逝世。为了颂扬这位伟大的学者，当时英国著名诗人A.波普（1688—1744）为牛顿写了一个碑铭，镶嵌在牛顿出生的房屋墙壁上，大意是“道法自然，久藏玄冥；天降牛顿，万物生明”。

牛顿最卓越的数学成就是微积分的创立。牛顿是为了解决运动问题，才创立这种和物理概念直接联系的数学理论的，牛顿称之为“流数术”。它所处理的一些具体问题，如切线问题，求积问题，瞬时速度问题，以及函数的极大和极小值问题等，在牛顿之前已经有人研究了。但牛顿超越了前人，他站在了更高的角度，对以往分散的努力加以综合，将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法——微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最关键的一步，为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元。

莱布尼兹（Gottfriend Wilhelm Leibniz，1646—1716）是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库作出了不可磨灭的贡献。

莱布尼兹出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲出生在一个教授家庭。莱布尼兹的父亲在他年仅6岁时便去世了，给他留下了丰富的藏书。15岁时，他进入莱比锡大学学习法律，一进校便跟上了大学二年级标准的人文学科的课程，在听了教授讲授欧几里得的《几何原本》的课程后，莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣。17岁时他在耶拿大学学习了短时期的数学，并获得了哲学硕士学位。

后来，莱布尼兹深受帕斯卡事迹的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡尔、费尔马、帕斯卡等人的著作。1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员。此时，他对数学和自然科学产生了浓厚的兴趣，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉，共同奠定了微积分学。1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆长。

1684年莱布尼茨发表了数学史上第一篇正式的微积分文献《一种求极限值和切线的新方法》。这篇文献是他自1673年以来的微积分研究的概括与成果，其中定义了微分，广泛采用了微分符号dx、dy，还给出了和、差、积、商及乘幂的微分法则，同时包括了微分法在求切线、极大、极小值及拐点方面的应用。牛顿建立微积分是从运动学的观点出发，而莱布尼兹则从几何学的角度考虑，所创立的微积分符号远远优于牛顿符号，有效促进了微积分学的发展。

二、微积分概念中引入数学史的介绍

微积分的根基问题主要是求速度与距离、切线和面积这四类科学问题。在微积分发展历史上，数学家从这些问题中得到很多启示并且发明了许多成果，在数学课堂教学中，教师同样可以利用这些问题启发学生思考，激发学生的创造力。在概念教学中应用数学史的材料，让学生了解概念的历史背景和现实背景，不仅有利于学生接受新概念，概念的存在性也会很自然地被学生所认识。

例如，在极限概念中引入数学史的介绍，极限思想是高等数学中重要思想之一，它贯穿了高等数学从始至终的教学内容，所以对极限思想的理解和掌握将直接影响现实生活中对数学工具的运用。

极限法的思想可以追溯到古代。刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始极限观念的应用。古希腊人的穷竭法蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于简接证法——归谬法完成有关证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归谬法证明步骤。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用的概念的方向”。

极限法的进一步发展与微积分的建立紧密联系。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到很大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在晚期他们都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS/Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。

随着社会的发展和人类文明的不断进步，对教师教学水平的要求越来越高。其中数学是其他所有科学的基础，教学时要讲求方法策略。对高等数学的教育者来说，其任务不仅是在课堂上把知识传授给学生，更重要的是让数学本身吸引学生，让学生明白微积分的产生是与社会发展紧密相关，在生产生活中是有着深刻的实际意义的，从而激起学生学习数学和研究数学的无限热情。也就是说，高校数学教师不能只是教授课本上的数学知识，还应该传播数学思想方法和数学文化。

参考文献：

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