浅谈方程组的同解原理在初中数学中的应用
2014-09-18张剑
张剑
摘要：本文通过对初中数学中常见的解方程组的问题，结合《代数教材教法》中方程组的同解原理举例论述，从而阐述了初中数学方程组的解法和技巧，使学生在解方程组时有章可循、有据可依，全面调动了学生的积极性。
关键词：方程组的同解原理；方程组的解法；举例应用
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）36-0088-01
解方程组的基本思想是“消元”和“降次”。消元的方法主要是代入法和加减法，降次的方法一般是换元法和因式分解法。
为了表达简练，规定记号A（x·y），B（x·y）表示含有未知数x、y的二元二次整式（例如A=x2-4y2+x+3y-1）；规定记号M（x、y），N（x、y）表示含有未知数x、y的二元一次整式（如M（x·y）=2x-y-1）。
一、方程组的同解原理1、2及其应用
定理1：如果方程M（x·y）=0与N（x·y）=0是同解方程，那么方程组：
（1）A（x·y）=0，M（x·y）=0；
（2）A（x·y）=0，N（x·y）=0.
是同解方程组（摘自《初等代数教材教法》第267页定理13）。
这个定理告诉我们，方程组中某一个方程变形后与未变方程组成的方程组是同解方程组。
定理2：已知y=ax+b（a≠0），把y代入A（x·y）中的y处，消去y，得到一个只含x的式子，记为P（x），那么方程组：
（1）A（x·y）=0，y=ax+b（a≠0）；与（2）P（x）=0，y=ax+b（a≠0）.
是同解方程组（摘自《初等代数教材教法》第269页定理15）。
这个定理告诉我们，把一个方程代入另一个方程所得的方程与被代入方程组成的方程组是同解方程组，它是代入消元法的依据。
例1 解方程组：
x2-4y2+x+3y-1=0， j2x-y-1=0； k
解：由②得y=2x-1 ③
由于②与③同解，由定理1，得：
x2-4y2+x+3y-1=0， m2x-y-1=0； n
由定理2，得：
x2-4（2x-1）2+x+3（2x-1）=0，y=2x-1；
化简，得15x2-23x+8=0， o2x-y-1=0； p
（在没有根据以前，学生对⑥中解得的x1=1，x2=■代入①、②还是③呢？无法确定）。可求得原方程组的解（略）。
二、方程组的同解原理3及其应用
定理3：方程组：
（1）A（x·y）=0，M（x·y）·N（x·y）=0.与下列两个方程组：
（2）A（x·y）=0，M（x·y）=0.或A（x·y）=0，N（x·y）=0.是同解方程组（摘自《初等代数教材教法》第270页定理16）。
这个定理告诉我们，某一个方程能用分解因式法降次时，可以将原方程组写成两个方程组求解。
例2 解方程组x2+2xy+y2=25，9x2-12xy+4y2=9.
解：原方程组可化为：
（x+y+5）（x+y-5）=0，（3x-2y+3）（3x-2y-3）=0.
由定理3，方程组可化为：
x+y+5=0，3x-2y+3=0；
x+y+5=0，3x-2y-3=0；
x+y-5=0，3x-2y+3=0；
x+y-5=0，3x-2y-3=0；
可求得原方程组的解（略）。
评注：对于形如A·B=0C·D=0的方程组可化为A=0，C=0；A=0，D=0；B=0，C=0；B=0，D=0.按这样的顺序组合，可以避免重复或遗漏原方程组的解。
以上方程组的同解原理是为了使学生便于理解，叙述方法与原定理稍有不同，教师要向学生说明数学知识增加后再考虑证明。学生现在只需要认可，相信自己解方程的方法是正确的，有根据的，会用就可以了。endprint
摘要：本文通过对初中数学中常见的解方程组的问题，结合《代数教材教法》中方程组的同解原理举例论述，从而阐述了初中数学方程组的解法和技巧，使学生在解方程组时有章可循、有据可依，全面调动了学生的积极性。
关键词：方程组的同解原理；方程组的解法；举例应用
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）36-0088-01
解方程组的基本思想是“消元”和“降次”。消元的方法主要是代入法和加减法，降次的方法一般是换元法和因式分解法。
为了表达简练，规定记号A（x·y），B（x·y）表示含有未知数x、y的二元二次整式（例如A=x2-4y2+x+3y-1）；规定记号M（x、y），N（x、y）表示含有未知数x、y的二元一次整式（如M（x·y）=2x-y-1）。
一、方程组的同解原理1、2及其应用
定理1：如果方程M（x·y）=0与N（x·y）=0是同解方程，那么方程组：
（1）A（x·y）=0，M（x·y）=0；
（2）A（x·y）=0，N（x·y）=0.
是同解方程组（摘自《初等代数教材教法》第267页定理13）。
这个定理告诉我们，方程组中某一个方程变形后与未变方程组成的方程组是同解方程组。
定理2：已知y=ax+b（a≠0），把y代入A（x·y）中的y处，消去y，得到一个只含x的式子，记为P（x），那么方程组：
（1）A（x·y）=0，y=ax+b（a≠0）；与（2）P（x）=0，y=ax+b（a≠0）.
是同解方程组（摘自《初等代数教材教法》第269页定理15）。
这个定理告诉我们，把一个方程代入另一个方程所得的方程与被代入方程组成的方程组是同解方程组，它是代入消元法的依据。
例1 解方程组：
x2-4y2+x+3y-1=0， j2x-y-1=0； k
解：由②得y=2x-1 ③
由于②与③同解，由定理1，得：
x2-4y2+x+3y-1=0， m2x-y-1=0； n
由定理2，得：
x2-4（2x-1）2+x+3（2x-1）=0，y=2x-1；
化简，得15x2-23x+8=0， o2x-y-1=0； p
（在没有根据以前，学生对⑥中解得的x1=1，x2=■代入①、②还是③呢？无法确定）。可求得原方程组的解（略）。
二、方程组的同解原理3及其应用
定理3：方程组：
（1）A（x·y）=0，M（x·y）·N（x·y）=0.与下列两个方程组：
（2）A（x·y）=0，M（x·y）=0.或A（x·y）=0，N（x·y）=0.是同解方程组（摘自《初等代数教材教法》第270页定理16）。
这个定理告诉我们，某一个方程能用分解因式法降次时，可以将原方程组写成两个方程组求解。
例2 解方程组x2+2xy+y2=25，9x2-12xy+4y2=9.
解：原方程组可化为：
（x+y+5）（x+y-5）=0，（3x-2y+3）（3x-2y-3）=0.
由定理3，方程组可化为：
x+y+5=0，3x-2y+3=0；
x+y+5=0，3x-2y-3=0；
x+y-5=0，3x-2y+3=0；
x+y-5=0，3x-2y-3=0；
可求得原方程组的解（略）。
评注：对于形如A·B=0C·D=0的方程组可化为A=0，C=0；A=0，D=0；B=0，C=0；B=0，D=0.按这样的顺序组合，可以避免重复或遗漏原方程组的解。
以上方程组的同解原理是为了使学生便于理解，叙述方法与原定理稍有不同，教师要向学生说明数学知识增加后再考虑证明。学生现在只需要认可，相信自己解方程的方法是正确的，有根据的，会用就可以了。endprint
摘要：本文通过对初中数学中常见的解方程组的问题，结合《代数教材教法》中方程组的同解原理举例论述，从而阐述了初中数学方程组的解法和技巧，使学生在解方程组时有章可循、有据可依，全面调动了学生的积极性。
关键词：方程组的同解原理；方程组的解法；举例应用
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）36-0088-01
解方程组的基本思想是“消元”和“降次”。消元的方法主要是代入法和加减法，降次的方法一般是换元法和因式分解法。
为了表达简练，规定记号A（x·y），B（x·y）表示含有未知数x、y的二元二次整式（例如A=x2-4y2+x+3y-1）；规定记号M（x、y），N（x、y）表示含有未知数x、y的二元一次整式（如M（x·y）=2x-y-1）。
一、方程组的同解原理1、2及其应用
定理1：如果方程M（x·y）=0与N（x·y）=0是同解方程，那么方程组：
（1）A（x·y）=0，M（x·y）=0；
（2）A（x·y）=0，N（x·y）=0.
是同解方程组（摘自《初等代数教材教法》第267页定理13）。
这个定理告诉我们，方程组中某一个方程变形后与未变方程组成的方程组是同解方程组。
定理2：已知y=ax+b（a≠0），把y代入A（x·y）中的y处，消去y，得到一个只含x的式子，记为P（x），那么方程组：
（1）A（x·y）=0，y=ax+b（a≠0）；与（2）P（x）=0，y=ax+b（a≠0）.
是同解方程组（摘自《初等代数教材教法》第269页定理15）。
这个定理告诉我们，把一个方程代入另一个方程所得的方程与被代入方程组成的方程组是同解方程组，它是代入消元法的依据。
例1 解方程组：
x2-4y2+x+3y-1=0， j2x-y-1=0； k
解：由②得y=2x-1 ③
由于②与③同解，由定理1，得：
x2-4y2+x+3y-1=0， m2x-y-1=0； n
由定理2，得：
x2-4（2x-1）2+x+3（2x-1）=0，y=2x-1；
化简，得15x2-23x+8=0， o2x-y-1=0； p
（在没有根据以前，学生对⑥中解得的x1=1，x2=■代入①、②还是③呢？无法确定）。可求得原方程组的解（略）。
二、方程组的同解原理3及其应用
定理3：方程组：
（1）A（x·y）=0，M（x·y）·N（x·y）=0.与下列两个方程组：
（2）A（x·y）=0，M（x·y）=0.或A（x·y）=0，N（x·y）=0.是同解方程组（摘自《初等代数教材教法》第270页定理16）。
这个定理告诉我们，某一个方程能用分解因式法降次时，可以将原方程组写成两个方程组求解。
例2 解方程组x2+2xy+y2=25，9x2-12xy+4y2=9.
解：原方程组可化为：
（x+y+5）（x+y-5）=0，（3x-2y+3）（3x-2y-3）=0.
由定理3，方程组可化为：
x+y+5=0，3x-2y+3=0；
x+y+5=0，3x-2y-3=0；
x+y-5=0，3x-2y+3=0；
x+y-5=0，3x-2y-3=0；
可求得原方程组的解（略）。
评注：对于形如A·B=0C·D=0的方程组可化为A=0，C=0；A=0，D=0；B=0，C=0；B=0，D=0.按这样的顺序组合，可以避免重复或遗漏原方程组的解。
以上方程组的同解原理是为了使学生便于理解，叙述方法与原定理稍有不同，教师要向学生说明数学知识增加后再考虑证明。学生现在只需要认可，相信自己解方程的方法是正确的，有根据的，会用就可以了。endprint
