一些重要的数学思想在中学教学中的应用
2014-09-18孙立娟
孙立娟
摘要：数学思想是对数学知识和方法的提炼与升华，是学习数学和解决具体问题的思维方式及指导原则，随着新课程标准的逐步实行，在考查学生基本知识和基本技能的同时，十分注重考查学生的思维能力，因此，思维能力的培养显得尤为重要，本文将列举几个数学思想方法在教学中的逐步渗透。
关键词：数学思想；中学教学；应用
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）36-0086-01
一、数学结合的思想方法
“数”与“形”是对立统一的，在研究数学问题时，常需要将数与形结合起来进行分析，这对于我解决问题，能起到直观、准确的作用。
七年级在学习绝对值的内容就开始对数与形结合的思想进行了渗透。
例1.已知：a、b、c在数轴上的对应点如图1所示。
化简：|a|–|a+b|+|c+a|+|b+c|
解：由图得b<0 a<0 c>0
|b|>|a|>|c| ∴a+b<0 c–a>0 b+c<0
∴|a|–|a+b|+|c–a|+|b+c|
=–a+（a+b）+c–a–（b+c）
=–a+a+b+c–a–b–c
=–a
简评，通过所给数轴，观察出正负数及绝对值的大小是解题中的重要环节之一。在八年级生活中的数据一章中，通过统计图将继续渗透数形结合的思想。
例2.小李通过某地区1998年至2000年快餐公司发展情况的调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形统计图，（如图2）和快餐公司盒饭年销量的平均数情况条形图（如图3）利用这两张图共同提供的信息，解答下列问题：（1）1999年该地区销售盒饭共多少万盒？（2）该地区盒饭销量最大的年份是哪年？这一年的年销量是多少万盒？（3）这三年中该地区每年平均销售盒饭多少万盒？
解：（1）2.0×59=118（万盒）（2）因为1.0×50=50（万盒）2.0×59=118（万盒）
1.5×80=120（万盒）所以该地区盒饭销量最大的年份是2000年，这一年的年销量是120万盒。
（3）■=96（万盒）
所以这三年中该地区每年平均销售盒饭96万盒。
简评：弄清数、形互译所表示意义，是解决数形结合题的关键。
二、分类思想
例3.已知等腰三角形边长分别为4cm和9cm，求等腰三角形第三边的长？
解：（1）4cm作为腰时，三角形三边长分别为9cm、9cm、4cm，∵任意两边之和都大于第三边，所以，能构成三角形，所以第三边长为9cm。
（2）4cm作为底时，三角形三边长分别为4cm、4cm、9cm，因为任意两边之和小于第三边，所以不能够成三角形。
简评：本题分析出两种情况，4cm作为腰9cm作底，9cm作腰，4cm作底是本题解题的关键。在七年级进行分类思想渗透的基础上，八年级逐渐学习函数，进一步强化分类思想在数学中的应用。
三、归纳类推思想
抓住事物间的共同特点进行类比推理是由特殊到一般的一种思维方法。
例4：观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561用你所发现的规律，写出32007的末位数字是 ？解：7。
简评：观察末位数组成的数列：3，9，7，1发现有循环性，每个循环节为4个数3、9、7、1，观察规律是本题的关键。
四、整体代换的思想
把考虑问题的着眼点放在问题的整体结构上，通过宏观的处理，解决问题。
例5.已知一组数据XlX2X3X4X5，平均数为2，方差是■，那么另一组数据3x1-2，3X2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2，的平均数和方差是（ ）。
解：∵ x=■（x1+x2+…+x5）=2 ∴ x1+x2+x3…+x5=10
故所求数据平均数为X=■[3（x1-2）+3（x2-2）+…+3（x5-2）]=■[3（x1+x2+x3…+x5）-2×5]=4
∵ S2=■[（x1-2）2+（x2-2）2+…+（x5-2）2]=■
∴（x12+x22+x32…+x52）-4（x1+x2+x3…+x5）
=■[（3x1-2-4）2+（3x1-2-4）2+…+（3x1-2-4）2]
=■[9（x12+x22+…+x52）-36（x1+x2+…x5）+5×36]=3
简评：整体代换思想，在求代数值，根与系数关系及抛物线与直线关系问题中应用较多，常能使计算简便。
窥一斑而见全豹，以上示例只叙述了部分例子，但相信养成提炼和运用数学思想的自觉行为，一定能在增强解题能力的同时，提高我们对于数学的认识水平。endprint
摘要：数学思想是对数学知识和方法的提炼与升华，是学习数学和解决具体问题的思维方式及指导原则，随着新课程标准的逐步实行，在考查学生基本知识和基本技能的同时，十分注重考查学生的思维能力，因此，思维能力的培养显得尤为重要，本文将列举几个数学思想方法在教学中的逐步渗透。
关键词：数学思想；中学教学；应用
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）36-0086-01
一、数学结合的思想方法
“数”与“形”是对立统一的，在研究数学问题时，常需要将数与形结合起来进行分析，这对于我解决问题，能起到直观、准确的作用。
七年级在学习绝对值的内容就开始对数与形结合的思想进行了渗透。
例1.已知：a、b、c在数轴上的对应点如图1所示。
化简：|a|–|a+b|+|c+a|+|b+c|
解：由图得b<0 a<0 c>0
|b|>|a|>|c| ∴a+b<0 c–a>0 b+c<0
∴|a|–|a+b|+|c–a|+|b+c|
=–a+（a+b）+c–a–（b+c）
=–a+a+b+c–a–b–c
=–a
简评，通过所给数轴，观察出正负数及绝对值的大小是解题中的重要环节之一。在八年级生活中的数据一章中，通过统计图将继续渗透数形结合的思想。
例2.小李通过某地区1998年至2000年快餐公司发展情况的调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形统计图，（如图2）和快餐公司盒饭年销量的平均数情况条形图（如图3）利用这两张图共同提供的信息，解答下列问题：（1）1999年该地区销售盒饭共多少万盒？（2）该地区盒饭销量最大的年份是哪年？这一年的年销量是多少万盒？（3）这三年中该地区每年平均销售盒饭多少万盒？
解：（1）2.0×59=118（万盒）（2）因为1.0×50=50（万盒）2.0×59=118（万盒）
1.5×80=120（万盒）所以该地区盒饭销量最大的年份是2000年，这一年的年销量是120万盒。
（3）■=96（万盒）
所以这三年中该地区每年平均销售盒饭96万盒。
简评：弄清数、形互译所表示意义，是解决数形结合题的关键。
二、分类思想
例3.已知等腰三角形边长分别为4cm和9cm，求等腰三角形第三边的长？
解：（1）4cm作为腰时，三角形三边长分别为9cm、9cm、4cm，∵任意两边之和都大于第三边，所以，能构成三角形，所以第三边长为9cm。
（2）4cm作为底时，三角形三边长分别为4cm、4cm、9cm，因为任意两边之和小于第三边，所以不能够成三角形。
简评：本题分析出两种情况，4cm作为腰9cm作底，9cm作腰，4cm作底是本题解题的关键。在七年级进行分类思想渗透的基础上，八年级逐渐学习函数，进一步强化分类思想在数学中的应用。
三、归纳类推思想
抓住事物间的共同特点进行类比推理是由特殊到一般的一种思维方法。
例4：观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561用你所发现的规律，写出32007的末位数字是 ？解：7。
简评：观察末位数组成的数列：3，9，7，1发现有循环性，每个循环节为4个数3、9、7、1，观察规律是本题的关键。
四、整体代换的思想
把考虑问题的着眼点放在问题的整体结构上，通过宏观的处理，解决问题。
例5.已知一组数据XlX2X3X4X5，平均数为2，方差是■，那么另一组数据3x1-2，3X2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2，的平均数和方差是（ ）。
解：∵ x=■（x1+x2+…+x5）=2 ∴ x1+x2+x3…+x5=10
故所求数据平均数为X=■[3（x1-2）+3（x2-2）+…+3（x5-2）]=■[3（x1+x2+x3…+x5）-2×5]=4
∵ S2=■[（x1-2）2+（x2-2）2+…+（x5-2）2]=■
∴（x12+x22+x32…+x52）-4（x1+x2+x3…+x5）
=■[（3x1-2-4）2+（3x1-2-4）2+…+（3x1-2-4）2]
=■[9（x12+x22+…+x52）-36（x1+x2+…x5）+5×36]=3
简评：整体代换思想，在求代数值，根与系数关系及抛物线与直线关系问题中应用较多，常能使计算简便。
窥一斑而见全豹，以上示例只叙述了部分例子，但相信养成提炼和运用数学思想的自觉行为，一定能在增强解题能力的同时，提高我们对于数学的认识水平。endprint
摘要：数学思想是对数学知识和方法的提炼与升华，是学习数学和解决具体问题的思维方式及指导原则，随着新课程标准的逐步实行，在考查学生基本知识和基本技能的同时，十分注重考查学生的思维能力，因此，思维能力的培养显得尤为重要，本文将列举几个数学思想方法在教学中的逐步渗透。
关键词：数学思想；中学教学；应用
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）36-0086-01
一、数学结合的思想方法
“数”与“形”是对立统一的，在研究数学问题时，常需要将数与形结合起来进行分析，这对于我解决问题，能起到直观、准确的作用。
七年级在学习绝对值的内容就开始对数与形结合的思想进行了渗透。
例1.已知：a、b、c在数轴上的对应点如图1所示。
化简：|a|–|a+b|+|c+a|+|b+c|
解：由图得b<0 a<0 c>0
|b|>|a|>|c| ∴a+b<0 c–a>0 b+c<0
∴|a|–|a+b|+|c–a|+|b+c|
=–a+（a+b）+c–a–（b+c）
=–a+a+b+c–a–b–c
=–a
简评，通过所给数轴，观察出正负数及绝对值的大小是解题中的重要环节之一。在八年级生活中的数据一章中，通过统计图将继续渗透数形结合的思想。
例2.小李通过某地区1998年至2000年快餐公司发展情况的调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形统计图，（如图2）和快餐公司盒饭年销量的平均数情况条形图（如图3）利用这两张图共同提供的信息，解答下列问题：（1）1999年该地区销售盒饭共多少万盒？（2）该地区盒饭销量最大的年份是哪年？这一年的年销量是多少万盒？（3）这三年中该地区每年平均销售盒饭多少万盒？
解：（1）2.0×59=118（万盒）（2）因为1.0×50=50（万盒）2.0×59=118（万盒）
1.5×80=120（万盒）所以该地区盒饭销量最大的年份是2000年，这一年的年销量是120万盒。
（3）■=96（万盒）
所以这三年中该地区每年平均销售盒饭96万盒。
简评：弄清数、形互译所表示意义，是解决数形结合题的关键。
二、分类思想
例3.已知等腰三角形边长分别为4cm和9cm，求等腰三角形第三边的长？
解：（1）4cm作为腰时，三角形三边长分别为9cm、9cm、4cm，∵任意两边之和都大于第三边，所以，能构成三角形，所以第三边长为9cm。
（2）4cm作为底时，三角形三边长分别为4cm、4cm、9cm，因为任意两边之和小于第三边，所以不能够成三角形。
简评：本题分析出两种情况，4cm作为腰9cm作底，9cm作腰，4cm作底是本题解题的关键。在七年级进行分类思想渗透的基础上，八年级逐渐学习函数，进一步强化分类思想在数学中的应用。
三、归纳类推思想
抓住事物间的共同特点进行类比推理是由特殊到一般的一种思维方法。
例4：观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561用你所发现的规律，写出32007的末位数字是 ？解：7。
简评：观察末位数组成的数列：3，9，7，1发现有循环性，每个循环节为4个数3、9、7、1，观察规律是本题的关键。
四、整体代换的思想
把考虑问题的着眼点放在问题的整体结构上，通过宏观的处理，解决问题。
例5.已知一组数据XlX2X3X4X5，平均数为2，方差是■，那么另一组数据3x1-2，3X2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2，的平均数和方差是（ ）。
解：∵ x=■（x1+x2+…+x5）=2 ∴ x1+x2+x3…+x5=10
故所求数据平均数为X=■[3（x1-2）+3（x2-2）+…+3（x5-2）]=■[3（x1+x2+x3…+x5）-2×5]=4
∵ S2=■[（x1-2）2+（x2-2）2+…+（x5-2）2]=■
∴（x12+x22+x32…+x52）-4（x1+x2+x3…+x5）
=■[（3x1-2-4）2+（3x1-2-4）2+…+（3x1-2-4）2]
=■[9（x12+x22+…+x52）-36（x1+x2+…x5）+5×36]=3
简评：整体代换思想，在求代数值，根与系数关系及抛物线与直线关系问题中应用较多，常能使计算简便。
窥一斑而见全豹，以上示例只叙述了部分例子，但相信养成提炼和运用数学思想的自觉行为，一定能在增强解题能力的同时，提高我们对于数学的认识水平。endprint
