由一道数学行程问题引发的思考

摘要：数学习题的练习在数学学习中具有重要功能——知识功能和教育功能。教师选择每一道数学习题，都应该考虑到它的两种功能，不仅仅教给学生知识，同时还注重学生思维发展和心理健康成长。可怎样发挥这些功能？值得我们深思和探讨。

关键词：数学；习题功能；行程问题

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）36-0082-03

数学习题练习是中学数学教学过程中的重要一环。数学习题具有两种功能：第一，它是数学知识的载体，习题练习可以巩固知识、灵活运用知识、并引入新知识。第二，数学习题还具有重要的教育功能，它能培养学习兴趣、增强学习信心，养成良好数学学习习惯和学习思维，提高学生应对挫折的能力。

下面是一道数学行程问题的教学片断，借用该教学片断来探讨如何发挥数学习题的这些功能。

一、数学行程问题教学片段

（一）例题

甲、乙两车相距480km，甲车速度为80km/h，乙车速度为100km/h，若甲、乙两车同时同向而行，两车何时相距600km？

解：设x小时后两车相距600km。

1.若甲、乙两车同向由甲到乙方向行驶，如下页图1所示，则：

100x+480=80x+600

解之得：x=6

即：6小时后甲、乙两车相距600km。

2.若甲、乙两车同向且由乙到甲方向行驶，如图2所示，则只有乙追上甲并超过甲时才可能相距600km

100x=80x+480+600

解之得：x=54

即：54小时后甲、乙两车相距600km。

（二）拓展

若上述数据都不变，设计一道题，使之结果有三种情形。

学生：编不出来，能否改变数据？

老师：如果可以改变数据，你如何设计？

学生甲：将“甲、乙两车相距480km”更改为“甲、乙两车同在一个地方”，则：

（1）甲、乙同时同地同向右出发（如图3）。

（2）甲、乙同时同地同向左出发（如图4）。

（3）甲、乙同时同地反向出发（如图5）。

学生乙质疑：（1）、（2）属同一种情况。（其他学生都赞同）

学生丙：将“甲、乙两车相距480km”更改为“甲、乙两车相距650km”，删去“甲、乙两车同时同向而行“，则：

（1）甲、乙同时相向而行（如图6）。

（2）甲、乙同时同向出发，此时不可能出现同时向由甲到乙的方向行驶（甲比乙慢，由甲到乙方向行驶，只会导致相距距离越来越大）。

①乙追上甲之前相距600km（如图7）。

②乙追上甲之后相距600km（如图7）。

学生丁质疑：（1）情况下应该也有两种可能性：甲、乙相遇前相距480km；甲、乙相遇后相距480km。

学生丙：将“甲、乙两车相距480km，甲车速度为80km/h，乙车速度为100km/h”更改为“甲、乙两车相距600km，甲车速度为100km/h，乙车速度为100km/h”

学生群体质疑：甲、乙两车只要同时同向行驶，永远相距600km，没有太多意义。

最后此拓展题只得以“课下再思考”而结束。

二、从行程问题知识本身的角度反思

此题如果不更改任何数据，能否设计出有三种情形的一道题？

行程问题一般涉及三个变量：速度、时间、路程，三个变量相互作用、相互影响。若行程问题只涉及到一个对象，当确定其中两个变量时，第三个变量随之可以确定。若行程问题涉及到两个对象或两个以上对象（比如：此例题中出现了甲、乙两个对象），除了三个变量外一般还涉及到两个对象的行驶方向，以及是否同时行驶两个要素。对于同时与否，其实质为改变两车之间最初的距离，而方向一般会涉及八种情况（见表1）。

本题中甲乙两车速度不变，最终要相距600km，属于相距问题。

1.若两车最开始相距0

2.若两车最开始相距S>600km，则只可能出现表中的③、④、⑥、⑦四种情况。

3.特殊情况之一：两车在同一地点即S=0km，此时只可能出现同向相距或反向相距两种情况。

4.特殊情况之二：两车最开始相距600km即S=600km，此时只可能出现表中的④、⑦两种情况。

综上所述，无论从“方向”还是从“同时与否”这两个角度思考，最终都会出现四种情况或两种情况，不可能出现三种情况。

三、从数学习题的教育功能方面来看

数学习题对学生的智力方面和非智力方面都有重要的功能。

从智力方面来说，数学习题能培养学生思维的灵活性、敏捷性、深刻性、批判性、广阔性、创造性等品质。本题是一道开放性习题，由于答案的不确定性，不能按照常规的思路解决问题，要求学生从整体看行程问题，全局把握条件和结论之间的关系，在学生已有的解题方法、运算技巧和探索能力的基础上，摆脱局部细节，主动、独立、别出心裁的提出新方法、新见解，同时对自己提出的新方法、新见解提出质疑，发现问题，从而摈弃错误，寻找出最后的解决方案。所以，此题对学生思维的品质提出了很高的要求，能促进学生的思维纵向深层次发展。

从非智力方面来说，经拓展后的习题难度系数较大，要求学生顽强的、坚持不懈地挑战已有知识和能力的极限，能培养学生的坚韧和挑战精神。但学生无论付出多少努力最终也无法成功找到解决方案，会让学生产生挫折感，习题本身具有的激励作用也荡然无存，长此以往，学生就会对具有挑战性的习题失去兴趣和动力。如果我们把这道拓展题的结论稍作修改，结果就会大相径庭。比如：我们将问题“若上述数据都不变，设计一道题，使之结果有三种情形。”更改为“若上述数据都不变，我们能否设计一道题，使之结果有三种情形？如果能，请写出来。如果不能，请找出原因”，此时学生可从“存在”和“不存在”两方面思考问题。除此以外，我们还可以将问题更改为“若上述数据都不变，设计一道题，使之结果有四种情形。”，学生因此也能获得成功，但相比前者，后者对学生的数学思维能力的要求就降低了许多。

此外，由于数学习题本身具有的独特特点，使之较其他学科抗干扰的能力强，学生容易静下心来，迅速投入到数学习题解决的过程中去，对于促进学生良好的学习习惯有重要的作用。数学习题不仅能促进学生独立思考，还能促进学生养成良好的思维习惯和敢于质疑的习惯。

问题是数学的心脏，问题解决是数学教育的核心。数学习题不仅能巩固学生所学知识，发展学生的智力，同时对学生情感、心理等方面都有很大的影响。此外，数学习题还深刻影响着学生进入社会后分析身边问题、解决身边问题的能力。所以我们需要慎重地看待每一道数学习题，认真地思考数学习题的教育功能，在有限的课堂时间里最大限度地发挥每一道习题的教育功能。

作者简介：马鸿晓，北大附中香山学校数学教师，中学一级教师，海淀区数学学科带头人。

摘要：数学习题的练习在数学学习中具有重要功能——知识功能和教育功能。教师选择每一道数学习题，都应该考虑到它的两种功能，不仅仅教给学生知识，同时还注重学生思维发展和心理健康成长。可怎样发挥这些功能？值得我们深思和探讨。

关键词：数学；习题功能；行程问题

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）36-0082-03

数学习题练习是中学数学教学过程中的重要一环。数学习题具有两种功能：第一，它是数学知识的载体，习题练习可以巩固知识、灵活运用知识、并引入新知识。第二，数学习题还具有重要的教育功能，它能培养学习兴趣、增强学习信心，养成良好数学学习习惯和学习思维，提高学生应对挫折的能力。

下面是一道数学行程问题的教学片断，借用该教学片断来探讨如何发挥数学习题的这些功能。

一、数学行程问题教学片段

（一）例题

甲、乙两车相距480km，甲车速度为80km/h，乙车速度为100km/h，若甲、乙两车同时同向而行，两车何时相距600km？

解：设x小时后两车相距600km。

1.若甲、乙两车同向由甲到乙方向行驶，如下页图1所示，则：

100x+480=80x+600

解之得：x=6

即：6小时后甲、乙两车相距600km。

2.若甲、乙两车同向且由乙到甲方向行驶，如图2所示，则只有乙追上甲并超过甲时才可能相距600km

100x=80x+480+600

解之得：x=54

即：54小时后甲、乙两车相距600km。

（二）拓展

若上述数据都不变，设计一道题，使之结果有三种情形。

学生：编不出来，能否改变数据？

老师：如果可以改变数据，你如何设计？

学生甲：将“甲、乙两车相距480km”更改为“甲、乙两车同在一个地方”，则：

（1）甲、乙同时同地同向右出发（如图3）。

（2）甲、乙同时同地同向左出发（如图4）。

（3）甲、乙同时同地反向出发（如图5）。

学生乙质疑：（1）、（2）属同一种情况。（其他学生都赞同）

学生丙：将“甲、乙两车相距480km”更改为“甲、乙两车相距650km”，删去“甲、乙两车同时同向而行“，则：

（1）甲、乙同时相向而行（如图6）。

（2）甲、乙同时同向出发，此时不可能出现同时向由甲到乙的方向行驶（甲比乙慢，由甲到乙方向行驶，只会导致相距距离越来越大）。

①乙追上甲之前相距600km（如图7）。

②乙追上甲之后相距600km（如图7）。

学生丁质疑：（1）情况下应该也有两种可能性：甲、乙相遇前相距480km；甲、乙相遇后相距480km。

学生丙：将“甲、乙两车相距480km，甲车速度为80km/h，乙车速度为100km/h”更改为“甲、乙两车相距600km，甲车速度为100km/h，乙车速度为100km/h”

学生群体质疑：甲、乙两车只要同时同向行驶，永远相距600km，没有太多意义。

最后此拓展题只得以“课下再思考”而结束。

二、从行程问题知识本身的角度反思

此题如果不更改任何数据，能否设计出有三种情形的一道题？

行程问题一般涉及三个变量：速度、时间、路程，三个变量相互作用、相互影响。若行程问题只涉及到一个对象，当确定其中两个变量时，第三个变量随之可以确定。若行程问题涉及到两个对象或两个以上对象（比如：此例题中出现了甲、乙两个对象），除了三个变量外一般还涉及到两个对象的行驶方向，以及是否同时行驶两个要素。对于同时与否，其实质为改变两车之间最初的距离，而方向一般会涉及八种情况（见表1）。

本题中甲乙两车速度不变，最终要相距600km，属于相距问题。

1.若两车最开始相距0

2.若两车最开始相距S>600km，则只可能出现表中的③、④、⑥、⑦四种情况。

3.特殊情况之一：两车在同一地点即S=0km，此时只可能出现同向相距或反向相距两种情况。

4.特殊情况之二：两车最开始相距600km即S=600km，此时只可能出现表中的④、⑦两种情况。

综上所述，无论从“方向”还是从“同时与否”这两个角度思考，最终都会出现四种情况或两种情况，不可能出现三种情况。

三、从数学习题的教育功能方面来看

数学习题对学生的智力方面和非智力方面都有重要的功能。

从智力方面来说，数学习题能培养学生思维的灵活性、敏捷性、深刻性、批判性、广阔性、创造性等品质。本题是一道开放性习题，由于答案的不确定性，不能按照常规的思路解决问题，要求学生从整体看行程问题，全局把握条件和结论之间的关系，在学生已有的解题方法、运算技巧和探索能力的基础上，摆脱局部细节，主动、独立、别出心裁的提出新方法、新见解，同时对自己提出的新方法、新见解提出质疑，发现问题，从而摈弃错误，寻找出最后的解决方案。所以，此题对学生思维的品质提出了很高的要求，能促进学生的思维纵向深层次发展。

从非智力方面来说，经拓展后的习题难度系数较大，要求学生顽强的、坚持不懈地挑战已有知识和能力的极限，能培养学生的坚韧和挑战精神。但学生无论付出多少努力最终也无法成功找到解决方案，会让学生产生挫折感，习题本身具有的激励作用也荡然无存，长此以往，学生就会对具有挑战性的习题失去兴趣和动力。如果我们把这道拓展题的结论稍作修改，结果就会大相径庭。比如：我们将问题“若上述数据都不变，设计一道题，使之结果有三种情形。”更改为“若上述数据都不变，我们能否设计一道题，使之结果有三种情形？如果能，请写出来。如果不能，请找出原因”，此时学生可从“存在”和“不存在”两方面思考问题。除此以外，我们还可以将问题更改为“若上述数据都不变，设计一道题，使之结果有四种情形。”，学生因此也能获得成功，但相比前者，后者对学生的数学思维能力的要求就降低了许多。

此外，由于数学习题本身具有的独特特点，使之较其他学科抗干扰的能力强，学生容易静下心来，迅速投入到数学习题解决的过程中去，对于促进学生良好的学习习惯有重要的作用。数学习题不仅能促进学生独立思考，还能促进学生养成良好的思维习惯和敢于质疑的习惯。

问题是数学的心脏，问题解决是数学教育的核心。数学习题不仅能巩固学生所学知识，发展学生的智力，同时对学生情感、心理等方面都有很大的影响。此外，数学习题还深刻影响着学生进入社会后分析身边问题、解决身边问题的能力。所以我们需要慎重地看待每一道数学习题，认真地思考数学习题的教育功能，在有限的课堂时间里最大限度地发挥每一道习题的教育功能。

作者简介：马鸿晓，北大附中香山学校数学教师，中学一级教师，海淀区数学学科带头人。

摘要：数学习题的练习在数学学习中具有重要功能——知识功能和教育功能。教师选择每一道数学习题，都应该考虑到它的两种功能，不仅仅教给学生知识，同时还注重学生思维发展和心理健康成长。可怎样发挥这些功能？值得我们深思和探讨。

关键词：数学；习题功能；行程问题

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）36-0082-03

数学习题练习是中学数学教学过程中的重要一环。数学习题具有两种功能：第一，它是数学知识的载体，习题练习可以巩固知识、灵活运用知识、并引入新知识。第二，数学习题还具有重要的教育功能，它能培养学习兴趣、增强学习信心，养成良好数学学习习惯和学习思维，提高学生应对挫折的能力。

下面是一道数学行程问题的教学片断，借用该教学片断来探讨如何发挥数学习题的这些功能。

一、数学行程问题教学片段

（一）例题

甲、乙两车相距480km，甲车速度为80km/h，乙车速度为100km/h，若甲、乙两车同时同向而行，两车何时相距600km？

解：设x小时后两车相距600km。

1.若甲、乙两车同向由甲到乙方向行驶，如下页图1所示，则：

100x+480=80x+600

解之得：x=6

即：6小时后甲、乙两车相距600km。

2.若甲、乙两车同向且由乙到甲方向行驶，如图2所示，则只有乙追上甲并超过甲时才可能相距600km

100x=80x+480+600

解之得：x=54

即：54小时后甲、乙两车相距600km。

（二）拓展

若上述数据都不变，设计一道题，使之结果有三种情形。

学生：编不出来，能否改变数据？

老师：如果可以改变数据，你如何设计？

学生甲：将“甲、乙两车相距480km”更改为“甲、乙两车同在一个地方”，则：

（1）甲、乙同时同地同向右出发（如图3）。

（2）甲、乙同时同地同向左出发（如图4）。

（3）甲、乙同时同地反向出发（如图5）。

学生乙质疑：（1）、（2）属同一种情况。（其他学生都赞同）

学生丙：将“甲、乙两车相距480km”更改为“甲、乙两车相距650km”，删去“甲、乙两车同时同向而行“，则：

（1）甲、乙同时相向而行（如图6）。

（2）甲、乙同时同向出发，此时不可能出现同时向由甲到乙的方向行驶（甲比乙慢，由甲到乙方向行驶，只会导致相距距离越来越大）。

①乙追上甲之前相距600km（如图7）。

②乙追上甲之后相距600km（如图7）。

学生丁质疑：（1）情况下应该也有两种可能性：甲、乙相遇前相距480km；甲、乙相遇后相距480km。

学生丙：将“甲、乙两车相距480km，甲车速度为80km/h，乙车速度为100km/h”更改为“甲、乙两车相距600km，甲车速度为100km/h，乙车速度为100km/h”

学生群体质疑：甲、乙两车只要同时同向行驶，永远相距600km，没有太多意义。

最后此拓展题只得以“课下再思考”而结束。

二、从行程问题知识本身的角度反思

此题如果不更改任何数据，能否设计出有三种情形的一道题？

行程问题一般涉及三个变量：速度、时间、路程，三个变量相互作用、相互影响。若行程问题只涉及到一个对象，当确定其中两个变量时，第三个变量随之可以确定。若行程问题涉及到两个对象或两个以上对象（比如：此例题中出现了甲、乙两个对象），除了三个变量外一般还涉及到两个对象的行驶方向，以及是否同时行驶两个要素。对于同时与否，其实质为改变两车之间最初的距离，而方向一般会涉及八种情况（见表1）。

本题中甲乙两车速度不变，最终要相距600km，属于相距问题。

1.若两车最开始相距0

2.若两车最开始相距S>600km，则只可能出现表中的③、④、⑥、⑦四种情况。

3.特殊情况之一：两车在同一地点即S=0km，此时只可能出现同向相距或反向相距两种情况。

4.特殊情况之二：两车最开始相距600km即S=600km，此时只可能出现表中的④、⑦两种情况。

综上所述，无论从“方向”还是从“同时与否”这两个角度思考，最终都会出现四种情况或两种情况，不可能出现三种情况。

三、从数学习题的教育功能方面来看

数学习题对学生的智力方面和非智力方面都有重要的功能。

从智力方面来说，数学习题能培养学生思维的灵活性、敏捷性、深刻性、批判性、广阔性、创造性等品质。本题是一道开放性习题，由于答案的不确定性，不能按照常规的思路解决问题，要求学生从整体看行程问题，全局把握条件和结论之间的关系，在学生已有的解题方法、运算技巧和探索能力的基础上，摆脱局部细节，主动、独立、别出心裁的提出新方法、新见解，同时对自己提出的新方法、新见解提出质疑，发现问题，从而摈弃错误，寻找出最后的解决方案。所以，此题对学生思维的品质提出了很高的要求，能促进学生的思维纵向深层次发展。

从非智力方面来说，经拓展后的习题难度系数较大，要求学生顽强的、坚持不懈地挑战已有知识和能力的极限，能培养学生的坚韧和挑战精神。但学生无论付出多少努力最终也无法成功找到解决方案，会让学生产生挫折感，习题本身具有的激励作用也荡然无存，长此以往，学生就会对具有挑战性的习题失去兴趣和动力。如果我们把这道拓展题的结论稍作修改，结果就会大相径庭。比如：我们将问题“若上述数据都不变，设计一道题，使之结果有三种情形。”更改为“若上述数据都不变，我们能否设计一道题，使之结果有三种情形？如果能，请写出来。如果不能，请找出原因”，此时学生可从“存在”和“不存在”两方面思考问题。除此以外，我们还可以将问题更改为“若上述数据都不变，设计一道题，使之结果有四种情形。”，学生因此也能获得成功，但相比前者，后者对学生的数学思维能力的要求就降低了许多。

此外，由于数学习题本身具有的独特特点，使之较其他学科抗干扰的能力强，学生容易静下心来，迅速投入到数学习题解决的过程中去，对于促进学生良好的学习习惯有重要的作用。数学习题不仅能促进学生独立思考，还能促进学生养成良好的思维习惯和敢于质疑的习惯。

问题是数学的心脏，问题解决是数学教育的核心。数学习题不仅能巩固学生所学知识，发展学生的智力，同时对学生情感、心理等方面都有很大的影响。此外，数学习题还深刻影响着学生进入社会后分析身边问题、解决身边问题的能力。所以我们需要慎重地看待每一道数学习题，认真地思考数学习题的教育功能，在有限的课堂时间里最大限度地发挥每一道习题的教育功能。

作者简介：马鸿晓，北大附中香山学校数学教师，中学一级教师，海淀区数学学科带头人。