连续型随机变量数学期望的求法探究

摘要：通过实例介绍了连续型随机变量数学期望的一些求法，包括Laplace-Stieltjes变换法、重期望公式法、利用相同概率性质的随机变量分解法和计算高维Markov过程平均吸收时间的方法。

关键词：连续型随机变量；期望；求法

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）36-0078-02

如何快速有效地计算随机变量的数学期望是学习概率统计课程和随机过程理论必须掌握的一个知识点，但在一般的概率统计和随机过程教材（如[1，2]）中，计算数学期望主要采用的是定义和性质等常规方法。基于此，文[3]针对离散型随机变量期望计算，给出了对称法、公式法、分解法、递推法和母函数等求法及其技巧。在这些工作的基础上，本文针对连续型随机变量期望计算，通过实例介绍了Laplace-Stieltjes变换法、重期望公式法、利用相同概率性质的随机变量分解法和计算高维Markov过程平均吸收时间的方法。

一、Laplace-Stieltjes变换法

例1 设一非负随机变量X的分布函数为F（t）=■■■G■（t-u）d（1-e■），t>00， t≤0，其中n为确定正整数，λ■，j=1，2，…，n均为已知正数，a=λ1+…+λn，G■（t）为非负随机变量的分布函数，且0<μ■■=■tdG■（t）<∞，求X的数学期望E（X）。

解：因F（t）的Laplace-Stieltjes变换为■（s）=■e■dF（t）=■■■■（s），故E（X）=-[■（s）]′|s=0=■1+■■。

二、重期望公式法

例2 设供货商每月向某经销商供应的货物量X服从（10，30）（单位：1万件）上的均匀分布，该经销商每月实际需要的货物量Y服从（10，20）（单位：1万件）上的均匀分布。若该经销商能从供货商得到足够的货物，则每1万件货物可获30万元利润，若得不到足够货物则需从其他途径进货，此时每1万件可获10万元利润。求该经销商每月的平均利润。

解：因每月利润Z取决于货物供应量X，故由重期望公式得：

E（Z）=0.05[■E（Z|X=x）dx+■E（Z|X=x）dx]。

当x∈（10，20）时，E（Z|X=x）=0.1[■30ydy+

■（10y+20x）dy]=50+40x-x2，

当x∈（20，30）时，E（Z|X=x）=3[■ydy=450，于是E（Z）≈433，（万元）。

三、利用相同概率性质的随机变量分解法

例3 在M/G/1排队系统[4]中，顾客的到达是参数为λ的Poisson流，顾客的服务时间独立同分布，具有分布函数G（t），t>0和有限均值α。到达和服务独立。证明对服务台忙期b的数学期望E（b），当λα小于1时，E（b）=α（1-λα）-1，当λα大于或等于1时，E（b）=∞。

证明：设η表示忙期b中首个顾客的服务时间γ内到达的顾客数，则E（η）=λα。称服务时间γ内到达的η个顾客ξ1，…，ξη为“特殊顾客”，其后到达的顾客为“普通顾客”。因顾客类型和服务顺序不影响忙期b的长度，为研究需要，重新定义服务顺序为：服务完忙期首个顾客后，立即服务ξ1和除ξ2，…，ξη外的“普通顾客”，直到没有新到“普通顾客”时为止（这段时间记为X1），接着开始服务ξ2和除ξ3，…，ξη外的“普通顾客”，直到没有新到“普通顾客”时为止（这段时间记为X2），如此下去，直到最后开始服务ξη及其后所有新到的“普通顾客”（这段时间记为Xη），于是得到分解式b=γ+X1+…+Xη。由于b，X1，…，Xη都表示从一个顾客开始服务直到服务结束的一段时间，故它们具有相同的概率性质，分布相同，且X1，…，Xη独立于γ和η。从而

E（b）=a+∑■■E（X1+…+Xj）P{η=j}=a+λaE（b）。证毕。

四、计算高维Markov过程平均吸收时间的方法

例4 对两部件串联系统，若部件1、2的寿命分别服从参数为λ1的负指数分布和分布函数为X2（t）的一般概率分布，修理时间的分布函数为Yi（t），i=1，2，部件修复如新。t=0时刻部件全新且同时开始工作。求系统的首次平均寿命。

解：定义状态1：系统工作；状态2：部件1在修理，系统故障；状态3：部件2待修，系统故障。设部件2寿命的危险率函数为λ2（t），时刻t系统所处的状态为S（t），ξ2（t）表示时刻t部件2的年龄，ηi（t）表示时刻t部件i已用去的修理时间（i=1，2）。令状态2，3为吸收状态，则{S（t），ξ2（t），ηi（t），t>0，i=1，2}为带两个吸收状态的向量Markov过程。定义状态概率P1（t，x）dx=Pr{S（t）=1，x≤ξ2（t）

[■+■+λ1+λ2（x）]P1（t，x）=0， （1）

边界条件P1（t，0）=δ（t），初始条件P1（0，x）=δ（x），这里δ（t）为狄拉克函数。

对（1）关于t取Laplace变换易解得P1*（s，x）=

e■[1-X■（x）]。注意到系统首次寿命L的补分布■（t）=Pr（L>t）=■P1（t，x）dx（因为■（t）表示时刻t系统正在工作的概率），从而系统的首次平均寿命E（L）=■*（0）=λ■■-X■*（λ1）。

注1：当X2（t）=1-e-λ2t，t>0时，可得E（X）=（λ1+λ2）-1，与文[5]运用概率分析方法得到的结果（n=2的情形）完全一样。

五、结语

通过实例可以看到，本文介绍的连续型随机变量数学期望的求法可以解决一些具体问题中的期望计算，可为学习概率统计、随机过程及工程概率应用提供重要的参考，因此，理解和掌握这些方法是大有裨益的。

参考文献：

[1]李贤平.概率论基础[M].第二版.北京：高等教育出版社，1997.

[2]张波，张景肖.应用随机过程[M].北京：清华大学出版社，2004.

[3]徐传胜.离散型随机变量数学期望的求法探究[J].高等数学研究，2005，8，（1）.

[4]唐应辉，唐小我.排队论——基础与分析技术[M].高等教育出版社，2006.

[5]盛骤，谢式千.概率论与数理统计及其应用[M].北京：高等教育出版社，2004.

作者简介：刘仁彬（1972-），男，四川自贡人，博士，副教授，研究方向：概率统计和随机模型。

摘要：通过实例介绍了连续型随机变量数学期望的一些求法，包括Laplace-Stieltjes变换法、重期望公式法、利用相同概率性质的随机变量分解法和计算高维Markov过程平均吸收时间的方法。

关键词：连续型随机变量；期望；求法

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）36-0078-02

如何快速有效地计算随机变量的数学期望是学习概率统计课程和随机过程理论必须掌握的一个知识点，但在一般的概率统计和随机过程教材（如[1，2]）中，计算数学期望主要采用的是定义和性质等常规方法。基于此，文[3]针对离散型随机变量期望计算，给出了对称法、公式法、分解法、递推法和母函数等求法及其技巧。在这些工作的基础上，本文针对连续型随机变量期望计算，通过实例介绍了Laplace-Stieltjes变换法、重期望公式法、利用相同概率性质的随机变量分解法和计算高维Markov过程平均吸收时间的方法。

一、Laplace-Stieltjes变换法

例1 设一非负随机变量X的分布函数为F（t）=■■■G■（t-u）d（1-e■），t>00， t≤0，其中n为确定正整数，λ■，j=1，2，…，n均为已知正数，a=λ1+…+λn，G■（t）为非负随机变量的分布函数，且0<μ■■=■tdG■（t）<∞，求X的数学期望E（X）。

解：因F（t）的Laplace-Stieltjes变换为■（s）=■e■dF（t）=■■■■（s），故E（X）=-[■（s）]′|s=0=■1+■■。

二、重期望公式法

例2 设供货商每月向某经销商供应的货物量X服从（10，30）（单位：1万件）上的均匀分布，该经销商每月实际需要的货物量Y服从（10，20）（单位：1万件）上的均匀分布。若该经销商能从供货商得到足够的货物，则每1万件货物可获30万元利润，若得不到足够货物则需从其他途径进货，此时每1万件可获10万元利润。求该经销商每月的平均利润。

解：因每月利润Z取决于货物供应量X，故由重期望公式得：

E（Z）=0.05[■E（Z|X=x）dx+■E（Z|X=x）dx]。

当x∈（10，20）时，E（Z|X=x）=0.1[■30ydy+

■（10y+20x）dy]=50+40x-x2，

当x∈（20，30）时，E（Z|X=x）=3[■ydy=450，于是E（Z）≈433，（万元）。

三、利用相同概率性质的随机变量分解法

例3 在M/G/1排队系统[4]中，顾客的到达是参数为λ的Poisson流，顾客的服务时间独立同分布，具有分布函数G（t），t>0和有限均值α。到达和服务独立。证明对服务台忙期b的数学期望E（b），当λα小于1时，E（b）=α（1-λα）-1，当λα大于或等于1时，E（b）=∞。

证明：设η表示忙期b中首个顾客的服务时间γ内到达的顾客数，则E（η）=λα。称服务时间γ内到达的η个顾客ξ1，…，ξη为“特殊顾客”，其后到达的顾客为“普通顾客”。因顾客类型和服务顺序不影响忙期b的长度，为研究需要，重新定义服务顺序为：服务完忙期首个顾客后，立即服务ξ1和除ξ2，…，ξη外的“普通顾客”，直到没有新到“普通顾客”时为止（这段时间记为X1），接着开始服务ξ2和除ξ3，…，ξη外的“普通顾客”，直到没有新到“普通顾客”时为止（这段时间记为X2），如此下去，直到最后开始服务ξη及其后所有新到的“普通顾客”（这段时间记为Xη），于是得到分解式b=γ+X1+…+Xη。由于b，X1，…，Xη都表示从一个顾客开始服务直到服务结束的一段时间，故它们具有相同的概率性质，分布相同，且X1，…，Xη独立于γ和η。从而

E（b）=a+∑■■E（X1+…+Xj）P{η=j}=a+λaE（b）。证毕。

四、计算高维Markov过程平均吸收时间的方法

例4 对两部件串联系统，若部件1、2的寿命分别服从参数为λ1的负指数分布和分布函数为X2（t）的一般概率分布，修理时间的分布函数为Yi（t），i=1，2，部件修复如新。t=0时刻部件全新且同时开始工作。求系统的首次平均寿命。

解：定义状态1：系统工作；状态2：部件1在修理，系统故障；状态3：部件2待修，系统故障。设部件2寿命的危险率函数为λ2（t），时刻t系统所处的状态为S（t），ξ2（t）表示时刻t部件2的年龄，ηi（t）表示时刻t部件i已用去的修理时间（i=1，2）。令状态2，3为吸收状态，则{S（t），ξ2（t），ηi（t），t>0，i=1，2}为带两个吸收状态的向量Markov过程。定义状态概率P1（t，x）dx=Pr{S（t）=1，x≤ξ2（t）

[■+■+λ1+λ2（x）]P1（t，x）=0， （1）

边界条件P1（t，0）=δ（t），初始条件P1（0，x）=δ（x），这里δ（t）为狄拉克函数。

对（1）关于t取Laplace变换易解得P1*（s，x）=

e■[1-X■（x）]。注意到系统首次寿命L的补分布■（t）=Pr（L>t）=■P1（t，x）dx（因为■（t）表示时刻t系统正在工作的概率），从而系统的首次平均寿命E（L）=■*（0）=λ■■-X■*（λ1）。

注1：当X2（t）=1-e-λ2t，t>0时，可得E（X）=（λ1+λ2）-1，与文[5]运用概率分析方法得到的结果（n=2的情形）完全一样。

五、结语

通过实例可以看到，本文介绍的连续型随机变量数学期望的求法可以解决一些具体问题中的期望计算，可为学习概率统计、随机过程及工程概率应用提供重要的参考，因此，理解和掌握这些方法是大有裨益的。

参考文献：

[1]李贤平.概率论基础[M].第二版.北京：高等教育出版社，1997.

[2]张波，张景肖.应用随机过程[M].北京：清华大学出版社，2004.

[3]徐传胜.离散型随机变量数学期望的求法探究[J].高等数学研究，2005，8，（1）.

[4]唐应辉，唐小我.排队论——基础与分析技术[M].高等教育出版社，2006.

[5]盛骤，谢式千.概率论与数理统计及其应用[M].北京：高等教育出版社，2004.

作者简介：刘仁彬（1972-），男，四川自贡人，博士，副教授，研究方向：概率统计和随机模型。

摘要：通过实例介绍了连续型随机变量数学期望的一些求法，包括Laplace-Stieltjes变换法、重期望公式法、利用相同概率性质的随机变量分解法和计算高维Markov过程平均吸收时间的方法。

关键词：连续型随机变量；期望；求法

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）36-0078-02

如何快速有效地计算随机变量的数学期望是学习概率统计课程和随机过程理论必须掌握的一个知识点，但在一般的概率统计和随机过程教材（如[1，2]）中，计算数学期望主要采用的是定义和性质等常规方法。基于此，文[3]针对离散型随机变量期望计算，给出了对称法、公式法、分解法、递推法和母函数等求法及其技巧。在这些工作的基础上，本文针对连续型随机变量期望计算，通过实例介绍了Laplace-Stieltjes变换法、重期望公式法、利用相同概率性质的随机变量分解法和计算高维Markov过程平均吸收时间的方法。

一、Laplace-Stieltjes变换法

例1 设一非负随机变量X的分布函数为F（t）=■■■G■（t-u）d（1-e■），t>00， t≤0，其中n为确定正整数，λ■，j=1，2，…，n均为已知正数，a=λ1+…+λn，G■（t）为非负随机变量的分布函数，且0<μ■■=■tdG■（t）<∞，求X的数学期望E（X）。

解：因F（t）的Laplace-Stieltjes变换为■（s）=■e■dF（t）=■■■■（s），故E（X）=-[■（s）]′|s=0=■1+■■。

二、重期望公式法

例2 设供货商每月向某经销商供应的货物量X服从（10，30）（单位：1万件）上的均匀分布，该经销商每月实际需要的货物量Y服从（10，20）（单位：1万件）上的均匀分布。若该经销商能从供货商得到足够的货物，则每1万件货物可获30万元利润，若得不到足够货物则需从其他途径进货，此时每1万件可获10万元利润。求该经销商每月的平均利润。

解：因每月利润Z取决于货物供应量X，故由重期望公式得：

E（Z）=0.05[■E（Z|X=x）dx+■E（Z|X=x）dx]。

当x∈（10，20）时，E（Z|X=x）=0.1[■30ydy+

■（10y+20x）dy]=50+40x-x2，

当x∈（20，30）时，E（Z|X=x）=3[■ydy=450，于是E（Z）≈433，（万元）。

三、利用相同概率性质的随机变量分解法

例3 在M/G/1排队系统[4]中，顾客的到达是参数为λ的Poisson流，顾客的服务时间独立同分布，具有分布函数G（t），t>0和有限均值α。到达和服务独立。证明对服务台忙期b的数学期望E（b），当λα小于1时，E（b）=α（1-λα）-1，当λα大于或等于1时，E（b）=∞。

证明：设η表示忙期b中首个顾客的服务时间γ内到达的顾客数，则E（η）=λα。称服务时间γ内到达的η个顾客ξ1，…，ξη为“特殊顾客”，其后到达的顾客为“普通顾客”。因顾客类型和服务顺序不影响忙期b的长度，为研究需要，重新定义服务顺序为：服务完忙期首个顾客后，立即服务ξ1和除ξ2，…，ξη外的“普通顾客”，直到没有新到“普通顾客”时为止（这段时间记为X1），接着开始服务ξ2和除ξ3，…，ξη外的“普通顾客”，直到没有新到“普通顾客”时为止（这段时间记为X2），如此下去，直到最后开始服务ξη及其后所有新到的“普通顾客”（这段时间记为Xη），于是得到分解式b=γ+X1+…+Xη。由于b，X1，…，Xη都表示从一个顾客开始服务直到服务结束的一段时间，故它们具有相同的概率性质，分布相同，且X1，…，Xη独立于γ和η。从而

E（b）=a+∑■■E（X1+…+Xj）P{η=j}=a+λaE（b）。证毕。

四、计算高维Markov过程平均吸收时间的方法

例4 对两部件串联系统，若部件1、2的寿命分别服从参数为λ1的负指数分布和分布函数为X2（t）的一般概率分布，修理时间的分布函数为Yi（t），i=1，2，部件修复如新。t=0时刻部件全新且同时开始工作。求系统的首次平均寿命。

解：定义状态1：系统工作；状态2：部件1在修理，系统故障；状态3：部件2待修，系统故障。设部件2寿命的危险率函数为λ2（t），时刻t系统所处的状态为S（t），ξ2（t）表示时刻t部件2的年龄，ηi（t）表示时刻t部件i已用去的修理时间（i=1，2）。令状态2，3为吸收状态，则{S（t），ξ2（t），ηi（t），t>0，i=1，2}为带两个吸收状态的向量Markov过程。定义状态概率P1（t，x）dx=Pr{S（t）=1，x≤ξ2（t）

[■+■+λ1+λ2（x）]P1（t，x）=0， （1）

边界条件P1（t，0）=δ（t），初始条件P1（0，x）=δ（x），这里δ（t）为狄拉克函数。

对（1）关于t取Laplace变换易解得P1*（s，x）=

e■[1-X■（x）]。注意到系统首次寿命L的补分布■（t）=Pr（L>t）=■P1（t，x）dx（因为■（t）表示时刻t系统正在工作的概率），从而系统的首次平均寿命E（L）=■*（0）=λ■■-X■*（λ1）。

注1：当X2（t）=1-e-λ2t，t>0时，可得E（X）=（λ1+λ2）-1，与文[5]运用概率分析方法得到的结果（n=2的情形）完全一样。

五、结语

通过实例可以看到，本文介绍的连续型随机变量数学期望的求法可以解决一些具体问题中的期望计算，可为学习概率统计、随机过程及工程概率应用提供重要的参考，因此，理解和掌握这些方法是大有裨益的。

参考文献：

[1]李贤平.概率论基础[M].第二版.北京：高等教育出版社，1997.

[2]张波，张景肖.应用随机过程[M].北京：清华大学出版社，2004.

[3]徐传胜.离散型随机变量数学期望的求法探究[J].高等数学研究，2005，8，（1）.

[4]唐应辉，唐小我.排队论——基础与分析技术[M].高等教育出版社，2006.

[5]盛骤，谢式千.概率论与数理统计及其应用[M].北京：高等教育出版社，2004.

作者简介：刘仁彬（1972-），男，四川自贡人，博士，副教授，研究方向：概率统计和随机模型。