一种球头铣刀“S”形刃口曲线的数学建模方法*

庞思勤，乔小峰，王西彬，彭 松

(北京理工大学 先进加工技术国防重点学科实验室，北京 100081)

由于球头立铣刀加工复杂曲面时有较好的自适应性和减振性，可以十分方便地加工模具内腔型面以及其他复杂曲面，广泛应用于加工自由曲面机械构件、模具等产业[1].同时，由于刀刃曲线一般为变导程弧形曲线且经过回转轴线，球头立铣刀具有切削力小，波动范围不大，耐用度高，切削过程平稳等优点[2].除此之外，球头立铣刀的切削性能和加工质量在很大程度上也取决于刀刃曲线的合理设计[3].早期的刀刃曲线以直线刃为主，随着工件加工精度要求的提高，随后便出现了一般曲线刃和螺旋线刀刃.目前，对“S”形刃口曲线的研究和应用较广泛，有关“S”型刃口曲线设计和优化方法的文献层出不穷，易德明等人在分析球头立铣刀刃磨方法的基础上，建立了“S”形刃球头立铣刀的前、后刀面及切削刃的数学模型[4].廖钢等人对“S”形刃球头立铣刀几何参数进行了分析与优化，并对切削机理进行了研究[5].胡思节等人根据球头立铣刀的刃磨参数所需满足的条件，对“S”形刃口曲线进行了数学建模[6].汪云涛等人在已建立球头铣刀前刀面和后刀面数学模型的基础上，研究了“S”形刃口球头铣刀的误差数学模型[7].Lee等人提出在球头铣刀球面部分，以一个与刀轴垂直的圆柱面与之相交而形成的“S”形刃口曲线模型[8].Tai等人使用多项式构造了“S”形刃口曲线模型[9].盛尚雄等人根据加工时前刀面的成形运动,分别研究了圆柱和圆锥球头立铣刀球头部分的“S”形刃口曲线数学模型[10].Lin等人讨论了“S”刃口球头铣刀的制造问题[11].

由于球头铣刀在切削加工时的点接触状态会使加工效率降低，随着五轴数控机床的广泛引入，球头铣刀在某些加工领域已被侧铣刀所代替.但是，为了降低生产成本，二轴及三轴数控机床加工过程中仍然广泛使用球头铣刀，对球头铣刀的深入研究是有必要的.目前，对球头铣刀“S”形刃口曲线的研究较为广泛，但是对球面与多个平面相交而成的刀刃曲线数学建模问题的研究少之又少.本文在推导文献[12]中提到的“S”形刃口曲线的过程中，结合空间几何理论和微分几何理论，首次提出了“单球法”和“双球法”两种数学建模方法，可以应用于球头铣刀球面与两个成一定夹角空间平面相交所形成的“S”形刃口曲线的数学模型推导问题，也可以应用到多个空间平面与球面相交的问题.

1 球面刀刃曲线通用数学模型

如图1所示，设点M为球头铣刀刀刃曲线上任意一点，刀刃曲线方程为：

(1)

式中ρ为M点处矢径，ψ为相对于zox平面的偏转角，显然，其均为z的函数，即有：ρ=ρ(z),ψ=ψ(z).据此可以求出刀刃曲线上M点处的单位切矢量τ，回转面轮廓母线在M处的切矢量τ0和轮廓表面在M点处的单位法矢量n0分别为：

τ=

(2)

图1 球面“S”形刃口曲线

由于锥面为回转面，所以在其经线上dψ/dz=0，代入式(2)可得：

(3)

n0=τ×τ0

(4)

根据螺旋角的定义，刀刃M点处螺旋角为单位切矢量τ和τ0之间的夹角，即

cosβ=τ·τ0

(5)

将式(2)，(3)代入式(5)，得到偏转角的微分方程表达式：

(6)

由式(6)解得ψ并代入式(1)，便可求得球面刀刃曲线参数方程如式(7)所示:

(7)

2 球面上平面刀刃曲线的简化数学模型

在刀刃曲线设计过程中，为使刀刃过铣刀回转轴，球面部分采用复合型切削刃，即在刀尖点附近，采用平面曲线刀刃，而在远离刀尖点的部位，采用能与平面曲线刀刃光滑连接的刀刃曲线，通常为螺旋线刀刃曲线，也可以为不同平面上的刀刃曲线，本文主要对两个不同平面上的两段平面刀刃曲线进行数学建模.

如图2(a)所示，平面Ⅰ，Ⅱ相交于球的一条直径线，在平面Ⅰ内过直径线的一个端点作球面的切线t，过切线t作另一个平面Ⅲ，平面Ⅱ，Ⅲ和球面相交于球面上一点M，球面角β即为平面刀刃曲线上任意一点M处的螺旋角，平面Ⅰ，Ⅱ之间的夹角即为平面刀刃曲线上任意一点M处的偏转角ψ的余角.

(a)点M处偏转角和螺旋角关系图

(b)点M处矢量图

如图2(b)所示，平面Ⅱ，Ⅲ和球面的相交点M坐标、M点在球面上的法矢量nR、平面Ⅱ的法线矢量nx和平面Ⅲ的法线矢量nβ分别如式(8)～(11)所示：

(8)

(9)

(10)

(11)

式中R为球面半径；α，θ为球面参数；βk为平面与z坐标轴的夹角，且有：

(12)

平面Ⅱ和球面的交线与平面Ⅲ和球面交线在相交点M处的切向量为tx和tβ：

tx=nx×nR，tβ=nβ×nR

(13)

由平面Ⅱ和平面Ⅲ在球面上的球面角β的定义，可得：

(14)

将式(9)、(10)和式(11)代入式(13)，得：

即，用过球面直径线端点的切线作任一平面Ⅲ，平面Ⅲ和球面的交线与过同一端点的球面经线所形成的球面角β，与过球面经线的平面Ⅱ和过直径线端点切线的平面Ⅰ相交于直径线所形成的二面角α在数值上相等，如图2所示.如图1中所示，设平面Ⅰ为yoz坐标平面，平面Ⅰ，Ⅱ相交所得直径线为z坐标轴，则平面Ⅲ和球面的交线为球头铣刀刀刃曲线，球面角β为刀刃曲线上任意一点M处的螺旋角，二面角α为点M处偏转角的余角，即：

(15)

联立式(12)，(15)，便可求得刀刃上任意一点M处的偏转角为：

(16)

将式(16)代入式(1)，得球面上简化的平面刀刃曲线的参数方程如式(17)所示：

(17)

对比式(17)和式(7)，可以明显看出刀刃曲线方程得到了有效简化，更易于求解.

3 一种“S”形刃口曲线的数学模型

3.1 新型“S”形刃口曲线特征

本文应用简化的平面刀刃曲线的参数方程，对文献[12]提出的球头铣刀“S”形刃口曲线进行数学建模.如图3所示，该球头铣刀的刃型特点有以下特征[12]：

1)刃型曲线由平面Pa与球面的交线和平面Pb与球面的交线组合而成，即由图3所示的两段平面圆弧a和b组成.圆弧b的一端与圆弧a相切于点N，另一端与半球面沿刀具回转轴线方向的顶点K(刀尖)重合.

2)平面Pb与圆弧刃a段的后刀面相切，切线通过圆弧a和b的切点N.

3)b段圆弧刃的前刀面为圆柱面，并与Pb相切.

4)圆弧a和b所在的平面Pa和Pb分别与刀具轴线不平行也不垂直.平面Pa为a段圆弧刃的前刀面，平面Pb为b段圆弧刃的后刀面.

3.2 “单球法”和“双球法”理论

本文基于简化的球头铣刀平面刃口曲线数学方程和图3所示球头铣刀球面部分刃口曲线几何特征，首次提出了“单球法”和“双球法”的理论方法，基于此方法可以解决球头铣刀球面部分任意数量和任意位置平面与球面相交而成的刃口曲线数学建模问题.

(a)“S”形刃口曲线平面视图

(b)“S”形刃口曲线三维视图

图4 平面位置关系图

同样，“双球法”是在不同球面上或不同坐标系中对两段或多段平面刃口曲线进行数学建模，两球面半径须相等.如图5所示，平面Pa位置不变，建立能使平面Pa满足上述条件的过渡坐标系o1x1y1z1，将平面参数代入式(17)可求得过渡坐标系o1x1y1z1中a段刃口曲线的数学模型，对过渡坐标系o1x1y1z1进行坐标变换使其与坐标系oxyz重合，求得过渡坐标系变换为固定坐标系的变换矩阵，对过渡坐标系中的刃口曲线进行同样的坐标变换，即可求得a段刃口曲线在坐标系oxyz中的数学模型，可归纳为：建立过渡坐标系→满足条件→过渡数学模型→坐标变换→数学模型.

3.3 “单球法”建立平面刃口数学模型

3.3.1 平面Pb与球面相交刃口曲线方程

如图3所示，b段刃口曲线由平面Pb和球面相交而成，平面Pb与y平行，符合式(17)推导条件.将平面Pb和z坐标轴夹角βk代入式(17)，可得b段刃口曲线数学模型如式(18)所示：

(a)a段刃口曲线图

(b)平面Pa位置坐标图

(18)

3.3.2 平面Pa与球面相交刃口曲线方程

(19)

式中Mz(φ)为平面Pa绕坐标轴z旋转角度φ时的变换矩阵，如式(20).xN，yN，zN为刀刃曲线连接点N在坐标系oxyz中的坐标值.

(20)

(21)

将式(18)，(20)代入式(19)便可得平面Pa在同一坐标系oxyz中的刀刃曲线方程如式(22)所示:

(22)

(23)

3.4 “双球法”建立平面刃口数学模型

本文提出的“双球法”，即以N点为球面直径线端点，在坐标系o1x1y1z1中建立一个等半径的球面，z1轴和z轴在空间坐标系中平行，如图5所示.平面Pa与坐标轴y1平行，且与z1坐标轴之间的夹角为β1，符合式(17)推导条件，由此可得a段刃口曲线在o1x1y1z1坐标系中的数学方程如式(24)所示:

(24)

式中x1Pa，y1Pa，z1Pa分别为a段刃口曲线上任意一点在o1x1y1z1坐标系的坐标值.

将式(24)所示刃口曲线方程通过坐标变换转换到oxyz坐标系中，即可得到a段刃口曲线在oxyz坐标系中的数学方程如式(25)所示:

(25)

由式(18)和式(25)可得球面上平面刀刃曲线方程为：

(26)

式中Mz(λ)为平面Pa绕坐标轴z旋转角度φ时的变换矩阵，如式(27).xo′，yo′，zo′分别为坐标原点o1在坐标系oxyz中的坐标值.zN为a,b两段刃口曲线连接点N的坐标值，可由Pa和Pb平面参数βk和β1确定.

(27)

4 结 论

本文通过对空间平面理论和球面相交理论进行推导的基础上，证明了球面部分平面刃口曲线偏转角和螺旋角相等的简明数学关系，简化了球面部分平面刃口曲线的数学模型.同时，应用本文提出的“单球法”和“双球法”数学建模方法，并结合简化的平面刃口曲线数学模型，对一种新型“S”形刃口曲线进行了数学建模，应用此建模方法可以求解球头铣刀不同数量空间平面与球面相交所形成的刃口曲线方程，既降低了平面刀刃曲线推导过程的复杂性，同时又为两个或多个空间平面与球头铣刀球面部分相交而成的复合型刃口曲线方程的数学建模提供了一种有效方法.

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