极限计算中的错误剖析

黄丽云

摘 要： 极限是研究函数的重要工具，也是高等数学中最基本的概念之一.极限计算是高等数学课程要求熟练掌握的一种运算.在极限计算中出错，反映学生的思维缺乏思维的严谨性，通过分析和纠正这些错误，能帮助学生加深对极限理论的认识，提升其思维品质.

关键词： 极限 计算方法 错误剖析

极限是研究函数的重要工具，也是高等数学中最基本的概念之一，极限计算是高等数学课程要求熟练掌握的一种运算，对于后续内容的学习具有重要意义.处于高等数学入门阶段的学生，在计算极限时常常会出现各种错误，究其原因，一方面是由于学生对极限理论的严谨性不够重视，另一方面是由于学生的思维品质有待进一步提升.数学教学应高度重视学生思维品质的培养，对学生在极限计算中的错误作分析和订正，既帮助学生加深对极限理论的认识，又能够提升其思维品质.

一、对极限概念理解不透彻导致混淆不同类型的函数极限

函数极限刻画了自变量某个变化过程中对应函数的变化趋势，因而计算函数极限，既要关注自变量的变化过程，又要关注函数的解析式.然而，部分学生在计算极限时，会忽略自变量的变化过程，只关注函数的结构特点选用方法.

例1：计算■■.

错误解法：■■=■■=■=■=0.

正确解法：■■=■■=■■=■.

学生错用自变量趋于无穷大的极限计算方法，计算自变量趋于有限值的函数极限，并误认为■■=0，■■=0.这表明学生对极限概念理解不透彻，不清楚函数极限所刻画的函数变化趋势是与自变量的变化过程相联系的.教学中，可通过分析函数y=■的图像，让学生直观地认识x→4和x→∞的函数极限，提醒学生在计算极限时注意自变量的变化过程，正确地选择计算方法.

例2：计算■■.

错误解法：由重要极限，有■■=1.

正确解法：■■=■■sinx=0.

由于只注意到题目中的函数与重要极限■■=1中的函数相同，忽略了自变量的变化过程与公式不符，结果得出错误的答案.事实上，当x→∞时，sinx是有界函数，■是无穷小，根据有界函数与无穷小的乘积是无穷小，此题的极限是0.

极限概念体现了数学是一个严谨细致的学科，教师应该在数学教学中重视培养学生思维的严谨性.

二、对极限理论的认识不足导致主观臆造公式

函数的有穷极限与函数的无穷极限，在性质上有所不同[1].当函数的极限为无穷大时，按照函数极限的定义，极限是不存在的.涉及无穷大的极限运算，其结果有多种情况，详见文[1].由于学生对有穷极限与无穷极限的认识不足，会错把有穷极限的运算性质搬到无穷极限的运算中.

1.臆造无穷极限的四则运算法则

极限的四则运算法则要求其中的每一个函数都存在极限，商式的分母极限不能为0，而对于无穷极限的四则运算，上述法则是不成立的.有的学生不加推理地把它们搬到无穷极限的运算中，臆造无穷极限的四则运算法则.

例3：计算■（■-■）.

错误解法：■（■-■）=■■-■■=∞-∞=0.

正确解法：■（■-■）=■■=■■=1.

学生在无穷极限的运算中使用了函数极限的四则运算法则，并且主观臆造了无穷极限的运算公式：∞-∞=0.教师在教学中有必要向学生强调无穷极限与有穷极限的不同，促使学生以严谨细致的态度分析问题，从而准确地计算极限.

2.臆造无限个函数的极限运算法则

关于和、差、积的极限运算法则，可以推广到有限个函数的情形，部分学生仿照此法则臆造了无限个函数的极限运算法则.

例4：计算■（■+■+…+■）.

错误解法：

■（■+■+…+■）=■■+■■+…+■■=0+0+…+0=0.

正确解法：因为■≤■+■+…+■≤■，

又■■=■■=1，由夹逼准则，有

■（■+■+…+■）=1.

对于无限个函数的和的极限，必须先把无限项的和转化为有限项的情形，常用的转化方法有利用数列的前n项和公式、夹逼准则等.教师应引导学生整理清楚相关的知识和方法，促使学生正确地运用公式和方法.

3.臆造幂指函数的极限公式

文[2]中给出了幂指函数的一个极限公式.如果limu（x）=a>0，limv（x）=b，那么Limu（x）■=a■.

公式要求a>0，且a，b都必须是有限实数.若limu（x）=∞或limv（x）=∞，则limu（x）■是未定式，不能用上述法则.

例5：计算■（■）■.

错误解法：■（■）■=（■■）■=1■=1.

正确解法：■（■）■=■（1-■）■=e■.

学生在未定式中错用了幂指函数的极限公式，并且自己臆造了公式：1■=1.可见，分清有穷极限与无穷极限的运算性质，是正确运用公式和法则的前提保障.

三、对极限定理和公式的严谨性不够重视导致错用公式

与中学数学相比，高等数学更严谨深入，初学高等数学的学生，由于思维的严谨性不足，在运用定理或公式时，往往会忽略对其使用条件的判断，或误解定理、公式的结论.

1.忽略洛必达法则的条件判断导致错用公式

洛必达法则给出了■型未定式与■型未定式的极限计算法则，其只能用于未定式的极限计算，如果不符合条件也用法则，则必然导致计算错误.

例6[2]：计算■■.

错误解法：■■=■■=■■=■■=1.

正确解法：■■=■■=■■=■.

在此例的错误解法中，连续三次使用了洛必达法则，事实上，■■已不再是■型未定式，不能再用洛必达法则，而应利用连续函数的性质计算极限.在用公式法则之前，应注意相关条件的判断，才能避免犯这样的错误.

2.对等价无穷小替换理解错误导致错用公式

求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换，但若分子或分母是和式，就不能将和式中的某一项或某几项用等价无穷小替换.

例7：计算■■.

错误解法：■■=■■=0.

正确解法：■■=■■=■■=■.

当x→0时，tanx～x，sinx～x，但tanx-sinx与x-x不是等价无穷小，不能对分子中的每一项分别作替换，需要将分子改写为乘积形式.当x→0时，由于1-cosx～■x■，因此tanx（1-cosx）～x·■x■，可以将改造后的分子用x·■x■替换.由于学生不重视对公式的深入理解，因此不能正确判断什么情况下可以替换，什么情况下不能替换，导致解题错误.教师在教学中应向学生分析透彻等价无穷小替换的原理，才能确保学生准确灵活地运用公式.

以上极限计算中出现的错误，反映出学生对极限概念、极限理论，以及公式法则理解不透彻，解题分析缺乏严谨性.一方面，教师在极限教学中重视学生思维品质的培养，有利于学生加深对极限的理解，灵活地掌握好极限的计算.另一方面，学生坚持以严谨认真的态度对待学习和解题，能够进一步提升思维品质.

参考文献：

[1]刘玉琏，傅沛仁，林玎，苑德馨，刘宁.数学分析讲义（上册）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]同济大学数学系.高等数学（上册）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.endprint

摘 要： 极限是研究函数的重要工具，也是高等数学中最基本的概念之一.极限计算是高等数学课程要求熟练掌握的一种运算.在极限计算中出错，反映学生的思维缺乏思维的严谨性，通过分析和纠正这些错误，能帮助学生加深对极限理论的认识，提升其思维品质.

关键词： 极限 计算方法 错误剖析

极限是研究函数的重要工具，也是高等数学中最基本的概念之一，极限计算是高等数学课程要求熟练掌握的一种运算，对于后续内容的学习具有重要意义.处于高等数学入门阶段的学生，在计算极限时常常会出现各种错误，究其原因，一方面是由于学生对极限理论的严谨性不够重视，另一方面是由于学生的思维品质有待进一步提升.数学教学应高度重视学生思维品质的培养，对学生在极限计算中的错误作分析和订正，既帮助学生加深对极限理论的认识，又能够提升其思维品质.

一、对极限概念理解不透彻导致混淆不同类型的函数极限

函数极限刻画了自变量某个变化过程中对应函数的变化趋势，因而计算函数极限，既要关注自变量的变化过程，又要关注函数的解析式.然而，部分学生在计算极限时，会忽略自变量的变化过程，只关注函数的结构特点选用方法.

例1：计算■■.

错误解法：■■=■■=■=■=0.

正确解法：■■=■■=■■=■.

学生错用自变量趋于无穷大的极限计算方法，计算自变量趋于有限值的函数极限，并误认为■■=0，■■=0.这表明学生对极限概念理解不透彻，不清楚函数极限所刻画的函数变化趋势是与自变量的变化过程相联系的.教学中，可通过分析函数y=■的图像，让学生直观地认识x→4和x→∞的函数极限，提醒学生在计算极限时注意自变量的变化过程，正确地选择计算方法.

例2：计算■■.

错误解法：由重要极限，有■■=1.

正确解法：■■=■■sinx=0.

由于只注意到题目中的函数与重要极限■■=1中的函数相同，忽略了自变量的变化过程与公式不符，结果得出错误的答案.事实上，当x→∞时，sinx是有界函数，■是无穷小，根据有界函数与无穷小的乘积是无穷小，此题的极限是0.

极限概念体现了数学是一个严谨细致的学科，教师应该在数学教学中重视培养学生思维的严谨性.

二、对极限理论的认识不足导致主观臆造公式

函数的有穷极限与函数的无穷极限，在性质上有所不同[1].当函数的极限为无穷大时，按照函数极限的定义，极限是不存在的.涉及无穷大的极限运算，其结果有多种情况，详见文[1].由于学生对有穷极限与无穷极限的认识不足，会错把有穷极限的运算性质搬到无穷极限的运算中.

1.臆造无穷极限的四则运算法则

极限的四则运算法则要求其中的每一个函数都存在极限，商式的分母极限不能为0，而对于无穷极限的四则运算，上述法则是不成立的.有的学生不加推理地把它们搬到无穷极限的运算中，臆造无穷极限的四则运算法则.

例3：计算■（■-■）.

错误解法：■（■-■）=■■-■■=∞-∞=0.

正确解法：■（■-■）=■■=■■=1.

学生在无穷极限的运算中使用了函数极限的四则运算法则，并且主观臆造了无穷极限的运算公式：∞-∞=0.教师在教学中有必要向学生强调无穷极限与有穷极限的不同，促使学生以严谨细致的态度分析问题，从而准确地计算极限.

2.臆造无限个函数的极限运算法则

关于和、差、积的极限运算法则，可以推广到有限个函数的情形，部分学生仿照此法则臆造了无限个函数的极限运算法则.

例4：计算■（■+■+…+■）.

错误解法：

■（■+■+…+■）=■■+■■+…+■■=0+0+…+0=0.

正确解法：因为■≤■+■+…+■≤■，

又■■=■■=1，由夹逼准则，有

■（■+■+…+■）=1.

对于无限个函数的和的极限，必须先把无限项的和转化为有限项的情形，常用的转化方法有利用数列的前n项和公式、夹逼准则等.教师应引导学生整理清楚相关的知识和方法，促使学生正确地运用公式和方法.

3.臆造幂指函数的极限公式

文[2]中给出了幂指函数的一个极限公式.如果limu（x）=a>0，limv（x）=b，那么Limu（x）■=a■.

公式要求a>0，且a，b都必须是有限实数.若limu（x）=∞或limv（x）=∞，则limu（x）■是未定式，不能用上述法则.

例5：计算■（■）■.

错误解法：■（■）■=（■■）■=1■=1.

正确解法：■（■）■=■（1-■）■=e■.

学生在未定式中错用了幂指函数的极限公式，并且自己臆造了公式：1■=1.可见，分清有穷极限与无穷极限的运算性质，是正确运用公式和法则的前提保障.

三、对极限定理和公式的严谨性不够重视导致错用公式

与中学数学相比，高等数学更严谨深入，初学高等数学的学生，由于思维的严谨性不足，在运用定理或公式时，往往会忽略对其使用条件的判断，或误解定理、公式的结论.

1.忽略洛必达法则的条件判断导致错用公式

洛必达法则给出了■型未定式与■型未定式的极限计算法则，其只能用于未定式的极限计算，如果不符合条件也用法则，则必然导致计算错误.

例6[2]：计算■■.

错误解法：■■=■■=■■=■■=1.

正确解法：■■=■■=■■=■.

在此例的错误解法中，连续三次使用了洛必达法则，事实上，■■已不再是■型未定式，不能再用洛必达法则，而应利用连续函数的性质计算极限.在用公式法则之前，应注意相关条件的判断，才能避免犯这样的错误.

2.对等价无穷小替换理解错误导致错用公式

求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换，但若分子或分母是和式，就不能将和式中的某一项或某几项用等价无穷小替换.

例7：计算■■.

错误解法：■■=■■=0.

正确解法：■■=■■=■■=■.

当x→0时，tanx～x，sinx～x，但tanx-sinx与x-x不是等价无穷小，不能对分子中的每一项分别作替换，需要将分子改写为乘积形式.当x→0时，由于1-cosx～■x■，因此tanx（1-cosx）～x·■x■，可以将改造后的分子用x·■x■替换.由于学生不重视对公式的深入理解，因此不能正确判断什么情况下可以替换，什么情况下不能替换，导致解题错误.教师在教学中应向学生分析透彻等价无穷小替换的原理，才能确保学生准确灵活地运用公式.

以上极限计算中出现的错误，反映出学生对极限概念、极限理论，以及公式法则理解不透彻，解题分析缺乏严谨性.一方面，教师在极限教学中重视学生思维品质的培养，有利于学生加深对极限的理解，灵活地掌握好极限的计算.另一方面，学生坚持以严谨认真的态度对待学习和解题，能够进一步提升思维品质.

参考文献：

[1]刘玉琏，傅沛仁，林玎，苑德馨，刘宁.数学分析讲义（上册）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]同济大学数学系.高等数学（上册）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.endprint

摘 要： 极限是研究函数的重要工具，也是高等数学中最基本的概念之一.极限计算是高等数学课程要求熟练掌握的一种运算.在极限计算中出错，反映学生的思维缺乏思维的严谨性，通过分析和纠正这些错误，能帮助学生加深对极限理论的认识，提升其思维品质.

关键词： 极限 计算方法 错误剖析

极限是研究函数的重要工具，也是高等数学中最基本的概念之一，极限计算是高等数学课程要求熟练掌握的一种运算，对于后续内容的学习具有重要意义.处于高等数学入门阶段的学生，在计算极限时常常会出现各种错误，究其原因，一方面是由于学生对极限理论的严谨性不够重视，另一方面是由于学生的思维品质有待进一步提升.数学教学应高度重视学生思维品质的培养，对学生在极限计算中的错误作分析和订正，既帮助学生加深对极限理论的认识，又能够提升其思维品质.

一、对极限概念理解不透彻导致混淆不同类型的函数极限

函数极限刻画了自变量某个变化过程中对应函数的变化趋势，因而计算函数极限，既要关注自变量的变化过程，又要关注函数的解析式.然而，部分学生在计算极限时，会忽略自变量的变化过程，只关注函数的结构特点选用方法.

例1：计算■■.

错误解法：■■=■■=■=■=0.

正确解法：■■=■■=■■=■.

学生错用自变量趋于无穷大的极限计算方法，计算自变量趋于有限值的函数极限，并误认为■■=0，■■=0.这表明学生对极限概念理解不透彻，不清楚函数极限所刻画的函数变化趋势是与自变量的变化过程相联系的.教学中，可通过分析函数y=■的图像，让学生直观地认识x→4和x→∞的函数极限，提醒学生在计算极限时注意自变量的变化过程，正确地选择计算方法.

例2：计算■■.

错误解法：由重要极限，有■■=1.

正确解法：■■=■■sinx=0.

由于只注意到题目中的函数与重要极限■■=1中的函数相同，忽略了自变量的变化过程与公式不符，结果得出错误的答案.事实上，当x→∞时，sinx是有界函数，■是无穷小，根据有界函数与无穷小的乘积是无穷小，此题的极限是0.

极限概念体现了数学是一个严谨细致的学科，教师应该在数学教学中重视培养学生思维的严谨性.

二、对极限理论的认识不足导致主观臆造公式

函数的有穷极限与函数的无穷极限，在性质上有所不同[1].当函数的极限为无穷大时，按照函数极限的定义，极限是不存在的.涉及无穷大的极限运算，其结果有多种情况，详见文[1].由于学生对有穷极限与无穷极限的认识不足，会错把有穷极限的运算性质搬到无穷极限的运算中.

1.臆造无穷极限的四则运算法则

极限的四则运算法则要求其中的每一个函数都存在极限，商式的分母极限不能为0，而对于无穷极限的四则运算，上述法则是不成立的.有的学生不加推理地把它们搬到无穷极限的运算中，臆造无穷极限的四则运算法则.

例3：计算■（■-■）.

错误解法：■（■-■）=■■-■■=∞-∞=0.

正确解法：■（■-■）=■■=■■=1.

学生在无穷极限的运算中使用了函数极限的四则运算法则，并且主观臆造了无穷极限的运算公式：∞-∞=0.教师在教学中有必要向学生强调无穷极限与有穷极限的不同，促使学生以严谨细致的态度分析问题，从而准确地计算极限.

2.臆造无限个函数的极限运算法则

关于和、差、积的极限运算法则，可以推广到有限个函数的情形，部分学生仿照此法则臆造了无限个函数的极限运算法则.

例4：计算■（■+■+…+■）.

错误解法：

■（■+■+…+■）=■■+■■+…+■■=0+0+…+0=0.

正确解法：因为■≤■+■+…+■≤■，

又■■=■■=1，由夹逼准则，有

■（■+■+…+■）=1.

对于无限个函数的和的极限，必须先把无限项的和转化为有限项的情形，常用的转化方法有利用数列的前n项和公式、夹逼准则等.教师应引导学生整理清楚相关的知识和方法，促使学生正确地运用公式和方法.

3.臆造幂指函数的极限公式

文[2]中给出了幂指函数的一个极限公式.如果limu（x）=a>0，limv（x）=b，那么Limu（x）■=a■.

公式要求a>0，且a，b都必须是有限实数.若limu（x）=∞或limv（x）=∞，则limu（x）■是未定式，不能用上述法则.

例5：计算■（■）■.

错误解法：■（■）■=（■■）■=1■=1.

正确解法：■（■）■=■（1-■）■=e■.

学生在未定式中错用了幂指函数的极限公式，并且自己臆造了公式：1■=1.可见，分清有穷极限与无穷极限的运算性质，是正确运用公式和法则的前提保障.

三、对极限定理和公式的严谨性不够重视导致错用公式

与中学数学相比，高等数学更严谨深入，初学高等数学的学生，由于思维的严谨性不足，在运用定理或公式时，往往会忽略对其使用条件的判断，或误解定理、公式的结论.

1.忽略洛必达法则的条件判断导致错用公式

洛必达法则给出了■型未定式与■型未定式的极限计算法则，其只能用于未定式的极限计算，如果不符合条件也用法则，则必然导致计算错误.

例6[2]：计算■■.

错误解法：■■=■■=■■=■■=1.

正确解法：■■=■■=■■=■.

在此例的错误解法中，连续三次使用了洛必达法则，事实上，■■已不再是■型未定式，不能再用洛必达法则，而应利用连续函数的性质计算极限.在用公式法则之前，应注意相关条件的判断，才能避免犯这样的错误.

2.对等价无穷小替换理解错误导致错用公式

求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换，但若分子或分母是和式，就不能将和式中的某一项或某几项用等价无穷小替换.

例7：计算■■.

错误解法：■■=■■=0.

正确解法：■■=■■=■■=■.

当x→0时，tanx～x，sinx～x，但tanx-sinx与x-x不是等价无穷小，不能对分子中的每一项分别作替换，需要将分子改写为乘积形式.当x→0时，由于1-cosx～■x■，因此tanx（1-cosx）～x·■x■，可以将改造后的分子用x·■x■替换.由于学生不重视对公式的深入理解，因此不能正确判断什么情况下可以替换，什么情况下不能替换，导致解题错误.教师在教学中应向学生分析透彻等价无穷小替换的原理，才能确保学生准确灵活地运用公式.

以上极限计算中出现的错误，反映出学生对极限概念、极限理论，以及公式法则理解不透彻，解题分析缺乏严谨性.一方面，教师在极限教学中重视学生思维品质的培养，有利于学生加深对极限的理解，灵活地掌握好极限的计算.另一方面，学生坚持以严谨认真的态度对待学习和解题，能够进一步提升思维品质.

参考文献：

[1]刘玉琏，傅沛仁，林玎，苑德馨，刘宁.数学分析讲义（上册）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]同济大学数学系.高等数学（上册）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.endprint