2014年高考广东卷数列题的研究

吴志峰

“年年岁岁考相似，岁岁年年题不同”，又是一年高考时.2014年高考广东数学试卷延续了往年的风格——注重基础，稳中有变.文科数学整份卷子难度不大，多为考查基本概念的理解和基本方法的应用，有利于基础扎实的考生正常发挥.理科难度较去年有所增加，更加注重考生的各种能力的考查.数列作为高考年年必考的内容，今年继续以一个填空题和一个解答题的形式出现，而且都是在中等难度题，特别是解答题连续三年出现在了19题的位置上，难度也相对适中，属于同学们跳一跳就能够摘到的那种难度，渐渐成了每个考生志在必得的一类题目.所以说“数中等难题，还看数列”.下面让我们一起来分析一下今年广东高考中的数列题目吧.

一、常规题目，注重交汇

试题1. （2014年高考广东文第13题）等比数列{an}的各项均为正数， 且a1a5=4， 则log2 a1+log2 a2+log2 a3+log2 a4+log2 a5=

.

解析：因为：数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1a5=4，

所以a1a5=a2a4=a32=4， 所以a3=2， 所以a1a2a3a4a5=a35=25，

所以log2 a1+log2 a2+log2 a3+log2 a4+log2 a5=log2（a1a2a3a4a5）=log2 25=5.

试题2. （2014年高考广东理第13题）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则ln a1+ln a2+…+ln a20=_______.

解析：因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，

所以a1a20=a2a19=…=a10a11=a9a12=e5，所以a1a2a3…a20=（a10a11）10=e50，

所以：ln a1+ln a2+…+ln a20=ln（a1a2a3…a20）=ln e50=50.

点评：试题1、试题2是个姐妹题，是一个数列的常规题目，把数列知识与对数的知识相结合，在知识的交汇处命题，体现了“常规题目，注重交汇”的特点.主要考查等比数列的基本概念和性质的理解，指数及对数的运算，考查考生综合分析的能力和运算求解能力.本题解题的切入点是等比数列的性质：“当m+n=p+q时，有aman=apaq”，结合了对数的运算性质.考生要熟练掌握等比数列的相关性质，指数及对数的运算性质才可以答对这一题.本题是填空题的最后一题（除选做题外），但是并没有小压轴题给人的那种陌生感.虽然也是多知识综合的一个题，但却是平时考生经常练的一个题型，非常注重基础知识的理解和应用，属中等难度题.

文理科进行比较，考查的知识点和方法基本一样，理科相对较难一些，所求式子的项数也多一些，运算难度更大，对考生的能力要求更高一些，特别是运算求解的能力要求上有明显提高.这符合高考数学对文理科考生的不同要求，理科数学要求高于文科数学，且更加注重数学思维和运算求解能力的考查.这里也提醒理科考生在平时的学习中应该更加注重数学思维和运算求解能力的培养，以高标准要求自己，为高考做准备.

二、通法通性，注重思想

试题3. （2014年高考广东文第19题）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足[Sn][2]-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，n∈N?.

（1）求a1的值；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.

思路分析：第（1）问把n=1代入式子中解方程即可求得，难度不大.第（2）问求通项公式需要对式子[Sn][2]-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，n∈N?进行正确的解读.很多考生可能由于无法正确处理式子中的[Sn][2]而难以下笔，其实本问的关键是把上式看成是一个关于Sn一元二次方程，那么利用因式分解可以求出Sn的表达式是Sn=n2+n， 然后再利用an与Sn的关系就可以轻松求得数列的通项公式an=2n. 第（3）问考查数列不等式的证明，而且是右边是一个常数的数列不等式，方法选择上主要考虑放缩法证明不等式.首先思考如何把左边的式子通过放大转化成一个可以求和的式子，且放大的结果要小于，不难想到<，则有+++…+<+++…+.但是求和的结果是（1-）却大于，此时说明我们放得太大了一些，应该考虑从第二项或后几项才开始放大，本题选择从第二项开始放大就可以达到证明，这也是放缩法常用的放缩技巧.当然也可以选择其它放缩方法以达到证明不等式的目的.

解析：（1）令n=1，得S12+S1-6=0，解得：S1=2或S1=-3，又因为an>0，所以S1>0，所以S1=2，即a1=2.

（2）由Sn2-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，得（Sn+3）[Sn-（n2+n）]=0，

解得：Sn=-3或Sn=n2+n.又因为an>0，所以Sn>0，所以Sn=n2+n.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n.

又因为a1=2=2×1，

所以an=2n（n∈N?）.

（3）当n∈N?时，有=<.

所以++…+

=+++…+

<+++…+

=+[（-）+（-）+…+（-）]

=+（-）

=+-<.

解法2：（3）当n∈N?时，n2+n>n2+n-=（n-）（n+）.

所以==×<×=×.

所以 ++…+

=+++…+

<[++…+]endprint

=[-+-+…+-]

=[-]<×=.

点评：试题3是一个关于函数、数列、不等式证明的一个综合性问题，是个中等偏难题，全省平均分只有3.01分.主要考查数列的基本概念、一元二次方程根的计算、数列通项公式的计算、数列前n项和Sn及通项an的关系、以及数列不等式的证明，考查函数与方程的思想、整体的思想、以及化归与转化的思想，考查考生综合分析能力、运算求解能力、推理论证的能力.设问方式和去年高考类似，第一问考查数列的基本概念，求a1的值，难度不大，给考生得分的机会，增加信心，同时第一问求a1的过程用到的解一元二次方程的方法也为第二问求Sn提供了解题方法的提示，为第二问的解题提供帮助.这也是高考命题的一种常见风格，解答题前面的问题为后面的问题提供帮助或解题的方向，所以我们常说“题中有路探为径”.只要我们深入探索，多角度观察，常常会有意外的收获.第二问求数列通项公式，不需要构造，但是需要先由己知条件求出Sn，直接利用Sn求an，题目来源于“人教版必修五课2.3等差数列的前n项和中的例3”.第三问考查放缩法证明数列不等式，是以数列为背景的不等式证明问题，是数列的综合题，体现了在知识交汇点命题的特点.虽然这个题目所考查的内容是放缩法中较常见的分式型的数列放缩问题，与去年的广东高考理科试题类似，解法和难度上都没有变化.但是对于文科生来说，考查放缩法证明数列不等式，对考生数学思想方法和数学能力的要求都比较高，很多文科生往往对这一部分内容望而生畏，难以取得高分.其实只要掌握放缩法的特点及一些常用技巧，在平时的训练中多加练习，掌握这一方法还是可以做到的.

试题4.（2014年高考广东理第19题）设数列{an}的前n和为Sn，满足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N?，且S3=15.

（1）求a1，a2，a3的值；

（2）求数列{an}的通项公式.

思路分析：第（1）问求数列前3项的值，可以分别把n等于1和2代入题目所给的式子中并结合条件列得一个方程组，解方程组可以求得.计算思路比较灵活，习惯上是由第一项往后推其它项，本题却是反过来，先算出第三项，再算第一、第二项.第（2）问求数列{an}的通项公式，首先考虑利用数列前n项和Sn及通项an的关系把题目条件转化为2nan+1=（2n-1）an+6n+1，n∈N?，再根据这个递推公式思考如何求通项公式.常规想法可能是构造一个等差或等比数列，但是此题在构造的过程中难度很大，如果考生一昧地往这一方向思考的话可能会出现花了力气而又得不到分的情况.此时如果能够转换视角，思考第（1）问算出的a1=3，a2=5，a3=7，从中归纳猜想an=2n+1，然后用数学归纳法进行证明，那么这道题就简单很多了.

解析：（1）因为：Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N?，且S3=15.

所以：S1=2a2-7，

S2=4a3-20，

S3=15， 即 a1=2a2-7，

a1+a2=4a3-20，

a1+a2+a3=15，

解得：a1=3，a2=5，a3=7.

（2）由（1）猜想an=2n+1，下面用数学归纳法证明.

①当n=1时，结论显然成立；

②假设当n=k时，ak=2k+1，

因为：Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N?，

所以：Sn-1=2（n-1）an-3（n-1）2-4（n-1），n∈N?，n≥2，

两式相减得：2nan+1=（2n-1）an+6n+1，n∈N?，n≥2，

又因为a1=3，a2=5满足2a2=a1+7，

所以2nan+1=（2n-1）an+6n+1对n∈N?都成立，

所以2kak+1=（2k-1）（2k+1）+6k+1=4k2+6k，

解得ak+1=2k+3=2（k+1）+1，

即当n=k+1时，结论成立.

由①②知，?n∈N?，an=2n+1.

解法2：（2）由（1）猜想an=2n+1，下面用数学归纳法证明.

①当n=1时，结论显然成立；

②假设当n≤k时，ak=2k+1，

所以Sk=3+5+7+…+（2k+1）==k2+2k，

又因为Sk=2kak+1-3k2-4k，

所以k2+2k=2kak+1-3k2-4k，

解得ak+1=2k+3=2（k+1）+1，

即当n=k+1时，结论成立.

由①②知，?n∈N?，an=2n+1.

点评：试题4与试题3有些类似，也是一个中等难度题，全省平均分为5.4分.主要考查方程组的计算、数学归纳法求通项公式以及数列前n项和Sn与通项an的关系，考查函数与方程的思想、整体的思想、以及化归与转化的思想，考查考生综合分析能力、运算求解能力，归纳猜想的能力和推理论证的能力.前两问设问方式和去年高考类似，第一问考查数列的基本概念，求a1，a2，a3的值，难度不大，给考生得分的机会，增强信心，也给第二问的归纳猜想提供了方向.第二问求数列通项公式.没有考查数列不等式的证明，稍稍让人有点意外，给未来数列命题的方向留下了更多的想象的空间.这一题的第二问求数列的通项公式主要考查数学归纳法在数列中的应用，这是一个不常考的知识点，很多考生合情推理意识不够，思维定势严重，在得到递推公式后尝试用构造法去求解，结果是浪费了很多时间而得不到分.其实本题从题目设计意图上来看就是想考查数学归纳法在数列求通项中的应用.考查学生分析问题和解决问题的能力，考查学生在常规方法受挫的时候能不能够转换视角，选择正确的方法.这其实是数学解题的常见思维，也是数学教学应该培养考生的一种能力.还有一部分同学虽然想到了数学归纳法，但是由于疏于训练在数学归纳法证明过程中书写不规范而造成失分.其实数学归纳法是证明数列问题中的一种常用方法，它在一些较难问题中发挥着重要作用，常用来证明数列求通项，求和以及一些与数列有关的证明问题.数学归纳法的一般步骤是：观察——归纳——证明.考查考生归纳、观察和合情推理能力，值得考生关注.endprint

文理科的19题进行比较，虽然考查的基础知识和解题方法有所不同，但是考查的数学基本思想和基本能力是一致的，注重函数与方程的思想、化归与转化的思想的考查，注重运算求解能力，推理论证的能力，展现了数学的科学价值和人文价值. 在解题方法上注重对通法通性的考查，彰显了通法通性在解决数列问题中的应用，体现了“通法通性，注重思想”的特点.从考查的角度来看，文理科略有不同，文科更加注重基础知识、基本方法的理解和应用，理科更加注重数学思维能力的考查，考查学生提出问题和解决问题的能力，这也是同学们应该从数学这门学科的学习中学到的本领.

其实，理科19题第二问也可以利用构造法进行求解，只是过程与常见的一些模型不同，也有点巧合的感觉，笔者也把它写出来供各位考生比较参考.

解法3：（构造法）.

第一步：由己知条件得到递推关系（同解法1）.

根据题意得到递推关系：2nan+1=（2n-1）an+6n+1对n∈N?都成立，

第二步：构造一个新数列.

设2n[an+1+k（n+1）+b]=（2n-1）（an+kn+b），

整理得2nan+1=（2n-1）an-3kn-b.

所以-3k=6，-b=1，即k=-2，b=-1，

所以2n[an+1-2（n+1）-1]=（2n-1）（an-2n-1），n∈N?，

第三步：利用迭乘法求通项.

令bn=an-2n-1，则b1=a1-2-1=0，

所以2nbn+1=（2n-1）bn，n∈N?，

所以bn+1=bn，n∈N?，

所以bn=××…×××b1=0，

所以?n∈N?，an=2n+1.

三、中等难度，稳中有变

从表格可以看出，近三年广东高考在数列知识的考查体现了“中等难度，稳中有变”的特点.近三年都是以一个小题和一个大题的考查形式，分值为19分，占总分的12.5%左右.小题喜欢考等差、等比数列的基本概念、基本公式及基本性质的理解与应用，注重数列和其它知识的交汇，全都出现在填空题，突出“小而巧”的特点，考查考生基础知识的掌握程度，难度中等偏低. 解答题全部出现在19题的位置，以综合题型为主，习惯设问方式是两问或三问，第一问考查数列的基本概念，第二问考查数列通项公式，第三问考查数列不等式证明.考查较为全面，在考查基本概念、基本运算的基础上，又注重考查函数与方程、化归与转化等思想方法.虽然每年所考的知识点和解题方法都有所不同，但是设问形式类似，稳中有变，注重数学思想方法和数学能力的考查，彰显了通法通性在解题中的重要作用，难度中等偏高.

近几年高考广东数学试题的总体特点是：风格独特，容易题非常容易，只在掌握基本概念和基本方法就可以得分.难题往往比较难，考查角度较灵活，如果方法不得当，训练再多也未必能够得分.而数列的考查却是稳定在中等难度题，成为决定很多考生数学成绩的重要知识板块.只要我们在平时的备考中方向正确，方法得当，训练到位，高考中在数列知识上取得突破是完成有可能的.

四、抓住考纲，科学备考

考纲对数列的要求为：① 理解等差数列、等比数列的概念.② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.③ 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.根据广东省的考纲以及对近三年广东高考数列知识的考查分析，各位考生应该对数列的备考有了一些新的认识，本人建议数列的备考应该做到以下几点.

1. 注重基础知识，关注知识交汇.

从考纲的要求来看，数列的研究则以等差、等比数列的研究为主.近三年广东高考对数列的考查渐渐回到考纲的要求上来，以中等难度题为主，主要考查等差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重要性质，以及等差、等比数列学习中所蕴含的数学思想方法的应用，要求考生要在基础知识、基本方法、基本技能的掌握和运用上下功夫，训练的重点应该放在基础题和中等题，不搞偏题和怪题.只有注重基础知识，才能够在考试中以不变应万变，把数列的分数拿到手.同时数列知识的渗透能力很强，它可以与很多其它知识相结合，在知识的交汇处命题，增加试题的新意和难度，就像今年高考广东文理科的13题是一个数列与函数相结合，文科的19题数列与不等式相结合的题目.在平时的备考中，多关注知识交汇，在解题时分析清楚每一个知识的概念及题目的思路，提高解题的成功率.

2. 注重思想方法，重视通法通性.

首先，数列本身就是一个函数，等差数列的通项公式和前n 项和公式与一次函数和二次函数有关，等比数列的通项公式和前n项和公式与指数函数有关.而且等差数列和等比数列在很多地方具有可类比之处.所以在研究数列的时候一定要树立数列是一种特殊的函数的事实.在等差、等比数列的学习中突出函数与方程的思想，在递推数列的学习中突出化归与转化的思想.同时，数列与函数、不等式的综合问题是近几年高考的热点，常涉及数列的通项和前n项和的问题，解决这种问题要利用好化归与转化的思想，把问题转化为我们熟悉的问题来解决.其次，从近三年的广东数列知识的分析可以发现，数列知识的考查中彰显了通法通性在解题中的应用.通法通性是解决问题的基本方法，具有普遍的指导意义.在平时的备考中强调通法通性在解题中的作用，有利于帮助考生把知识形成网络，将方法形成规律，提高数学解题能力.所以每个同学应该熟练掌握数列解题中的常用方法，在平时的训练中一定要把通法通性当作解题的一种习惯，练好通法通性.只有注重数学思想方法，重视通法通性，才能走出茫茫题海，在高考的解题中融会贯通，在中等难度题——数列的求解上取得突破.

（作者单位：佛山市顺德区乐从中学）

责任编校 徐国坚endprint

文理科的19题进行比较，虽然考查的基础知识和解题方法有所不同，但是考查的数学基本思想和基本能力是一致的，注重函数与方程的思想、化归与转化的思想的考查，注重运算求解能力，推理论证的能力，展现了数学的科学价值和人文价值. 在解题方法上注重对通法通性的考查，彰显了通法通性在解决数列问题中的应用，体现了“通法通性，注重思想”的特点.从考查的角度来看，文理科略有不同，文科更加注重基础知识、基本方法的理解和应用，理科更加注重数学思维能力的考查，考查学生提出问题和解决问题的能力，这也是同学们应该从数学这门学科的学习中学到的本领.

其实，理科19题第二问也可以利用构造法进行求解，只是过程与常见的一些模型不同，也有点巧合的感觉，笔者也把它写出来供各位考生比较参考.

解法3：（构造法）.

第一步：由己知条件得到递推关系（同解法1）.

根据题意得到递推关系：2nan+1=（2n-1）an+6n+1对n∈N?都成立，

第二步：构造一个新数列.

设2n[an+1+k（n+1）+b]=（2n-1）（an+kn+b），

整理得2nan+1=（2n-1）an-3kn-b.

所以-3k=6，-b=1，即k=-2，b=-1，

所以2n[an+1-2（n+1）-1]=（2n-1）（an-2n-1），n∈N?，

第三步：利用迭乘法求通项.

令bn=an-2n-1，则b1=a1-2-1=0，

所以2nbn+1=（2n-1）bn，n∈N?，

所以bn+1=bn，n∈N?，

所以bn=××…×××b1=0，

所以?n∈N?，an=2n+1.

三、中等难度，稳中有变

从表格可以看出，近三年广东高考在数列知识的考查体现了“中等难度，稳中有变”的特点.近三年都是以一个小题和一个大题的考查形式，分值为19分，占总分的12.5%左右.小题喜欢考等差、等比数列的基本概念、基本公式及基本性质的理解与应用，注重数列和其它知识的交汇，全都出现在填空题，突出“小而巧”的特点，考查考生基础知识的掌握程度，难度中等偏低. 解答题全部出现在19题的位置，以综合题型为主，习惯设问方式是两问或三问，第一问考查数列的基本概念，第二问考查数列通项公式，第三问考查数列不等式证明.考查较为全面，在考查基本概念、基本运算的基础上，又注重考查函数与方程、化归与转化等思想方法.虽然每年所考的知识点和解题方法都有所不同，但是设问形式类似，稳中有变，注重数学思想方法和数学能力的考查，彰显了通法通性在解题中的重要作用，难度中等偏高.

近几年高考广东数学试题的总体特点是：风格独特，容易题非常容易，只在掌握基本概念和基本方法就可以得分.难题往往比较难，考查角度较灵活，如果方法不得当，训练再多也未必能够得分.而数列的考查却是稳定在中等难度题，成为决定很多考生数学成绩的重要知识板块.只要我们在平时的备考中方向正确，方法得当，训练到位，高考中在数列知识上取得突破是完成有可能的.

四、抓住考纲，科学备考

考纲对数列的要求为：① 理解等差数列、等比数列的概念.② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.③ 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.根据广东省的考纲以及对近三年广东高考数列知识的考查分析，各位考生应该对数列的备考有了一些新的认识，本人建议数列的备考应该做到以下几点.

1. 注重基础知识，关注知识交汇.

从考纲的要求来看，数列的研究则以等差、等比数列的研究为主.近三年广东高考对数列的考查渐渐回到考纲的要求上来，以中等难度题为主，主要考查等差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重要性质，以及等差、等比数列学习中所蕴含的数学思想方法的应用，要求考生要在基础知识、基本方法、基本技能的掌握和运用上下功夫，训练的重点应该放在基础题和中等题，不搞偏题和怪题.只有注重基础知识，才能够在考试中以不变应万变，把数列的分数拿到手.同时数列知识的渗透能力很强，它可以与很多其它知识相结合，在知识的交汇处命题，增加试题的新意和难度，就像今年高考广东文理科的13题是一个数列与函数相结合，文科的19题数列与不等式相结合的题目.在平时的备考中，多关注知识交汇，在解题时分析清楚每一个知识的概念及题目的思路，提高解题的成功率.

2. 注重思想方法，重视通法通性.

首先，数列本身就是一个函数，等差数列的通项公式和前n 项和公式与一次函数和二次函数有关，等比数列的通项公式和前n项和公式与指数函数有关.而且等差数列和等比数列在很多地方具有可类比之处.所以在研究数列的时候一定要树立数列是一种特殊的函数的事实.在等差、等比数列的学习中突出函数与方程的思想，在递推数列的学习中突出化归与转化的思想.同时，数列与函数、不等式的综合问题是近几年高考的热点，常涉及数列的通项和前n项和的问题，解决这种问题要利用好化归与转化的思想，把问题转化为我们熟悉的问题来解决.其次，从近三年的广东数列知识的分析可以发现，数列知识的考查中彰显了通法通性在解题中的应用.通法通性是解决问题的基本方法，具有普遍的指导意义.在平时的备考中强调通法通性在解题中的作用，有利于帮助考生把知识形成网络，将方法形成规律，提高数学解题能力.所以每个同学应该熟练掌握数列解题中的常用方法，在平时的训练中一定要把通法通性当作解题的一种习惯，练好通法通性.只有注重数学思想方法，重视通法通性，才能走出茫茫题海，在高考的解题中融会贯通，在中等难度题——数列的求解上取得突破.

（作者单位：佛山市顺德区乐从中学）

责任编校 徐国坚endprint

文理科的19题进行比较，虽然考查的基础知识和解题方法有所不同，但是考查的数学基本思想和基本能力是一致的，注重函数与方程的思想、化归与转化的思想的考查，注重运算求解能力，推理论证的能力，展现了数学的科学价值和人文价值. 在解题方法上注重对通法通性的考查，彰显了通法通性在解决数列问题中的应用，体现了“通法通性，注重思想”的特点.从考查的角度来看，文理科略有不同，文科更加注重基础知识、基本方法的理解和应用，理科更加注重数学思维能力的考查，考查学生提出问题和解决问题的能力，这也是同学们应该从数学这门学科的学习中学到的本领.

其实，理科19题第二问也可以利用构造法进行求解，只是过程与常见的一些模型不同，也有点巧合的感觉，笔者也把它写出来供各位考生比较参考.

解法3：（构造法）.

第一步：由己知条件得到递推关系（同解法1）.

根据题意得到递推关系：2nan+1=（2n-1）an+6n+1对n∈N?都成立，

第二步：构造一个新数列.

设2n[an+1+k（n+1）+b]=（2n-1）（an+kn+b），

整理得2nan+1=（2n-1）an-3kn-b.

所以-3k=6，-b=1，即k=-2，b=-1，

所以2n[an+1-2（n+1）-1]=（2n-1）（an-2n-1），n∈N?，

第三步：利用迭乘法求通项.

令bn=an-2n-1，则b1=a1-2-1=0，

所以2nbn+1=（2n-1）bn，n∈N?，

所以bn+1=bn，n∈N?，

所以bn=××…×××b1=0，

所以?n∈N?，an=2n+1.

三、中等难度，稳中有变

从表格可以看出，近三年广东高考在数列知识的考查体现了“中等难度，稳中有变”的特点.近三年都是以一个小题和一个大题的考查形式，分值为19分，占总分的12.5%左右.小题喜欢考等差、等比数列的基本概念、基本公式及基本性质的理解与应用，注重数列和其它知识的交汇，全都出现在填空题，突出“小而巧”的特点，考查考生基础知识的掌握程度，难度中等偏低. 解答题全部出现在19题的位置，以综合题型为主，习惯设问方式是两问或三问，第一问考查数列的基本概念，第二问考查数列通项公式，第三问考查数列不等式证明.考查较为全面，在考查基本概念、基本运算的基础上，又注重考查函数与方程、化归与转化等思想方法.虽然每年所考的知识点和解题方法都有所不同，但是设问形式类似，稳中有变，注重数学思想方法和数学能力的考查，彰显了通法通性在解题中的重要作用，难度中等偏高.

近几年高考广东数学试题的总体特点是：风格独特，容易题非常容易，只在掌握基本概念和基本方法就可以得分.难题往往比较难，考查角度较灵活，如果方法不得当，训练再多也未必能够得分.而数列的考查却是稳定在中等难度题，成为决定很多考生数学成绩的重要知识板块.只要我们在平时的备考中方向正确，方法得当，训练到位，高考中在数列知识上取得突破是完成有可能的.

四、抓住考纲，科学备考

考纲对数列的要求为：① 理解等差数列、等比数列的概念.② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.③ 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.根据广东省的考纲以及对近三年广东高考数列知识的考查分析，各位考生应该对数列的备考有了一些新的认识，本人建议数列的备考应该做到以下几点.

1. 注重基础知识，关注知识交汇.

从考纲的要求来看，数列的研究则以等差、等比数列的研究为主.近三年广东高考对数列的考查渐渐回到考纲的要求上来，以中等难度题为主，主要考查等差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重要性质，以及等差、等比数列学习中所蕴含的数学思想方法的应用，要求考生要在基础知识、基本方法、基本技能的掌握和运用上下功夫，训练的重点应该放在基础题和中等题，不搞偏题和怪题.只有注重基础知识，才能够在考试中以不变应万变，把数列的分数拿到手.同时数列知识的渗透能力很强，它可以与很多其它知识相结合，在知识的交汇处命题，增加试题的新意和难度，就像今年高考广东文理科的13题是一个数列与函数相结合，文科的19题数列与不等式相结合的题目.在平时的备考中，多关注知识交汇，在解题时分析清楚每一个知识的概念及题目的思路，提高解题的成功率.

2. 注重思想方法，重视通法通性.

首先，数列本身就是一个函数，等差数列的通项公式和前n 项和公式与一次函数和二次函数有关，等比数列的通项公式和前n项和公式与指数函数有关.而且等差数列和等比数列在很多地方具有可类比之处.所以在研究数列的时候一定要树立数列是一种特殊的函数的事实.在等差、等比数列的学习中突出函数与方程的思想，在递推数列的学习中突出化归与转化的思想.同时，数列与函数、不等式的综合问题是近几年高考的热点，常涉及数列的通项和前n项和的问题，解决这种问题要利用好化归与转化的思想，把问题转化为我们熟悉的问题来解决.其次，从近三年的广东数列知识的分析可以发现，数列知识的考查中彰显了通法通性在解题中的应用.通法通性是解决问题的基本方法，具有普遍的指导意义.在平时的备考中强调通法通性在解题中的作用，有利于帮助考生把知识形成网络，将方法形成规律，提高数学解题能力.所以每个同学应该熟练掌握数列解题中的常用方法，在平时的训练中一定要把通法通性当作解题的一种习惯，练好通法通性.只有注重数学思想方法，重视通法通性，才能走出茫茫题海，在高考的解题中融会贯通，在中等难度题——数列的求解上取得突破.

（作者单位：佛山市顺德区乐从中学）

责任编校 徐国坚endprint