广义逆矩阵A-的计算方法及应用

戴中林

(西华师范大学 数学与信息学院 四川 南充 637002)

众所周知，求解矩阵方程AX=B时，当A为可逆方阵，则解X=A-1B；当A为不可逆方阵或为长方矩阵时，A-1失去意义.为此我们利用广义逆矩阵A-(减号逆)的概念[1-3]，将求逆矩阵运算进行推广，使得无论A是何种矩阵，A-均有意义. 这时矩阵方程AX=B的解都为X=A-B，当A-为A的全部广义逆时，X=A-B为通解.特别地，当B为n维列向量时，该解即为线性方程组AX=B的通解.

1 广义逆矩阵A-(减号逆)的定义

定义设矩阵A为m×n矩阵，若存在n×m矩阵G，使得AGA=A，则称G为A的一个广义逆矩阵，记为G=A-.即有AA-A=A.

一般情况下，满足定义的A-不是唯一的.一般可求出矩阵A的一个或全部广义逆矩阵.

2 广义逆矩阵A-的计算方法

2.1 求矩阵A的一个广义逆A-的公式计算法

定理2.1设A为m×n的行满秩矩阵，即秩rA=m

A-=AT(AAT)-1.

证因为A为m×n矩阵，则AT为n×m矩阵，故矩阵AAT为m阶可逆方阵，有

AAT(AAT)-1=Em，

等式两边右乘矩阵A，得A[AT(AAT)-1]A=A，故由广义逆矩阵的定义有惟一个广义逆矩阵

A-=AT(AAT)-1.

解应用上述公式可求得A的一个广义逆

2.2 求矩阵A的全部广义逆A-的初等变换法

证由广义逆定义即得

即R-=RT.

P-1RQ-1A-P-1RQ-1=P-1RQ-1， 即R(Q-1A-P-1)R=R.

由广义逆的定义及引理得Q-1A-P-1=R-=RT，即得A-=QRTP.

定理2.3矩阵A的全部广义逆矩阵为

其中Y1,Y2,Y3为自由未知量矩阵，总共包含m·n-r2个自由未知量.

成立.故本定理成立.

解对矩阵A先后进行行及列的初等变换，即

3 广义逆矩阵A-的应用

3.1 利用矩阵A的一个广义逆A-，求矩阵方程AX=B的通解

定理3.1若A-是A的一个广义逆矩阵，则矩阵方程AX=B的通解为

X=A-B+(En-A-A)Y.

证首先证明矩阵方程AX=O的通解为X=(En-A-A)Y.

因为A-是A的一个广义逆矩阵，A-A是一个n阶方阵，由定义AA-A=A，即有A(En-A-A)=O.若令n阶方阵C=(En-A-A)，则有AC=O.设Y为与C可乘的矩阵，有A(CY)=O，故取X=CY=(En-A-A)Y，则有AX=O，故X=(En-A-A)Y是矩阵方程AX=O的通解.

又矩阵方程AX=B的一个特解为X=A-B，根据矩阵方程AX=B的通解结构定理，即得通解

X=A-B+(En-A-A)Y。

解由例2.1求得的A-，代入通解公式，

其中z1,z2为自由未知量.

3.2 利用矩阵A的全部广义逆A-，求矩阵方程AX=B的通解

根据广义逆矩阵的计算方法，如果能求出矩阵A的全部广义逆A-，而广义逆中又自然带有若干个自由未知量，即可由X=A-B求得该矩阵方程的通解，且自由未知量的个数也相应确定.

定理3.2若A-为A的全部广义逆矩阵，则矩阵方程AX=B的通解为X=A-B.

利用定理3.2再解例3.1.由例2.2得A的全部广义逆A-，故通解为

其中z1,z2为自由未知量.

解对矩阵A进行行及列的初等变换，可求得

故矩阵A的全部广义逆矩阵

其中y1,…,y8为自由未知量.而通解为

其中z1,…,z4为自由未知量.

从上例可得出以下结论：由于A-的自由未知量的个数是m·n-r2，而线性方程组AX=B的自由未知量的个数本应是n-r个，显然m·n-r2≥n-r，但当计算通解X=A-B时，经中间变量代换后，自由未知量的个数就必然会从m·n-r2个减少到n-r个，否则前面的计算必有错误.这个结论即是判断求逆计算是否正确的依据.

[参 考 文 献]

[1] 陈祖明.矩阵论引论[M].北京：北京航空航天大学出版社，1998：218-234.

[2] 周海云.矩阵理论简明教程[M].北京：国防工业出版社，2011：156-170.

[3] 黄有度.矩阵理论及其应用[M].合肥：合肥工业大学出版社，2013：137-144.