一道国际大学生数学竞赛题的注记

孙 倩

(安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230601)

设P为n次实系数代数多项式，只有实零点.

a)证明对于任意实数x，下列不等式成立：

(n-1)(P′(x))2≥nP(x)P″(x).

(1)

b)讨论等号成立的情形.

这是第五届国际大学生数学竞赛(1998年)的一道试题[1]，本文对这道试题做进一步讨论，得到更为一般的结果.

设Pn(x)为n次实系数代数多项式，只有实零点.

(i)设m=1,2，…,n-1.若x不是Pn(x)的零点，则

(2)

其中等号当且仅当Pn(x)有n重零点时成立.

(ii)设m=2,3,…,n-1.若xi(i=1,2,…,n)为Pn(x)的零点，则

(3)

其中等号当且仅当Pn(x)有n-1重零点时成立.

此结论的证明如下：

(4)

其中x不是Pn(x)的零点.

(5)

(6)

(7)

(6),(7)两式整理后即得不等式(2)，(3).

由牛顿不等式[2]等号成立条件知.不等式(2)中等号当且仅当所有的x-xi(i=1,2,…,n)相等，即Pn(x)有n重零点时成立；不等式(3)中等号当且仅当除xj(i=1,2,…,n；j≠i)相等，即Pn(x)有n-1重零点时成立.

注 当m=1时，由(2)可得(1).而此时，若x为Pn(x)的零点，(2)式亦即(1)式显然成立.又当m=n时，(2)为等式.

当m=1或m=n时，(3)为等式.

[参 考 文 献]

[1] 王丽萍.历届国际大学生数学竞赛试题集[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012:45-46.

[2] 哈代 G H，李特伍德 J E，波利亚 G.不等式[M].北京:科学出版社，1965:53;113.