一种组合数矩阵及其性质

丁 勇

(南京医科大学数学与计算机教研室，南京210029)

特殊的矩阵都有一些有趣的性质，这些矩阵在不同场合被用来作为典型的例子进行分析，说明相关的问题，例如范德蒙矩阵[1]，Hilbert矩阵[2]等.

本文发现了一个与组合数有关的对称正定矩阵，该矩阵有一些有趣的性质，下面进行讨论.

1 组合数矩阵

设j-1为非负整数，用aij表示和为j-1的i≥1个非负整数所有取值的组合数，例如a33=6表示和为2的3个非负整数所有取值的组合有6种：

(2,0,0)， (1,1,0)， (1,0,1)， (0,2,0)， (0,1,1)， (0,0,2).

将aij组成如下方阵

(1)

则上述矩阵有如下的规律性：第1行的元素全为1，其余行的第j个元素恰为上一行前j个元素的和，即

(2)

命题1满足(2)式的矩阵An的元素aij是和为j-1的i个非负整数所有取值的组合数.

证显然，和为定值j-1(j=1,2,…,n)的1个非负整数取值的组合只有一种，即只能取该值，故a1j=1，从而第1行的元素全为1.

和为定值j-1的2个非负整数取值，第一个数可取k(0≤k≤j-1)，当第一个数确定后，第二个数也随之确定，即为j-1-k，故有j种组合，从而

引理[3]设整数m≥1，则

(3)

命题2满足(2)式的矩阵An的元素为

(4)

证已知

归纳假设

由(2)，(3)可得

现在aij又可理解为从j+i-2个不同元素中取出i-1个元素的组合数，与前面的和为非负整数j-1的i个非负整数所有取值的组合数之间有何联系？下面以j=4,i=3进行比较，进一步认清两者联系(表1).

表1 aij=a33的两种组合数的联系

表1左边为和为3的3个非负整数所有取值的组合，右边为从5个元素abcde中取3个的组合. 比较表1可发现，左边和右边两者联系可以这样理解：第一个数为从开始连续取元素的个数，第二个数为第一次取后隔一个再连续取剩余元素的个数，第三个数为第二次取后隔一个再连续取剩余元素的个数.

(5)

由以上讨论可知，矩阵(1)的元素与组合数有关，故不妨称其为组合数矩阵.

由公式(2)不难写出

图1 5阶组合数矩阵与斜行元素示意图

2 组合数矩阵的性质

定义从i=1开始，下标之和i+j=k+1的元素aij称为第k斜行的元素.

例如，a11为第1斜行的元素，a12和a21称为第2斜行的元素，a13，a22和a31称为第3斜行的元素，….斜行元素示意图见图1.

关于An的元素有如下性质.

性质1(i)aij=aji(对称性)；

(ii)aij=ai,j-1+ai-1,j(i,j≥2)，

(6)

即当i,j≥2，An的任一元素为左边元素和上边元素之和；

(ii)由(2)可得

(iii)由(6)及对称性可得ann=an,n-1+an-1,n=2an,n-1为偶数，由(2)及对称性可得

(iv)由(4)可知

(v)由(4)可知

证(i) 记An的顺序主子式为

显然|A1|=|1|=1. 归纳假设|Ak|=1，由(6)可知

ai+1,j-aij=ai+1,j-1，ai,j+1-aij=ai-1,j+1，

从而依次将

第i行(i=k+1,k,…,2)减去第i-1行，可得

再依次将第i列(i=k+1,k,…,2)，减去第i-1列，可得

从而

(ii)由性质1的(i)可知对称性，再由性质2的(i)及线性代数知识可知(ii)成立.

性质3(i)An的特征值都大于0，An的特征值之和为奇数；

(ii) 当n>1时，

证(i)由An的正定性可知其特征值都大于0，因为矩阵的特征值之和为对角线元素之和，由a11=1和性质1的(iii)可得证.

3 猜 想

组合数矩阵An，除了上述的性质外，通过数值计算，还发现其特征值可能还有如下有趣的性质，由于尚未证明，因此是猜想.表2是部分数据的结果.

表2 组合数矩阵An (1≤n≤10)的特征值

(i)An有n个不同的特征值.当n为奇数时，An有一个特征值为1，其余特征值两两配对乘积为1；当n为偶数时，特征值两两配对乘积为1；

例如，n=2时，

(ii)An与其逆矩阵有相同的特征值；

(iii)Ak+1的特征值分散在Ak的特征值两边；

[参 考 文 献]

[1] 叶彩儿. 范德蒙行列式的新证明及其应用[J]. 大学数学, 2011, 27(6) : 135-139.

[2] 李庆扬，王能超，易大义. 数值分析[M]. 5版. 北京：清华大学出版社，2008.

[3] 简明数学手册编写组. 简明数学手册[M]. 上海：上海教育出版社，1977：3-197.

[4] 吴世熙. 排列与组合[M]. 南京：江苏人民出版社， 1979：60.

[5] 浙江大学数学系高等数学教研组. 概率论与数理统计[M]. 北京：人民教育出版社，1979：42-43.

[6] 丘维声. 简明线性代数[M]. 北京：北京大学出版社， 2002.