坐标轴平移在多元函数积分计算中的应用

苏灿荣， 禹春福

(合肥工业大学数学学院 合肥230009)

多元函数积分学是高等数学课程的重要内容.对于某些特殊的多元函数积分，通过适当的坐标轴平移(本质上是变量替换)可将积分区域或被积函数化为便于计算的形式，从而使得积分计算简便可行.下面我们以数学考研试题或数学竞赛试题为例进行说明.

令x=x′,y-1=y′，则x=x′,y=y′+1,dx=dx′,dy=dy′，于是

I=(y′+1)dx′dy′，

例2[1]计算二重积分

其中D={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤2,y≥x}.(2009年全国硕士研究生入学考试数学试题)

解令x-1=x′,y-1=y′，则x=x′+1,y=y′+1,dx=dx′,dy=dy′，于是

其中D′={(x′,y′)|x′2+y′2≤2,y′≥x′}.所以

注 与[1]中教育部考试中心提供的参考答案相比，显然本文的方法较为简便.

例3[2]求抛物面z=x2+y2+1上任意一点P0(x0,y0,z0)处的切平面与抛物面z=x2+y2所围成的立体的体积.(第十七届北京市大学生数学竞赛试题，2006年)

解抛物面z=x2+y2+1上任意一点P0(x0,y0,z0)处的切平面方程为

(1)

(1)式与z=x2+y2联立消去z，得切平面与抛物面z=x2+y2所围立体在xOy平面的投影区域为D={(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2≤1}.故所求立体的体积为

令x-x0=x′,y-y0=y′，则x=x′+x0,y=y′+y0,dx=dx′,dy=dy′，于是

其中D′={(x′,y′)|x′2+y′2≤1}.所以

例4[3]设L为(x-1)2+y2=1，取逆时针方向，求∮L(2x+2y+y2)dx+(x-1)2dy.(2004年陕西省高等数学竞赛试题)

解设曲线L所围成的闭区域为D，由Green公式知

令x-1=x′,y=y′，则dx=dx′,dy=dy′，于是

∮L(2x+2y+y2)dx+(x-1)2dy=-2π.

由Green公式知

令x-a=x′,y-b=y′,z-c=z′，则dx=dx′,dy=dy′,dz=dz′，于是

其中Ω′由x′2+y′2+z′2=R2与z′=0围城.由对称性

而

故

以下问题均可利用坐标轴平移进行求解，解题过程留给读者.

[参 考 文 献]

[1] 《大学数学》编辑部. 硕士研究生入学考试数学试题精解[M].合肥：合肥工业大学出版社，2013.

[2] 李心灿，孙洪祥，邵鸿飞，等.大学生数学竞赛试题解析选编[M].北京：机械工业出版社，2011.

[3] 陕西省第五次大学生高等数学竞赛[J].高等数学研究，2004,7(6):57-59.

[4] 宋国柱.分析中的基本定理和典型方法[M].北京：科学出版社，2004.