关于一道全国大学生数学竞赛试题的思考

张立卓

(对外经济贸易大学统计学院，北京100029)

第五届(2013年)全国大学生数学竞赛预赛题：设Σ是一个光滑封闭曲面，方向朝外，给定第二型曲面积分

试确定曲面Σ，使积分I的值最小，并求该最小值.

解记Σ围成的立体为V，由高斯公式，

设椭球体V0:x2+2y2+3z2≤1，为使I的值最小，需讨论V与V0的位置关系：

(i) 若V在V0外，则在积分域V上，被积函数f(x,y,z)=3(x2+2y2+3z2-1)≥0.又f(x，y，z)不恒为0，

(ii) 若V=V1+V2，其中V1在V0外，

V2在V0内，在积分域V2上，被积函数f(x,y,z)=3(x2+2y2+3z2-1)≤0.又f(x,y,z)不恒为0，

(iii) 若V在V0内，

(iv) 若V=V0，

据三重积分性质，I4≤I3

作变换

积分域V0→V′0:μ2+υ2+ω2≤1，则依三重积分变换法及在球坐标系下三重积分的计算方法[1]，有

下面考虑一般情形.设Σ是一个光滑封闭曲面，取外侧，给定第二型曲面积分

其中F(x,y,z),G(x,y,z),H(x,y,z)为3元3次实系数多项式，依高斯公式，

其中λ1,λ2,λ3为A的3个特征值.作正交变换

积分域Ω→Ω1.令正交矩阵P=(α1α2α3)，其中α1,α2,α3为P的列向量，则

令β=(bcd)，则

(1)

1.若A可逆，即A的3个特征值均不为零.不失一般性，设(1)式可化为

作变换

积分域Ω1→Ω2.

(i) 当λ1>0,λ2>0,λ3>0,δ<0时，I有最小值.

但I没有最大值.这是因为

(ii) 当λ1>0,λ2>0,λ3>0,δ>0时，I没有最大(或最小)值.这是因为，

又令λ=max{λ1,λ2,λ3,δ}，则λ>0，于是

取球体Ω′4:τ2+s2+t2≤ε2，

但I≠0，所以I没有最小值.

(iii) 当λ1<0,λ2<0,λ3<0,δ>0时，I有最大值，但I没有最小值.

(iv) 当λ1<0,λ2<0,λ3<0,δ<0时，I没有最小(或最大)值.证明方法同(ii).

(v) 当λ1,λ2,λ3三者异号时，I没有最大(或最小)值.不妨设λ1>0,λ2>0,λ3<0，令椭圆柱体Ω6:λ1τ2+λ2s2≤1，t∈[t1,t2]，则

(2)

对任意给定的正数M2，在(2)式中，固定t2，令t1充分大，注意λ3<0，则存在t′1，使

所以I没有最大值.又固定t1，令t2充分大，则存在t′2，使

所以I没有最小值.

2.若A不可逆，即A有零特征值.I没有最大(或最小)值.不妨设λ1>0,λ2>0,λ3=0，不失一般性，设(1)式可化为

作变换

积分域Ω1→Ω7，则积分

令椭圆柱体Ω8:λ1τ2+λ2s2≤1，t∈[t1,t2]，则

与上述(v)同法可证，I没有最大(或最小)值.

[参 考 文 献]

[1] 同济大学数学系. 高等数学下册[M]. 6版. 北京：高等教育出版社，2007:229-232.