勒贝格积分在数学分析中的一些应用

胡绍宗

(阜阳师范学院数学系,安徽阜阳236041)

我们知道，数学分析中有些问题，单从黎曼积分(R积分)理论本身是看不清楚的，很难解决，但若用勒贝格积分(L积分)理论就可比较方便地处理了.

勒贝格(Lebesgue)定理 设函数f(x)在[a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上黎曼可积的充要条件是：f(x)在[a,b]上的不连续点集为零测度集(或f(x)在[a,b]上几乎处处连续).

这个定理是研究函数黎曼可积(R可积)性的重要工具，但由于数学分析中没有勒贝格测度概念，单用R积分理论很难讲清楚，因而必须借助L积分理论去证明它(参见胡绍宗《勒贝格定理有趣证明与函数黎曼可积性》，阜阳师范学院学报(自然版)第17卷第1期，2000).

例1下列各函数在其定义区间上是否R可积？若R可积，试求R积分.

(ii) 设p0为康托(Contor)三分集，在[0，1]上定义函数

解(i)虽然在[0，1]上|φ(x)|≤1，即φ(x)有界，且φ(x)在x=0处右连续，但φ(x)在(0,1]上的一切点处都不连续. 而m(0,1]=1，故由勒贝格定理，φ(x)在(0,1]上不是R可积.

设f(x)在 [a,b]上R可积，则必L可积(勒贝格可积)，且有相同的积分值,

于是

证据题设f(x)在 [a,b]上有界，由勒贝格定理，要证f(x)在 [a,b]上R可积，只要再证f(x)在 [a,b]上的不连续点集为零测度集即可.

例3证明 [a,b]上的R可积函数所组成的一致收敛序列的极限为[a,b]上的R可积函数.

证设φn(x)在[a,b]上R可积，且序列{φn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x).现在要证f(x)在[a,b]上R可积.

(i)f(x)在[a,b]上有界.事实上，因φn(x)一致收敛于f(x)，故对∀ε>0，特别地，对ε=1，∃N，使当n≥N时，有|f(x)-φn(x)|<1. 特别地，当n=N时，有|f(x)-φN(x)|<1或φN(x)-1

由(i)，(ii)，依勒贝格定理，f(x)在[a,b]上R可积.

证因为fn(x),f(x),F(x)皆在[a,b]上R可积，故皆在[a,b]上L可积，且其积分值相等，即

所以

此定理就是R积分的控制收敛定理，完全用R积分理论去证明，是十分繁琐的.参见克莱鲍尔著《数学分析》(上海科技出版社).

对R积分列求极限的问题，经常要求函数序列一致收敛(当然这是充分条件)，极限方可以通过积分号，这从运算的角度看来不仅不方便，限制也过强.若用此定理去处理R积分列的极限问题，将会简便得多.

显然{fn(x)},f(x),F(x)皆在[0，1]上连续，从而皆R可积，由阿尔采拉定理，

(1)

其中C为一个和n无关的常数.

(2)

α=α·0.

再结合(1)式，有

综上可知

(i) {fn(x)},f(x),CF(x)皆在[0,a]上R可积；

(ii) |fn(x)|≤CF(x)；

由阿尔采拉定理

证由数学分析中已知

从而

[参 考 文 献]

[1] 程其襄，张奠宙，魏国强,等.实变函数与泛函分析基础[M]. 北京：高等教育出版社，1983：69.

[2] 郑维行，王声望. 实变函数与泛函分析概要(第一册)[M]. 北京：人民教育出版社，1980：111.

[3] 朱育揩，薛峰. 实变函数入门(高师交流讲义)[M]. 1984：155-156.