有理数乘法法则讲法之比较

刘辉

今年学校再次安排我任七年级的数学课，我心中暗自高兴，因为毕竟教学难度又降低了，轻松了许多。但接下来发生的一件事却让我陷入了沉思。

开课的第二周，教材讲到了有理数的乘法，我轻车熟路地设计好了这节课的教学设计。一开始先安排学生做了几道有理数的加减法运算，心想有理数的乘法要比加减法简单得多，练完了有理数的加减，乘法只要简单一说就行了。讲完了课本中的讲解内容，我按着先前的教学安排提问道：“谁还有不明白的地方？”结果班上一名学生高高地举起手来问道：“为什么负数乘以负数得正数呢？我不明白。”班上的其他学生先是哈哈大笑，可随后也感觉到了同样的困惑。对呀，为什么呢？我于是用课本上的讲解方法再次讲了一遍，可突然发现课本上的讲解也算不上证明。于是我又举例，说手心朝上为正朝下为负，翻一次手为负，那么手心朝下再翻一次不就是朝上为正了吗？你们先这样记着，慢慢理解。回到办公室之后，我一直为自己不能很好地解释这个问题而感到不安，我陷入了沉思。回想本学期的开始，我好像早就意识到了这个问题的出现。因为从去年起七年级的数学教材再一次改版了，在新版的七年级教材中关于有理数的乘法的讲解方法有了重大的改动，不再是以前的用蜗牛沿直线爬行的方式来讲解，而是采用了由一系列算式导出的方法。这种讲解方法上的改变已经让我对为什么负数乘以负数要得正数再一次产生了思考。直至今天，在课堂上学生再次提出才让我意识到一定要把这个问题搞清楚。

为了找到答案，我上网，翻书，问同事，折腾了好几天，但是还是没有找到让我完全信服的解释。不过在这个过程中我却获得了不少的收获，下面就先把我的收获与大家分享一下。

一、了解了“负负得正”的发展史

首先，负数概念最早出现在中国的《九章算术》的方程一章中。在这一章中它给出正负数的加减运算法则。而负负得正则是在13世纪末才由数学家朱士杰给出。在《算学启蒙》（1299）中，朱士杰提出：“明乘除法，同名相乘得正，异名相乘得负。”在公元7世纪，印度的数学家婆罗笈多（brahmayup-ta）已经有了明确的正负数概念，及其四则运算法则，内容是：“正负数相乘得负，两负数相乘得正，两正数相乘得正。”直到18世纪仍然有一些西方数学家认为“负负得正”这一运算法则是个谬论。甚至到了19世纪，英国还有一些数学家不接受负数。如英国数学家弗伦得（1757—1841）抨击那些谈“负负得正”的代数学家，认为负数有悖常理，“只有那些喜欢信口开河，厌恶严肃思维的人才支持这种数的使用。”事实上直到19世纪中叶以前，负负得正的运算，在代数课本中都没有得到正确的解释。

二、加深了对有理数乘法法则实质的认识

什么是有理数的乘法法则？有理数的乘法法则为什么是这样的？这些以前从未思考过的问题现在出现在了我的脑海里。对比教材，我突然间明白了这样一个实质性问题：有理数乘法法则实质上就是一种规定。这样我之前的考虑问题的方向完全是错误的，再回过头来看有理数的乘法法则，好像就明白了许多。比如，为什么要这样规定运算法则呢？这让我想到了本册教材的第一节课，用正数和负数表示具有相反意义的量。所有问题的出现都是因为负数。为什么会出现负数，当然是因为生活中出现了正数所不能解决的问题了。那正数和负数的符号就是具有实际意义的符号了。在运算中就多了符号之间的运算，那符号的运算当然要符合实际的意义了。这样一来就不难理解为什么负数乘以负数要得正数了。

三、理解有理数乘法法则的合理性

上面我已经说到了有理数乘法法则是一种规定，为什么这样规定呢？带着这个问题我做了进一步的思考，仔细地比对新老教材上的两种讲解方法，得出以下发现：以蜗牛沿直线运动的讲解为例吧，正号和负号分别表示了蜗牛运动的方向和时间的前后，根据蜗牛运动的实际情况我们直接就能得出乘积的符号是什么，由实际得出的算式总结出乘法的运算法则自然再合理不过了。这样有理数乘法法则的合理性就不言而喻了。

四、从两种讲解方法中看到了形象思维与抽象思维

首先，我简单地解释一下什么是形象思维和抽象思维。形象思维就是用直观形象和表象来解决问题的思维方式。抽象思维则是对客观现象进行间接地、概括地反映的过程。两种方法中怎么会有形象思维与抽象思维呢？

1.蜗牛爬行方式的讲解重形象思维。生动的画面、直观的图像，让学生一看到就有一种亲切的感受，因为它延续了学生小学时的一贯思维方式，起到了小学与中学之间的衔接与过渡。生动直观的画面对于帮助学生理解乘法法则规定的合理性，帮助也是很大的。

2.算式讲解法重抽象思维。算式的讲解方法与蜗牛法就截然不同了，要想理解它，需要寻找算式之间的规律，让学生思考在引进了负数之后，如果想让这种乘法规律继续延续下去，该如何对运算法则做进一步的规定？从而得出了现在的有理数的乘法法则。这种讲解方法在理解上，对学生的抽象思维能力要求很高。与小学一贯的思维方式不同，可以说有一定的难度。

3.两种方法哪一个更容易理解法则的合理性呢？我个人认为，蜗牛爬行的讲解方法更容易理解，因为它更能凸显：“规定是源于生活的实际的需要”，体现了“数学是为了解决生活中的问题而发明的一种工具”。相比较，算式法虽然同样讲明了有理数的乘法为什么要这样规定，但由于它只是强调如何让算式原有的规律在负数加入后能继续下去，好像少了一些与实际的联系，这在理解它的合理性时就略显不足了。

五、更深入地认识到了数学是训练人的思维最好的工具

这次的思考让我做了许多的功课，为了找到答案我试着用多种方法来思考。在这一次的思考过程中，我再一次深深体会到了数学在训练人的思维方面的重要作用。数学的发明是源于解决生活问题的需要，而数学的发展也带动了人类思维的发展。相信在社会的历史进程中数学会越来越凸显它的重要作用。

以上的内容只是我个人对问题的一些思考，能力有限，比较肤浅，希望能与各位教育同仁共同探讨，从而使我在数学教学过程中能取得更大的进步。

（责编 田彩霞）