高等数学教学中反例的作用

邹宗兰

(四川职业技术学院应用数学与经济系，四川 遂宁629000 )

高等数学中存在着大量的概念、定理、法则、公式、命题等，它们不仅内容抽象，逻辑严密，而且之间的关系错综复杂，成为学生学习的难关。在高等数学教学中，由于学生对某些概念的理解存在一定困难，对一些定理缺乏深刻的认识，对一些方法的应用很难掌握，而在教学过程中恰当运用反例，往往能弥补这方面的不足，给高等数学的教学带来事半功倍的效果。

1 利用简单的反例，准确理解定义

高等数学中许多重要的概念都是用抽象的数学语言给予形式化的精确描述，这些语言往往简短精炼，但内涵丰富，意义深刻，给学生的理解带来很大难度。 而数学理论和方法的基础是概念，只有准确理解，才能正确掌握数学知识。概念的教学中，不仅仅要运用正确的例子来分析和强调概念，如果有几个例子从反面来说明定义，从而能加深学生对概念的理解和掌握。

如数列极限概念的理解， 除直接定义外， 再用一个简单的反例：xn＝（-1）n来说明极限的定义。这数列是没有极限的，原因是xn在常数-1 ，1 之间来回跳动，当n→∞时，xn不能无限地靠近一个确定的常数，所以此数列没有极限。

又如可导必连续，这肯定了可导与连续这两个概念之间关系，但连续是否一定可导？ 如函数f（x）＝在x＝0 处连续，但由定义知f（x）在x＝0 处不可导。通过此例，学生印象深刻，强化了对这两个概念之间内在关系的认识，即可导一定连续，但连续不一定可导。

2 应用直观的反例，正确掌握定理

高等数学的教学内容除概念以外，大量的是定理、性质以及他们的应用.每一个定理、性质都有它各自成立的条件，且条件不能随便改变或者削弱，而且不同的定理，条件的性质往往不一样。 在教学中，尽管教师把定理的条件讲得很深刻，而且不厌其烦、不厌其详强调多次，但是有些学生还是凭直观而忽视应注意的条件， 漠视条件的严密性，不审视条件与结论之间关系，甚至把条件看得可有可无，用想当然代替严密的逻辑推理，最后得出自以为正确的谬论。 要避免定理的错误运用，可以使用适当的反例，说明定理的条件不能削弱或改变，或进一步强调条件的性质，这样可加深学生对定理、性质的本质理解，让定理条件入脑入心，深化到学生心灵.因此数学中的定理、公式的许多条件往往是不能改变的，不同的定理，条件是不一样的。为了正确理解定理与公式，往往用反例来说明条件不满足，结论不成立。

如一元微分学中的拉格朗日中值定理：函数y＝f（x）满足（1）在[a,b]上连续，（2）在（a,b）内可导，则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）此定理中两个条件缺一不可。

3 通过直接的反例，纠正错误认识

由于高等数学中概念、定理比较抽象，逻辑程度高，不易理解透彻，所以学生出现一些错误认识，把错误的命题主观臆断为正确的，是非常正常的情况。教学是一个知识积累的过程，又是发现问题、纠正错误的过程。 反例在教学中具有直观、明显、说明力强的特点，通过反例的教学，不仅可以发现学习中存在的错误和漏洞，还可以获得相关的知识，从而得到正确的结论。

4 运用经验的反例，激发学习兴趣

教学过程中,反例不但在使学生获得基本知识、掌握基本理论、加强基本运算技能训练方面有着重要的作用,而且对提高学生的学习兴趣,激发学生的求知欲望,逐步培养科学研究能力诸方面大有帮助。

在讲导数几何意义时，如函数y＝f（x）在x0处可导，则y＝f（x）在x0处必有切线，但如果曲线y＝f（x）在x0处有切线，那么y＝f（x）在x0处是否可导呢？

又如单调函数的导函数必单调。 此命题不对。 例如函数y＝x3在（-∞，＋∞）内是单调的，但它的导数y′＝3x2在（-∞，＋∞）内却不是单调的。

5 结束语

通过上面的反例，可使问题清楚明了。 为了让学生重视反例的学习，在此不要因为问题简单就可轻描淡写，应强调指出概念、定理、性质、公式等的条件，使学生记住结论的同时，也记住这些简单而又典型的反例，而此反例又能帮助学生增强对结论的理解和记忆。

反例在高等数学教学中的地位是不容忽视的，在概念、定理、性质的理解，问题的研究和论证中都有不可替代的作用。因此适当运用反例可使学生澄清对某些概念和性质的模糊认识，加深理解教材内容，搞清结论成立的条件，克服对数学知识理解的偏差，从而更深刻理解知识，思维更加严谨。 因此，善于应用反例是搞好数学教学的重要环节。

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