裂纹深度对裂纹转子非线性动力学系统的研究

雷剑锋，陈越

摘要：文章以转子系统非动力学理论为基础，对转子有裂纹、不同裂纹角度以及一些相关参数影响下的动力学响应特征进行了研究，通过以无纲量的裂纹深度为参数的分岔图、轴心轨迹图、轴心相轨迹图以及Poincaré截面图讨论其振动的非线性特性，在复杂运转的区域范围内，通过分区段的讨论各区域内运动的特点。

关键词：裂纹转子；裂纹深度；轨迹图；Poincaré截面图

中图分类号：O322 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2014）28-0016-02

1 理论基础

对转子系统响应分析的方法有多种，本文采用了对非线性研究公认有效的相轨迹图和Poincaré映射的方法。一般描述混沌的数值方法主要有以下几种：混沌运动的相轨迹图、Poincaré截面、分岔图、功率谱法等。而描述并且识别周期分岔运动的除了有三维频谱图、轴心轨迹图外，还包括周期分岔图和庞卡莱图等。因此综合分岔图、庞卡莱图、轴心轨迹图就可以对非线性转子运转的动力学行为进行研究与分析。

2 动力学性能

裂纹转子轴中的裂纹的不断开闭，导致对其分析起来十分困难。因此为了突出裂纹的影响，选取研究对象多为刚性支承的Jeffcott转子模型。裂纹转子系统的动力学微分方程设转子左端轴心的径向位移为x1、y1，转盘处的径向位移x2、y2。考虑到因为裂纹产生的附加刚度，在对称性假设的条件下，带有横向裂纹的单盘弹性转子系统的运动微分方程式为：

式中，为轴承处的等效之中质量；为转轴中央圆盘质量；k为转轴刚度；为转子的轴承处的机构阻尼；为转子在圆盘处的机构阻尼；b为圆盘偏心率；c为轴承的间隙；、为仅与裂纹深度a有关的刚度系数；为裂纹开不函数；为裂纹方向与偏心之间的夹角；为初相。

3 无量纲裂纹深度对裂纹转子系统的影响

随着时间的推移，转子疲劳破坏表现为裂纹的不断加深，裂纹转子系统的动力学行为，如图1所示，会相应发生规律性的变化。在=，=0.666时，转子位移响应随裂纹扩展出现大量的复杂响应形式和混沌分岔现象：在一个很宽的无量纲裂纹深度范围内A（0.01，0.5），以拟周期与高倍周期解并存形式的响应占主导地位，并明显依次出现周期10、周期12、周期10、拟周期，在经历拟周期后进入混沌状态。在这一区间内，系统响应周期解和拟周期解释一个频繁转换的过程。由于低频进动分岔现象，响应中出现不可通约的频率成分，周期响应变成拟周期响应形式；拟周期解随参数变化又会在某些参数域锁相到周期解；经拟周期解和周期解的多次相互转换，系统响应最终趋于

稳定。

图1 β=π时转子位移响应随无量纲裂纹深度扩展的分岔图

在裂纹转子系统动力学的研究中，裂纹对含裂纹转子的振动特性及响应有着重大的影响，由于裂纹会在转子旋转的过程中随时间的开闭，加之非线性油膜力的加入，使得转子系统呈现出很强的非线性。随之裂纹的不断扩展，裂纹较深时系统的非线性较强，系统响应随其他参数的变化而随之发生非常明显的变化。当裂纹很浅时，一般来说系统的响应当表现为周期性运动，在某些特定的转速下则会出现倍周期运动，与此同时还伴随有各种倍频分量。当裂纹深度较深时（A>0.7055），由于裂纹张开与闭合的影响，非线性响应将会更加

明显。

图2 不同裂纹深度对应的相心轨迹图

图3 不同裂纹深度对应的轴心轨迹图

图4 不同裂纹深度对应的Poincaré截面

图2至图4用Poincaré截面图、轴心轨迹图、相心轨迹图描述了转子系统随着裂纹深度扩展下有多周期迅速进入混沌状态的过程，在由多周期向混沌状态转变的初期相图上能看到相轴线朝封闭带状转化之趋势，对应的Poincaré截面图上也发现了表征拟周期运动的封闭圆环，同时，在对应的频谱图上也发现了部分与主要频率不可通约的频率成分持续累积，证明了，它是由多周期到拟周期，再又拟周期途径进入混沌状态的过程。但是，从相心轨迹的演化来看，整个过程中，它们都没有显著的变化，说明整个过程中不存在间歇进入混沌状态的特征。这也验证了无量纲裂纹深度扩展的分岔图1的分岔现象。

对裂纹较浅的轴，由于裂纹还处在扩展的开始，对转子的振动等特性表现出的影响并不是特别明显，此时的裂纹故障很难识别。但经过分析，我们发现，再开机运转时，在转子转速较低的情况下，分析其轨迹以及频谱图，可以对这一故障进行分析检测。随着裂纹的扩展，裂纹深度不断提高，个倍频成分能量加大，其故障特征也就越来越明显。

4 结语

通过文章的研究看出，裂纹转子系统会随着角速度的逐渐增大，在分岔图中，表现为周期运动和复杂的混沌运动的相间出现，并在达到一定转速之后趋于稳定。因此，在工程应用的实际情况下，我们应尽可能避免较为复杂的区域，降低负面因素对正常运行的影响，从而避免或减弱不稳定运行对系统的干扰。

裂纹转子系统动力学特性的研究，首先要准确地描述裂纹对系统运动轨迹的影响。而裂纹的形式其实有很多种，在本文中，只考虑到了不同角度下的横向裂纹，而在工程实际中，裂纹却是不规则的。转子系统中裂纹的检测除了依靠振动特性的研究外，同时需要和其他的物理、化学方法相结合。组成转子系统的部件与零件较多，即使用好的信号处理方法，单从振动特性方面并不能完全有效地将裂纹故障与其他它转子故障明确地区分开来。对于故障诊断，从不同角度和方法给出的特征信息越多，越容易将不同的故障分开。

参考文献

[1] 朱厚军，赵枚，王德洋.Jeffcott裂纹转子动力特性研究[J].振动与冲击，2001，20（1）.

[2] 陈予恕.机械故障诊断的非线性动力学原理[J].机械工程学报，2007，（1）.

[3] 胡照林.裂纹及碰撞转子动力学分析与研究[D].华中科技大学，2007.

[4] Wu S T，Campos S P，Gular M.Scientific Visualization of Poincaremaps.Computer&Graphics.1998，22

（2）.

[5] Wen B C，Wang Y B.Theoretical research，calculation and experiments of cracked shaft dynamic response.Proceedings of International Conference 95，Kuala Lumper，Malyasia，1995.

[6] 胡照林.裂纹及碰撞转子动力学分析与研究（[D].华中科技大学，2007.

[7] 陈铁锋.裂纹转子动力学特性的有限元模拟研究[D].上海交通大学，2010.

[8] 闻邦椿.故障旋转机械非线性动力学近期研究综述[J].振动工程学报，2004，17（增刊）.

作者简介：雷剑锋（1989-），男，河南唐河人，西南交通大学牵引动力国家重点实验室硕士研究生，研究方向：载运工具运用工程。

摘要：文章以转子系统非动力学理论为基础，对转子有裂纹、不同裂纹角度以及一些相关参数影响下的动力学响应特征进行了研究，通过以无纲量的裂纹深度为参数的分岔图、轴心轨迹图、轴心相轨迹图以及Poincaré截面图讨论其振动的非线性特性，在复杂运转的区域范围内，通过分区段的讨论各区域内运动的特点。

关键词：裂纹转子；裂纹深度；轨迹图；Poincaré截面图

中图分类号：O322 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2014）28-0016-02

1 理论基础

对转子系统响应分析的方法有多种，本文采用了对非线性研究公认有效的相轨迹图和Poincaré映射的方法。一般描述混沌的数值方法主要有以下几种：混沌运动的相轨迹图、Poincaré截面、分岔图、功率谱法等。而描述并且识别周期分岔运动的除了有三维频谱图、轴心轨迹图外，还包括周期分岔图和庞卡莱图等。因此综合分岔图、庞卡莱图、轴心轨迹图就可以对非线性转子运转的动力学行为进行研究与分析。

2 动力学性能

裂纹转子轴中的裂纹的不断开闭，导致对其分析起来十分困难。因此为了突出裂纹的影响，选取研究对象多为刚性支承的Jeffcott转子模型。裂纹转子系统的动力学微分方程设转子左端轴心的径向位移为x1、y1，转盘处的径向位移x2、y2。考虑到因为裂纹产生的附加刚度，在对称性假设的条件下，带有横向裂纹的单盘弹性转子系统的运动微分方程式为：

式中，为轴承处的等效之中质量；为转轴中央圆盘质量；k为转轴刚度；为转子的轴承处的机构阻尼；为转子在圆盘处的机构阻尼；b为圆盘偏心率；c为轴承的间隙；、为仅与裂纹深度a有关的刚度系数；为裂纹开不函数；为裂纹方向与偏心之间的夹角；为初相。

3 无量纲裂纹深度对裂纹转子系统的影响

随着时间的推移，转子疲劳破坏表现为裂纹的不断加深，裂纹转子系统的动力学行为，如图1所示，会相应发生规律性的变化。在=，=0.666时，转子位移响应随裂纹扩展出现大量的复杂响应形式和混沌分岔现象：在一个很宽的无量纲裂纹深度范围内A（0.01，0.5），以拟周期与高倍周期解并存形式的响应占主导地位，并明显依次出现周期10、周期12、周期10、拟周期，在经历拟周期后进入混沌状态。在这一区间内，系统响应周期解和拟周期解释一个频繁转换的过程。由于低频进动分岔现象，响应中出现不可通约的频率成分，周期响应变成拟周期响应形式；拟周期解随参数变化又会在某些参数域锁相到周期解；经拟周期解和周期解的多次相互转换，系统响应最终趋于

稳定。

图1 β=π时转子位移响应随无量纲裂纹深度扩展的分岔图

在裂纹转子系统动力学的研究中，裂纹对含裂纹转子的振动特性及响应有着重大的影响，由于裂纹会在转子旋转的过程中随时间的开闭，加之非线性油膜力的加入，使得转子系统呈现出很强的非线性。随之裂纹的不断扩展，裂纹较深时系统的非线性较强，系统响应随其他参数的变化而随之发生非常明显的变化。当裂纹很浅时，一般来说系统的响应当表现为周期性运动，在某些特定的转速下则会出现倍周期运动，与此同时还伴随有各种倍频分量。当裂纹深度较深时（A>0.7055），由于裂纹张开与闭合的影响，非线性响应将会更加

明显。

图2 不同裂纹深度对应的相心轨迹图

图3 不同裂纹深度对应的轴心轨迹图

图4 不同裂纹深度对应的Poincaré截面

图2至图4用Poincaré截面图、轴心轨迹图、相心轨迹图描述了转子系统随着裂纹深度扩展下有多周期迅速进入混沌状态的过程，在由多周期向混沌状态转变的初期相图上能看到相轴线朝封闭带状转化之趋势，对应的Poincaré截面图上也发现了表征拟周期运动的封闭圆环，同时，在对应的频谱图上也发现了部分与主要频率不可通约的频率成分持续累积，证明了，它是由多周期到拟周期，再又拟周期途径进入混沌状态的过程。但是，从相心轨迹的演化来看，整个过程中，它们都没有显著的变化，说明整个过程中不存在间歇进入混沌状态的特征。这也验证了无量纲裂纹深度扩展的分岔图1的分岔现象。

对裂纹较浅的轴，由于裂纹还处在扩展的开始，对转子的振动等特性表现出的影响并不是特别明显，此时的裂纹故障很难识别。但经过分析，我们发现，再开机运转时，在转子转速较低的情况下，分析其轨迹以及频谱图，可以对这一故障进行分析检测。随着裂纹的扩展，裂纹深度不断提高，个倍频成分能量加大，其故障特征也就越来越明显。

4 结语

通过文章的研究看出，裂纹转子系统会随着角速度的逐渐增大，在分岔图中，表现为周期运动和复杂的混沌运动的相间出现，并在达到一定转速之后趋于稳定。因此，在工程应用的实际情况下，我们应尽可能避免较为复杂的区域，降低负面因素对正常运行的影响，从而避免或减弱不稳定运行对系统的干扰。

裂纹转子系统动力学特性的研究，首先要准确地描述裂纹对系统运动轨迹的影响。而裂纹的形式其实有很多种，在本文中，只考虑到了不同角度下的横向裂纹，而在工程实际中，裂纹却是不规则的。转子系统中裂纹的检测除了依靠振动特性的研究外，同时需要和其他的物理、化学方法相结合。组成转子系统的部件与零件较多，即使用好的信号处理方法，单从振动特性方面并不能完全有效地将裂纹故障与其他它转子故障明确地区分开来。对于故障诊断，从不同角度和方法给出的特征信息越多，越容易将不同的故障分开。

参考文献

[1] 朱厚军，赵枚，王德洋.Jeffcott裂纹转子动力特性研究[J].振动与冲击，2001，20（1）.

[2] 陈予恕.机械故障诊断的非线性动力学原理[J].机械工程学报，2007，（1）.

[3] 胡照林.裂纹及碰撞转子动力学分析与研究[D].华中科技大学，2007.

[4] Wu S T，Campos S P，Gular M.Scientific Visualization of Poincaremaps.Computer&Graphics.1998，22

（2）.

[5] Wen B C，Wang Y B.Theoretical research，calculation and experiments of cracked shaft dynamic response.Proceedings of International Conference 95，Kuala Lumper，Malyasia，1995.

[6] 胡照林.裂纹及碰撞转子动力学分析与研究（[D].华中科技大学，2007.

[7] 陈铁锋.裂纹转子动力学特性的有限元模拟研究[D].上海交通大学，2010.

[8] 闻邦椿.故障旋转机械非线性动力学近期研究综述[J].振动工程学报，2004，17（增刊）.

作者简介：雷剑锋（1989-），男，河南唐河人，西南交通大学牵引动力国家重点实验室硕士研究生，研究方向：载运工具运用工程。

摘要：文章以转子系统非动力学理论为基础，对转子有裂纹、不同裂纹角度以及一些相关参数影响下的动力学响应特征进行了研究，通过以无纲量的裂纹深度为参数的分岔图、轴心轨迹图、轴心相轨迹图以及Poincaré截面图讨论其振动的非线性特性，在复杂运转的区域范围内，通过分区段的讨论各区域内运动的特点。

关键词：裂纹转子；裂纹深度；轨迹图；Poincaré截面图

中图分类号：O322 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2014）28-0016-02

1 理论基础

对转子系统响应分析的方法有多种，本文采用了对非线性研究公认有效的相轨迹图和Poincaré映射的方法。一般描述混沌的数值方法主要有以下几种：混沌运动的相轨迹图、Poincaré截面、分岔图、功率谱法等。而描述并且识别周期分岔运动的除了有三维频谱图、轴心轨迹图外，还包括周期分岔图和庞卡莱图等。因此综合分岔图、庞卡莱图、轴心轨迹图就可以对非线性转子运转的动力学行为进行研究与分析。

2 动力学性能

裂纹转子轴中的裂纹的不断开闭，导致对其分析起来十分困难。因此为了突出裂纹的影响，选取研究对象多为刚性支承的Jeffcott转子模型。裂纹转子系统的动力学微分方程设转子左端轴心的径向位移为x1、y1，转盘处的径向位移x2、y2。考虑到因为裂纹产生的附加刚度，在对称性假设的条件下，带有横向裂纹的单盘弹性转子系统的运动微分方程式为：

式中，为轴承处的等效之中质量；为转轴中央圆盘质量；k为转轴刚度；为转子的轴承处的机构阻尼；为转子在圆盘处的机构阻尼；b为圆盘偏心率；c为轴承的间隙；、为仅与裂纹深度a有关的刚度系数；为裂纹开不函数；为裂纹方向与偏心之间的夹角；为初相。

3 无量纲裂纹深度对裂纹转子系统的影响

随着时间的推移，转子疲劳破坏表现为裂纹的不断加深，裂纹转子系统的动力学行为，如图1所示，会相应发生规律性的变化。在=，=0.666时，转子位移响应随裂纹扩展出现大量的复杂响应形式和混沌分岔现象：在一个很宽的无量纲裂纹深度范围内A（0.01，0.5），以拟周期与高倍周期解并存形式的响应占主导地位，并明显依次出现周期10、周期12、周期10、拟周期，在经历拟周期后进入混沌状态。在这一区间内，系统响应周期解和拟周期解释一个频繁转换的过程。由于低频进动分岔现象，响应中出现不可通约的频率成分，周期响应变成拟周期响应形式；拟周期解随参数变化又会在某些参数域锁相到周期解；经拟周期解和周期解的多次相互转换，系统响应最终趋于

稳定。

图1 β=π时转子位移响应随无量纲裂纹深度扩展的分岔图

在裂纹转子系统动力学的研究中，裂纹对含裂纹转子的振动特性及响应有着重大的影响，由于裂纹会在转子旋转的过程中随时间的开闭，加之非线性油膜力的加入，使得转子系统呈现出很强的非线性。随之裂纹的不断扩展，裂纹较深时系统的非线性较强，系统响应随其他参数的变化而随之发生非常明显的变化。当裂纹很浅时，一般来说系统的响应当表现为周期性运动，在某些特定的转速下则会出现倍周期运动，与此同时还伴随有各种倍频分量。当裂纹深度较深时（A>0.7055），由于裂纹张开与闭合的影响，非线性响应将会更加

明显。

图2 不同裂纹深度对应的相心轨迹图

图3 不同裂纹深度对应的轴心轨迹图

图4 不同裂纹深度对应的Poincaré截面

图2至图4用Poincaré截面图、轴心轨迹图、相心轨迹图描述了转子系统随着裂纹深度扩展下有多周期迅速进入混沌状态的过程，在由多周期向混沌状态转变的初期相图上能看到相轴线朝封闭带状转化之趋势，对应的Poincaré截面图上也发现了表征拟周期运动的封闭圆环，同时，在对应的频谱图上也发现了部分与主要频率不可通约的频率成分持续累积，证明了，它是由多周期到拟周期，再又拟周期途径进入混沌状态的过程。但是，从相心轨迹的演化来看，整个过程中，它们都没有显著的变化，说明整个过程中不存在间歇进入混沌状态的特征。这也验证了无量纲裂纹深度扩展的分岔图1的分岔现象。

对裂纹较浅的轴，由于裂纹还处在扩展的开始，对转子的振动等特性表现出的影响并不是特别明显，此时的裂纹故障很难识别。但经过分析，我们发现，再开机运转时，在转子转速较低的情况下，分析其轨迹以及频谱图，可以对这一故障进行分析检测。随着裂纹的扩展，裂纹深度不断提高，个倍频成分能量加大，其故障特征也就越来越明显。

4 结语

通过文章的研究看出，裂纹转子系统会随着角速度的逐渐增大，在分岔图中，表现为周期运动和复杂的混沌运动的相间出现，并在达到一定转速之后趋于稳定。因此，在工程应用的实际情况下，我们应尽可能避免较为复杂的区域，降低负面因素对正常运行的影响，从而避免或减弱不稳定运行对系统的干扰。

裂纹转子系统动力学特性的研究，首先要准确地描述裂纹对系统运动轨迹的影响。而裂纹的形式其实有很多种，在本文中，只考虑到了不同角度下的横向裂纹，而在工程实际中，裂纹却是不规则的。转子系统中裂纹的检测除了依靠振动特性的研究外，同时需要和其他的物理、化学方法相结合。组成转子系统的部件与零件较多，即使用好的信号处理方法，单从振动特性方面并不能完全有效地将裂纹故障与其他它转子故障明确地区分开来。对于故障诊断，从不同角度和方法给出的特征信息越多，越容易将不同的故障分开。

参考文献

[1] 朱厚军，赵枚，王德洋.Jeffcott裂纹转子动力特性研究[J].振动与冲击，2001，20（1）.

[2] 陈予恕.机械故障诊断的非线性动力学原理[J].机械工程学报，2007，（1）.

[3] 胡照林.裂纹及碰撞转子动力学分析与研究[D].华中科技大学，2007.

[4] Wu S T，Campos S P，Gular M.Scientific Visualization of Poincaremaps.Computer&Graphics.1998，22

（2）.

[5] Wen B C，Wang Y B.Theoretical research，calculation and experiments of cracked shaft dynamic response.Proceedings of International Conference 95，Kuala Lumper，Malyasia，1995.

[6] 胡照林.裂纹及碰撞转子动力学分析与研究（[D].华中科技大学，2007.

[7] 陈铁锋.裂纹转子动力学特性的有限元模拟研究[D].上海交通大学，2010.

[8] 闻邦椿.故障旋转机械非线性动力学近期研究综述[J].振动工程学报，2004，17（增刊）.

作者简介：雷剑锋（1989-），男，河南唐河人，西南交通大学牵引动力国家重点实验室硕士研究生，研究方向：载运工具运用工程。