电场中有关电势重要结论的推导及其应用

电场中有关电势重要结论的推导及其应用

河南省巩义市巩义中学(451200)宁鹏程

在高考物理试题中电学内容和力学内容大约各占50分，电场知识在电学中的地位也非常重要，下面我们围绕电场中有关电势的问题进行深入探讨，并总结了四个重要结论，以期对同学们有所启发和帮助.

图1重要结论1：如图1所示，在匀强电场中，A、B和C在同一条直线上，C为AB的中点（即：AC=CB）,那么C点的电势等于A点的电势和B点的电势的和的一半.即：若A、B和C三点的电势分别为φA、φB和φC，则：φC=φA+φB2.

证明如图1所示，设AB和电场强度的方向的夹角为θ，把一个带电量为q的正电荷沿着AB方向从A移到B.设AC=CB=L.

则：从A移到C,电场力做功：

WAC=qELcosθ=qUAC=q(φA-φC)①

从C移到B,电场力做功：

WCB=qELcosθ=qUCB=q(φC-φB)②

由①②得：φA-φC=φC-φB

所以：φC=φA+φB2

图2重要结论2：如图2所示，在匀强电场中，A、B、C、D和M在同一条直线上，AB=BC=CD=DM,A、B、C、D和M的电势分别为φA、φB、φC、φD和φM.

则：φA-φB=φB-φC=φC-φD=φD-φM.

也可证明： φB=3φA+φM4

拓展：若AM=nAB，则： φB=(n-1)φA+φMn

证明如图2所示，设AM和电场强度的方向的夹角为θ，把一个带电量为q的正电荷沿着AB方向从A移到M.设AB=BC=CD=DM=L.

则：从A移到B,电场力做功：WAB=qELcosθ=qUAB=q(φA-φB)

从B移到C,电场力做功：

WBC=qELcosθ=qUBC=q(φB-φC)

从C移到D,电场力做功：

WCD=qELcosθ=qUCD=q(φC-φD)

从D移到M,电场力做功：

WDM=qELcosθ=qUDM=q(φD-φM)

由以上各式得：

φA-φB=φB-φC=φC-φD=φD-φM

又由： φA-φM=φA-φB+φB-φC+φC-φD+φD-φM=4(φA-φB)

所以： φA-φM=4φA-4φB

进一步得： φB=3φA+φM4

同理可证明：若AM=nAB，

则： φB=(n-1)φA+φMn

图3重要结论3：如图3所示，在匀强电场中，四边形ABCD为平行四边形,A、B、C和D的电势分别为φA、φB、φC和φD.

则： φA-φB=φD-φC

证明如图3所示，设AB和电场强度的方向的夹角为θ，把一个带电量为q的正电荷沿着AB方向从A移到B.设AB=DC=L.

则：从A移到B,电场力做功：WAB=qELcosθ=qUAB=q(φA-φB)

同理：把该正电荷从D移到C,电场力做功：

WDC=qELcosθ=qUDC=q(φD-φC)

由以上各式得： φA-φB=φD-φC

本结论也可以总结为：若在匀强电场中，两条线段AB和DC平行且相等，则： φA-φB=φD-φC.

例1如图4所示，在匀强电场中，四边形ABCD为矩形,A、B、C和D的电势分别为φA、φB、φC和φD.

图4图5已知：φA=8 V、φB=16 V和φC=20 V,求：D的电势φD.

解法一如图5所示，连接AD和CB，它们相交于O点，则O既是AD的中点，又是CB的中点.

由重要结论1得：φO=φA+φD2=φB+φC2

即： φA+φD=φB+φC=8 V+φD

=16 V+20 V

解得： φD=28 V

解法二在匀强电场中，两条线段AB和DC平行且相等，则：

由重要结论3得： φA-φB=φC-φD

=8 V-16 V=20 V-φD

解得： φD=28 V

重要结论4：等势面（或等势线）和电场线垂直，沿着电场线方向电势越来越低.

例2如图6所示，A、B和C为匀强电场中的三点，A、B和C的电势分别为φA、φB和φC，已知：φA=6 V、φB=4 V、φC=5 V，请画出该匀强电场中的一条电场线.

图6图7分析与解如图7所示，连接AB，设AB的中点为D,由结论1得：φD=φA+φB2=5 V，由于φC=5 V，C和D在一条等势线上，连接DC（DC为等势线），过A点向直线DC作垂线交DC于F，由重要结论4得：AF就是该匀强电场中的一条电场线.

例3空间有一均匀强电场，在电场中建立如图8所示的直角坐标系O-xyz，M、N、P为电场中的三个点，M点的坐标（0,a,0)，N点的坐标为(a,0,0)，P点的坐标为(a,a2,a2).已知电场方向平行于直线MN，M点电势为零，N点电势为1 V，求P点的电势？

图8图9分析与解如图9所示，本题首先把立体问题转化成平面问题，

设P点在平面MDNO的射影为P1，P1点的坐标为(a,a2,0)，P1是DN的中点.PP1垂直于平面MDNO，由于电场方向平行于直线MN，MN在平面MDNO中.由立体几何知识可知：PP1垂直于电场线.PP1是一条等势线.所以P的电势等于P1的电势即：φP=φP1.由题意画出匀强电场的一条电场线MN.由于MDNO为正方形，DO和MN互相垂直且平分，所以：O1为MN的中点，DO是一条等势线.

由结论1得：φO1=φN+φM2=12V.过P1做DO的平行线交MN于P2，则：P2为NO1的中点，P1P2垂直于MN，P1P2是一条等势线.所以P2的电势等于P1的电势即：φP2=φP1.

由重要结论1得：φP2=φN+φO12=34V.所以P点的电势φP=φP1=φP2=34V.

图10例4如图10所示，空间中存在着匀强电场，正方体ABCDEFGH中A、B、C、H四点电势分别为φA＝4 V，φB＝6 V，φC＝9 V， φH＝5 V．则下面说法正确的是().

A．把1C正电荷从B点经G点移到H点，电场力做功一定是2 J

B．G点电势可能为6 V

C．A、G两点的电势差UAG与D、F两点的电势差UDF一定相等

D．电场强度方向一定与D、G两点的连线垂直

分析与解

由于AB和DC平行，A、B两点的电势差UAB与D、C两点的电势差UDC相等，即：UAB=UDC，φA-φB=φD-φC，4V-6V=φD-9V，所以：φD=7V；

由于AB和GH平行，A、B两点的电势差UAB与H、G两点的电势差UHG相等，即：UAB=UHG，φA-φB=φH-φG，4V-6V=5V-φG，所以：φD=φG=7V，D、G两点的连线为一条等势线，由于电场线和等势线垂直，所以电场强度方向一定与D、G两点的连线垂直，答案D正确，答案B错误；把1C正电荷从B点经G点移到H点，电场力做功WBC=qUBC=q(φB-φC)=1×(6-7)=-1(J)，答案A错误； UAG=φA-φG=4V-7V=-3V，由于DG和AF平行，A、F两点的连线也是一条等势线，即：φA=φF=4V.所以UDF=φD-φF=7V-7V=3V，答案C错误.综合上面的分析，本题答案选D.

例5（2012高考理综安徽卷第18题）：如图11所示，在平面直角坐标中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为零，点A处的电势为6 V, 点B处的电势为3 V, 则电场强度的大小为().

A.200 V/mB. 2003V/m

C.100V/m D.1003V/m

图11图12解析如图12所示，不妨设点O和点A的连线的中点为C，则OC=3 cm，由重要结论1得：C点的电势为φC=φO+φA2，由于φO=0，φA=6 V，则φC=φO+φA2=3 V.由于在匀强电场中，等势线是直线，φC=3 V，φB=3 V，所以连接B和C两点，BC是一条等势线.由于在匀强电场中，电场线和等势线互相垂直，且沿着电场线方向电势越来越低.不妨过O点做一条电场线与BC交于D点，则φD=φC=3V，且DO和BC垂直.设BC和CO的夹角为θ，则在直角三角形△OCB中：tanθ=BOOC=33，即：θ=30°.则在直角三角形△OCD中：DO=OCsin30°=32cm.

在匀强电场中，由于U=Ed，所以E=UDODO=φD-φODO=3V32cm=200 V/m，所以答案A正确.

例6一空间存在匀强电场，场中A、B、C、D四个点恰构成正四面体，如图13所示.已知电场强度大小为E，方向平行于正四面体的底面ABC，正四面体棱长为23cm.已知UAC=6 V、UBC=6 V，则可判断（）.

A． UDC=4 VB. UDC=3 V

C. E=200 V/mD.E=4003V/m

图13图14解析 由于电场线和等势线垂直，在匀强电场中电场线是直线，所以在匀强电场中等势线和电场线垂直且是一条直线.由于UAC=φA-φC=6 V，UBC=φB-φC=6 V，所以φA=φB，AB是一条等势线，φM=φA，UMC=φM-φC=6 V.

如图14所示，不妨过D点做平面ABC的垂线DO，O点在平面ABC中，连接CO交AB于M，由几何知识可得：CM垂直于AB，CM是一条电场线.

由立体几何知识可得：一条直线垂直于一个平面时，该直线和这个平面内的所有直线垂直.所以DO是一条等势线，φD=φO，UDC=UOC.

由几何关系可得：OC=23MC

则：UOC=23UMC=4V，UOC=UDC=4V，答案A正确，答案B错误.由UBC=E×BC×sin60°得：

6=E×23×10-2×32，解得：E=200(V/m).

综合上面分析可得：本题答案选A C.

图15例7如图15所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个正六边形的六个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为2V、8V和10V.下列说法中正确的是().

A． UAD=UFC=UBEB．零势面通过E点

C．将一质子从D点移到A点，电场力做功为8eV

D．将一电子从F点移到B点，电场力做功为4eV

解析由于A、B点的电势分别为2V、8V，所以UAB=φα-φB=2V-8V=-6V，由几何关系可得：AB平行于FC，且FC=2AB.进一步得：UFC=2UAB，由于C点的电势为10V，所以UFC=φF-φC=φF-10V=-12 V

解得：φF=-2V，设FC的中点为F1，则F1点的电势为φF1=φF+φC2=4V，设FF1的中点为F2，则F2点的电势为φF2=φF+φF12=1 V，又由几何关系可得:F2又是AE的中点，φF2=φA+φE2=1 V，解得：φE=0，所以零势面通过E点，答案B正确；

由几何关系可得：AB平行于ED，且ED=AB，进一步得：UAB=UED=-6V=φE-φD，解得：φD=6 V，则：UAB=φA-φD=-4 V，答案A错误；将一质子从D点移到A点，电场力做功为WAD=eUAD=-4 eV，答案C错误；将一电子从F点移到B点，电场力做功为WFB=-eUFB=-e(φF-φB)=10 eV，答案D错误.综合上面分析可得：本题答案选B.

例8如图16所示，匀强电场中有a、b、c三点.在以它们为顶点的三角形中，∠a=30°、∠c=90°.电场方向与三角形所在平面平行.已知a、b和c点的电势分别为(2-3)V、(2+3)V和2V.该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为().

A．(2-3)V、(2+3)V B．0、 4 V

C．(2-433)V、(2+433)VD．0、3V

图16图17

解析如图17所示，根据匀强电场的电场线与等势面是平行等间距排列，且电场线与等势面处处垂直，沿着电场线方向电势均匀降落，取ab的中点O，O即为三角形的外接圆的圆心，且该点电势为2V，故Oc为等势面，MN为电场线，方向为MN方向，UOP=UOa=3V，UON∶UOP=2∶3，故UON=2V，N点电势为零，且为最小电势点，同理UMO=2V，M点电势为4V，且为最大电势点.综合上面分析可得：本题答案选B.

同学们在平时做物理题过程中，不仅要能够把所遇到的物理试题做对做好，而且在做对做好的同时，要对所做过的物理题进行深刻的思索，看一看能不能归纳总结出一些重要的结论.总结出这些规律性的东西，会帮助我们认清楚物理问题的本质.这样久而久之，我们学习物理就会兴趣盎然，物理就不难学了，我们在碰到物理问题时，就会得心应手.

(收稿日期：2013-05-02)

图11图12解析如图12所示，不妨设点O和点A的连线的中点为C，则OC=3 cm，由重要结论1得：C点的电势为φC=φO+φA2，由于φO=0，φA=6 V，则φC=φO+φA2=3 V.由于在匀强电场中，等势线是直线，φC=3 V，φB=3 V，所以连接B和C两点，BC是一条等势线.由于在匀强电场中，电场线和等势线互相垂直，且沿着电场线方向电势越来越低.不妨过O点做一条电场线与BC交于D点，则φD=φC=3V，且DO和BC垂直.设BC和CO的夹角为θ，则在直角三角形△OCB中：tanθ=BOOC=33，即：θ=30°.则在直角三角形△OCD中：DO=OCsin30°=32cm.

在匀强电场中，由于U=Ed，所以E=UDODO=φD-φODO=3V32cm=200 V/m，所以答案A正确.

例6一空间存在匀强电场，场中A、B、C、D四个点恰构成正四面体，如图13所示.已知电场强度大小为E，方向平行于正四面体的底面ABC，正四面体棱长为23cm.已知UAC=6 V、UBC=6 V，则可判断（）.

A． UDC=4 VB. UDC=3 V

C. E=200 V/mD.E=4003V/m

图13图14解析 由于电场线和等势线垂直，在匀强电场中电场线是直线，所以在匀强电场中等势线和电场线垂直且是一条直线.由于UAC=φA-φC=6 V，UBC=φB-φC=6 V，所以φA=φB，AB是一条等势线，φM=φA，UMC=φM-φC=6 V.

如图14所示，不妨过D点做平面ABC的垂线DO，O点在平面ABC中，连接CO交AB于M，由几何知识可得：CM垂直于AB，CM是一条电场线.

由立体几何知识可得：一条直线垂直于一个平面时，该直线和这个平面内的所有直线垂直.所以DO是一条等势线，φD=φO，UDC=UOC.

由几何关系可得：OC=23MC

则：UOC=23UMC=4V，UOC=UDC=4V，答案A正确，答案B错误.由UBC=E×BC×sin60°得：

6=E×23×10-2×32，解得：E=200(V/m).

综合上面分析可得：本题答案选A C.

图15例7如图15所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个正六边形的六个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为2V、8V和10V.下列说法中正确的是().

A． UAD=UFC=UBEB．零势面通过E点

C．将一质子从D点移到A点，电场力做功为8eV

D．将一电子从F点移到B点，电场力做功为4eV

解析由于A、B点的电势分别为2V、8V，所以UAB=φα-φB=2V-8V=-6V，由几何关系可得：AB平行于FC，且FC=2AB.进一步得：UFC=2UAB，由于C点的电势为10V，所以UFC=φF-φC=φF-10V=-12 V

解得：φF=-2V，设FC的中点为F1，则F1点的电势为φF1=φF+φC2=4V，设FF1的中点为F2，则F2点的电势为φF2=φF+φF12=1 V，又由几何关系可得:F2又是AE的中点，φF2=φA+φE2=1 V，解得：φE=0，所以零势面通过E点，答案B正确；

由几何关系可得：AB平行于ED，且ED=AB，进一步得：UAB=UED=-6V=φE-φD，解得：φD=6 V，则：UAB=φA-φD=-4 V，答案A错误；将一质子从D点移到A点，电场力做功为WAD=eUAD=-4 eV，答案C错误；将一电子从F点移到B点，电场力做功为WFB=-eUFB=-e(φF-φB)=10 eV，答案D错误.综合上面分析可得：本题答案选B.

例8如图16所示，匀强电场中有a、b、c三点.在以它们为顶点的三角形中，∠a=30°、∠c=90°.电场方向与三角形所在平面平行.已知a、b和c点的电势分别为(2-3)V、(2+3)V和2V.该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为().

A．(2-3)V、(2+3)V B．0、 4 V

C．(2-433)V、(2+433)VD．0、3V

图16图17

解析如图17所示，根据匀强电场的电场线与等势面是平行等间距排列，且电场线与等势面处处垂直，沿着电场线方向电势均匀降落，取ab的中点O，O即为三角形的外接圆的圆心，且该点电势为2V，故Oc为等势面，MN为电场线，方向为MN方向，UOP=UOa=3V，UON∶UOP=2∶3，故UON=2V，N点电势为零，且为最小电势点，同理UMO=2V，M点电势为4V，且为最大电势点.综合上面分析可得：本题答案选B.

同学们在平时做物理题过程中，不仅要能够把所遇到的物理试题做对做好，而且在做对做好的同时，要对所做过的物理题进行深刻的思索，看一看能不能归纳总结出一些重要的结论.总结出这些规律性的东西，会帮助我们认清楚物理问题的本质.这样久而久之，我们学习物理就会兴趣盎然，物理就不难学了，我们在碰到物理问题时，就会得心应手.

(收稿日期：2013-05-02)

图11图12解析如图12所示，不妨设点O和点A的连线的中点为C，则OC=3 cm，由重要结论1得：C点的电势为φC=φO+φA2，由于φO=0，φA=6 V，则φC=φO+φA2=3 V.由于在匀强电场中，等势线是直线，φC=3 V，φB=3 V，所以连接B和C两点，BC是一条等势线.由于在匀强电场中，电场线和等势线互相垂直，且沿着电场线方向电势越来越低.不妨过O点做一条电场线与BC交于D点，则φD=φC=3V，且DO和BC垂直.设BC和CO的夹角为θ，则在直角三角形△OCB中：tanθ=BOOC=33，即：θ=30°.则在直角三角形△OCD中：DO=OCsin30°=32cm.

在匀强电场中，由于U=Ed，所以E=UDODO=φD-φODO=3V32cm=200 V/m，所以答案A正确.

例6一空间存在匀强电场，场中A、B、C、D四个点恰构成正四面体，如图13所示.已知电场强度大小为E，方向平行于正四面体的底面ABC，正四面体棱长为23cm.已知UAC=6 V、UBC=6 V，则可判断（）.

A． UDC=4 VB. UDC=3 V

C. E=200 V/mD.E=4003V/m

图13图14解析 由于电场线和等势线垂直，在匀强电场中电场线是直线，所以在匀强电场中等势线和电场线垂直且是一条直线.由于UAC=φA-φC=6 V，UBC=φB-φC=6 V，所以φA=φB，AB是一条等势线，φM=φA，UMC=φM-φC=6 V.

如图14所示，不妨过D点做平面ABC的垂线DO，O点在平面ABC中，连接CO交AB于M，由几何知识可得：CM垂直于AB，CM是一条电场线.

由立体几何知识可得：一条直线垂直于一个平面时，该直线和这个平面内的所有直线垂直.所以DO是一条等势线，φD=φO，UDC=UOC.

由几何关系可得：OC=23MC

则：UOC=23UMC=4V，UOC=UDC=4V，答案A正确，答案B错误.由UBC=E×BC×sin60°得：

6=E×23×10-2×32，解得：E=200(V/m).

综合上面分析可得：本题答案选A C.

图15例7如图15所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个正六边形的六个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为2V、8V和10V.下列说法中正确的是().

A． UAD=UFC=UBEB．零势面通过E点

C．将一质子从D点移到A点，电场力做功为8eV

D．将一电子从F点移到B点，电场力做功为4eV

解析由于A、B点的电势分别为2V、8V，所以UAB=φα-φB=2V-8V=-6V，由几何关系可得：AB平行于FC，且FC=2AB.进一步得：UFC=2UAB，由于C点的电势为10V，所以UFC=φF-φC=φF-10V=-12 V

解得：φF=-2V，设FC的中点为F1，则F1点的电势为φF1=φF+φC2=4V，设FF1的中点为F2，则F2点的电势为φF2=φF+φF12=1 V，又由几何关系可得:F2又是AE的中点，φF2=φA+φE2=1 V，解得：φE=0，所以零势面通过E点，答案B正确；

由几何关系可得：AB平行于ED，且ED=AB，进一步得：UAB=UED=-6V=φE-φD，解得：φD=6 V，则：UAB=φA-φD=-4 V，答案A错误；将一质子从D点移到A点，电场力做功为WAD=eUAD=-4 eV，答案C错误；将一电子从F点移到B点，电场力做功为WFB=-eUFB=-e(φF-φB)=10 eV，答案D错误.综合上面分析可得：本题答案选B.

例8如图16所示，匀强电场中有a、b、c三点.在以它们为顶点的三角形中，∠a=30°、∠c=90°.电场方向与三角形所在平面平行.已知a、b和c点的电势分别为(2-3)V、(2+3)V和2V.该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为().

A．(2-3)V、(2+3)V B．0、 4 V

C．(2-433)V、(2+433)VD．0、3V

图16图17

解析如图17所示，根据匀强电场的电场线与等势面是平行等间距排列，且电场线与等势面处处垂直，沿着电场线方向电势均匀降落，取ab的中点O，O即为三角形的外接圆的圆心，且该点电势为2V，故Oc为等势面，MN为电场线，方向为MN方向，UOP=UOa=3V，UON∶UOP=2∶3，故UON=2V，N点电势为零，且为最小电势点，同理UMO=2V，M点电势为4V，且为最大电势点.综合上面分析可得：本题答案选B.

同学们在平时做物理题过程中，不仅要能够把所遇到的物理试题做对做好，而且在做对做好的同时，要对所做过的物理题进行深刻的思索，看一看能不能归纳总结出一些重要的结论.总结出这些规律性的东西，会帮助我们认清楚物理问题的本质.这样久而久之，我们学习物理就会兴趣盎然，物理就不难学了，我们在碰到物理问题时，就会得心应手.

(收稿日期：2013-05-02)