减元巧解高考题

侯立刚

问题：设x,y,z∈R，且满足：x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14，则x+y+z=.

这是2013年湖北理科试题. 由于已知条件中含有三个变量 ，而只有两个方程，因此，要求出三个未知数，必须再找一个关系式. 如果不能巧妙的利用三维的柯西不等式，将会陷入复杂的代数运算中，甚至无功而返.而如果把其中的一个变量当成常数，那么已知条件就可以看成含两个变量的方程组：x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z，这便是很熟悉的问题了.

解法：

思路一利用几何意义

把方程x2+y2=1-z2看成是圆心在原点，半径是1-z2的圆，方程x+2y=14-3z看成是一条直线.于是由方程组知，直线与圆有公共点，所以|14-3z|5≤1-z2，从而得到14z2-614z+9≤0.

即(14z-3)2≤0，所以z=31414.

此时方程组变成x2+y2=514

x+2y=51414，

可以解得x=1414

y=147.

所以x+y+z=1414+21414+31414=3147.

注：如图，当z=31414时，直线x+2y=51414与圆x2+y2=514相切，切点A的坐标就是方程组x2+y2=514

x+2y=51414的解， 也是方程组y=2x

x+2y=51414的解.

（其中y=2x是过切点A与直线x+2y=51414垂直的直线），从而容易解得x=1414

y=147.

思路二利用柯西不等式

由柯西不等式(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2知，(12+22)(x2+y2)≥(x+2y)2，当且仅当x=y2时等号成立. 把x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z代入可得5(1-z2)≥(14-3z)2，整理得(14z-3)2≤0，所以z=31414.而z=31414时恰好等号成立. 再把y=2x，z=31414代入x+2y=14-3z, 解得x=1414，y=147.

从而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路三利用三角换元

因为x2+y2=1-z2，所以可设x=1-z2cosα

y=1-z2sinα（α∈［0,2π)），代入方程x+2y=14-3z得x+2y=5(1-z2)(15cosα+25sinα)=5(1-z2)sin(θ+α)=14-3z(其中sinθ=15,cosθ=25）.

因为|sin(θ+α)|≤1，所以5(1-z2)≥|14-3z|.

整理得(14z-3)2≤0，所以z=31414.此时恰好等号成立.因为θ∈(0,π2),α∈［0,2π),所以θ+α∈(0,5π2).所以|sin(θ+α)|≤1中等号成立的条件是θ+α=π2或θ+α=3π2. 而把z=31414代入x+2y=14-3z得x+2y=51414>0,所以θ+α=3π2不成立.

由θ+α=π2，可知α=π2-θ.于是x=1-z2cosα=514cosα=514sinθ=514·15=1414;

y=1-z2sinα=514sinα=514cosθ=514·25=21414.

从而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路四利用向量不等式

设a=(1,2),b=(x,y). 由向量不等式|a·b|≤|a||b|知,|x+2y|≤5(x2+y2), 当且仅当x=y2时等号成立. 于是把x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z代入可得|14-3z|≤5(1-z2). 整理得(14z-3)2≤0，所以z=31414.

此时恰好等号成立. 再把y=2x，z=31414代入x+2y=14-3z，解得x=1414，y=147.

从而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路五利用判别式

把x=14-3z-2y代入方程x2+y2=1-z2，可得5y2-4(14-3z)y+(14-3z)2+z2-1=0. 因为y∈R, 所以Δ=［4(14-3z)］2-4×5×［(14-3z)2+z2-1］≥0.

整理得14z2-614z+9≤0, 即(14z-3)2≤0，所以z=31414.

把z=31414 代入上述二次方程，整理可得y2-4y14+414=0. 即(y-214)2=0，所以y=147.

又x=14-3z-2y=14-3×31414-2×147=1414，所以 x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路六利用配方法

方程组x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z①

②中，②两边同除以14再乘以2可得x2+y2=1-z2

2x14+4y14=2-6z14,两式相减得x2-2x14+y2-4y14=-z2-1+6z14.凑常数项得 x2-2x14+114+y2-4y14+414=-z2+6z14-914

配方即得(x-114)2+(y-214)2=-(z-314)2,所以-(z-314)2≥0，故只有-(z-314)2=0.

所以z=31414. 同时(x-114)2=0且(y-214)2=0，即x=1414， y=147.

从而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

体会：本文通过把方程中的一个变量看成常数，达到了减元的目的，从而使复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，在解题陷入困境的时候，柳暗花明. 这里提供的六种常见思路，各具特色殊途同归， 从不同视角探究了知识之间的相互联系，体现了代数、三角、几何等知识之间的有机统一.

(收稿日期：2013-12-04)12

问题：设x,y,z∈R，且满足：x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14，则x+y+z=.

这是2013年湖北理科试题. 由于已知条件中含有三个变量 ，而只有两个方程，因此，要求出三个未知数，必须再找一个关系式. 如果不能巧妙的利用三维的柯西不等式，将会陷入复杂的代数运算中，甚至无功而返.而如果把其中的一个变量当成常数，那么已知条件就可以看成含两个变量的方程组：x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z，这便是很熟悉的问题了.

解法：

思路一利用几何意义

把方程x2+y2=1-z2看成是圆心在原点，半径是1-z2的圆，方程x+2y=14-3z看成是一条直线.于是由方程组知，直线与圆有公共点，所以|14-3z|5≤1-z2，从而得到14z2-614z+9≤0.

即(14z-3)2≤0，所以z=31414.

此时方程组变成x2+y2=514

x+2y=51414，

可以解得x=1414

y=147.

所以x+y+z=1414+21414+31414=3147.

注：如图，当z=31414时，直线x+2y=51414与圆x2+y2=514相切，切点A的坐标就是方程组x2+y2=514

x+2y=51414的解， 也是方程组y=2x

x+2y=51414的解.

（其中y=2x是过切点A与直线x+2y=51414垂直的直线），从而容易解得x=1414

y=147.

思路二利用柯西不等式

由柯西不等式(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2知，(12+22)(x2+y2)≥(x+2y)2，当且仅当x=y2时等号成立. 把x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z代入可得5(1-z2)≥(14-3z)2，整理得(14z-3)2≤0，所以z=31414.而z=31414时恰好等号成立. 再把y=2x，z=31414代入x+2y=14-3z, 解得x=1414，y=147.

从而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路三利用三角换元

因为x2+y2=1-z2，所以可设x=1-z2cosα

y=1-z2sinα（α∈［0,2π)），代入方程x+2y=14-3z得x+2y=5(1-z2)(15cosα+25sinα)=5(1-z2)sin(θ+α)=14-3z(其中sinθ=15,cosθ=25）.

因为|sin(θ+α)|≤1，所以5(1-z2)≥|14-3z|.

整理得(14z-3)2≤0，所以z=31414.此时恰好等号成立.因为θ∈(0,π2),α∈［0,2π),所以θ+α∈(0,5π2).所以|sin(θ+α)|≤1中等号成立的条件是θ+α=π2或θ+α=3π2. 而把z=31414代入x+2y=14-3z得x+2y=51414>0,所以θ+α=3π2不成立.

由θ+α=π2，可知α=π2-θ.于是x=1-z2cosα=514cosα=514sinθ=514·15=1414;

y=1-z2sinα=514sinα=514cosθ=514·25=21414.

从而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路四利用向量不等式

设a=(1,2),b=(x,y). 由向量不等式|a·b|≤|a||b|知,|x+2y|≤5(x2+y2), 当且仅当x=y2时等号成立. 于是把x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z代入可得|14-3z|≤5(1-z2). 整理得(14z-3)2≤0，所以z=31414.

此时恰好等号成立. 再把y=2x，z=31414代入x+2y=14-3z，解得x=1414，y=147.

从而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路五利用判别式

把x=14-3z-2y代入方程x2+y2=1-z2，可得5y2-4(14-3z)y+(14-3z)2+z2-1=0. 因为y∈R, 所以Δ=［4(14-3z)］2-4×5×［(14-3z)2+z2-1］≥0.

整理得14z2-614z+9≤0, 即(14z-3)2≤0，所以z=31414.

把z=31414 代入上述二次方程，整理可得y2-4y14+414=0. 即(y-214)2=0，所以y=147.

又x=14-3z-2y=14-3×31414-2×147=1414，所以 x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路六利用配方法

方程组x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z①

②中，②两边同除以14再乘以2可得x2+y2=1-z2

2x14+4y14=2-6z14,两式相减得x2-2x14+y2-4y14=-z2-1+6z14.凑常数项得 x2-2x14+114+y2-4y14+414=-z2+6z14-914

配方即得(x-114)2+(y-214)2=-(z-314)2,所以-(z-314)2≥0，故只有-(z-314)2=0.

所以z=31414. 同时(x-114)2=0且(y-214)2=0，即x=1414， y=147.

从而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

体会：本文通过把方程中的一个变量看成常数，达到了减元的目的，从而使复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，在解题陷入困境的时候，柳暗花明. 这里提供的六种常见思路，各具特色殊途同归， 从不同视角探究了知识之间的相互联系，体现了代数、三角、几何等知识之间的有机统一.

(收稿日期：2013-12-04)12

问题：设x,y,z∈R，且满足：x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14，则x+y+z=.

这是2013年湖北理科试题. 由于已知条件中含有三个变量 ，而只有两个方程，因此，要求出三个未知数，必须再找一个关系式. 如果不能巧妙的利用三维的柯西不等式，将会陷入复杂的代数运算中，甚至无功而返.而如果把其中的一个变量当成常数，那么已知条件就可以看成含两个变量的方程组：x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z，这便是很熟悉的问题了.

解法：

思路一利用几何意义

把方程x2+y2=1-z2看成是圆心在原点，半径是1-z2的圆，方程x+2y=14-3z看成是一条直线.于是由方程组知，直线与圆有公共点，所以|14-3z|5≤1-z2，从而得到14z2-614z+9≤0.

即(14z-3)2≤0，所以z=31414.

此时方程组变成x2+y2=514

x+2y=51414，

可以解得x=1414

y=147.

所以x+y+z=1414+21414+31414=3147.

注：如图，当z=31414时，直线x+2y=51414与圆x2+y2=514相切，切点A的坐标就是方程组x2+y2=514

x+2y=51414的解， 也是方程组y=2x

x+2y=51414的解.

（其中y=2x是过切点A与直线x+2y=51414垂直的直线），从而容易解得x=1414

y=147.

思路二利用柯西不等式

由柯西不等式(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2知，(12+22)(x2+y2)≥(x+2y)2，当且仅当x=y2时等号成立. 把x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z代入可得5(1-z2)≥(14-3z)2，整理得(14z-3)2≤0，所以z=31414.而z=31414时恰好等号成立. 再把y=2x，z=31414代入x+2y=14-3z, 解得x=1414，y=147.

从而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路三利用三角换元

因为x2+y2=1-z2，所以可设x=1-z2cosα

y=1-z2sinα（α∈［0,2π)），代入方程x+2y=14-3z得x+2y=5(1-z2)(15cosα+25sinα)=5(1-z2)sin(θ+α)=14-3z(其中sinθ=15,cosθ=25）.

因为|sin(θ+α)|≤1，所以5(1-z2)≥|14-3z|.

整理得(14z-3)2≤0，所以z=31414.此时恰好等号成立.因为θ∈(0,π2),α∈［0,2π),所以θ+α∈(0,5π2).所以|sin(θ+α)|≤1中等号成立的条件是θ+α=π2或θ+α=3π2. 而把z=31414代入x+2y=14-3z得x+2y=51414>0,所以θ+α=3π2不成立.

由θ+α=π2，可知α=π2-θ.于是x=1-z2cosα=514cosα=514sinθ=514·15=1414;

y=1-z2sinα=514sinα=514cosθ=514·25=21414.

从而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路四利用向量不等式

设a=(1,2),b=(x,y). 由向量不等式|a·b|≤|a||b|知,|x+2y|≤5(x2+y2), 当且仅当x=y2时等号成立. 于是把x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z代入可得|14-3z|≤5(1-z2). 整理得(14z-3)2≤0，所以z=31414.

此时恰好等号成立. 再把y=2x，z=31414代入x+2y=14-3z，解得x=1414，y=147.

从而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路五利用判别式

把x=14-3z-2y代入方程x2+y2=1-z2，可得5y2-4(14-3z)y+(14-3z)2+z2-1=0. 因为y∈R, 所以Δ=［4(14-3z)］2-4×5×［(14-3z)2+z2-1］≥0.

整理得14z2-614z+9≤0, 即(14z-3)2≤0，所以z=31414.

把z=31414 代入上述二次方程，整理可得y2-4y14+414=0. 即(y-214)2=0，所以y=147.

又x=14-3z-2y=14-3×31414-2×147=1414，所以 x+y+z=1414+21414+31414=3147.

思路六利用配方法

方程组x2+y2=1-z2

x+2y=14-3z①

②中，②两边同除以14再乘以2可得x2+y2=1-z2

2x14+4y14=2-6z14,两式相减得x2-2x14+y2-4y14=-z2-1+6z14.凑常数项得 x2-2x14+114+y2-4y14+414=-z2+6z14-914

配方即得(x-114)2+(y-214)2=-(z-314)2,所以-(z-314)2≥0，故只有-(z-314)2=0.

所以z=31414. 同时(x-114)2=0且(y-214)2=0，即x=1414， y=147.

从而x+y+z=1414+21414+31414=3147.

体会：本文通过把方程中的一个变量看成常数，达到了减元的目的，从而使复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，在解题陷入困境的时候，柳暗花明. 这里提供的六种常见思路，各具特色殊途同归， 从不同视角探究了知识之间的相互联系，体现了代数、三角、几何等知识之间的有机统一.

(收稿日期：2013-12-04)12