具有多重耦合的多维牛顿渗流方程组的临界曲线

温 凯，周海花

(江西师范大学数学与信息科学学院，330022，南昌)

具有多重耦合的多维牛顿渗流方程组的临界曲线

温 凯，周海花

(江西师范大学数学与信息科学学院，330022，南昌)

讨论RN中单位球外区域上多重耦合的牛顿渗流方程组。主要讨论这个问题解的长时间行为，尤其是可以描述方程解的长时间行为的临界曲线。主要结论是，在一定条件下，所考虑问题的整体存在临界曲线与Fujita曲线是重合的。

牛顿渗流方程；整体存在性；爆破；临界曲线

0 引言

本文在RN中单位球外区域讨论多重耦合的牛顿渗流方程组，即：

(1)

(2)

u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈RN/B1(0)

(3)

众所周知，式(1)中的方程是牛顿渗流方程，它在u=0的点处退化。局部解的存在性与比较原理参见文献[1-2]。本文主要研究方程解的长时间行为，如解关于时间的整体存在性以及有限时刻的爆破。特别地，将讨论可以用来描述解的长时间行为的临界曲线。

自从1966年Fujita对热方程内部源的Cauchy问题建立了临界指标以[3]，数学工作者们对许多问题都建立了Fujita型定理[4-5]。其中Glalaktionov与Levine把Fujita的结果推广至边界源问题，即对如下牛顿渗流方程建立了临界指标[5]：

(4)

(5)

u(0,t)=u0(x),x∈(0,+∞)

(6)

其中：m>1,α≥0。对于式(4)～式(6)，他们证明了α0=(m+1)/2,αc=m+1。称α0是整体存在临界指标，αc是Fujita临界指标，如果以下事实成立：

1)若0<α<α0，则方程的非负非平凡解关于时间整体存在；

2)若α0<α<αc，则方程的非负非平凡解在有限时刻发生爆破；

3)若α>αc，则方程的解在初值较小时整体存在，当初值较大时在有限时刻爆破。

随后，式(4)～式(6)被拓展到快扩散的情形，即0

与方程的临界指标相平行地，方程组存在着临界曲线。

对于一维情形，Quiros和Rossi[9]研究了如下边界耦合的牛顿渗流方程组：

他们得出：此问题的整体存在临界曲线是αβ=(m+1)(n+1)/4，Fujita临界曲线是min{α1+β1,α2+β2}=0，其中

由此看出，该问题的2个临界曲线是不重合的。

对于多维情形，Wang et al[10]考虑了如下问题：

(7)

(8)

u(x,0)=u0(x),x∈RNB1(0)

(9)

其中：N>2,Wang et al证得α0=αc，即式(7)～式(9)的整体存在临界指标和Fujita临界指标是重合的。

继这些工作之后，Wang Zejia和Du Runmei[11]

又讨论了带有非线性耦合条件的牛顿渗流方程组：

(10)

(11)

u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈RNB1(0)

(12)

其中：m,n>1,α,β≥0,u0(x),v0(x)为非负、适当光滑、有紧支集的有界函数，证明了式(10)～式(12)的整体存在临界曲线和Fujita临界曲线都是αβ=mn。

受以上文章的启发，本文讨论式(1)～式(3)的整体存在临界曲线和Fujita临界曲线。我们将把Wang Zejia和Du Runmei[11]的结果推广至具更一般耦合条件的牛顿渗流方程组，即式(1)～式(3)的整体存在临界曲线和Fujita临界曲线也会发生重合的现象。

1 主要结果及其证明

在这部分中，首先介绍本文的主要结论，然后给出证明。本文主要结果如下。

定理1：设N>2，α1(m-α1)(n-α2)，则方程的小初值解整体存在，大初值解在有限时刻发生爆破。

定理2：若α1>m或α2>n，则式(1)～式(3)的大初值解在有限时刻发生爆破。在证明定理1和定理2之前，先考虑如下径向化问题：

(13)

(14)

u(r,0)=u0(r),v(r,0)=v0(r),r>1

(15)

命题1：设α1

命题2：设α1(m-α1)(n-α2)，式(13)～式(15)的非负大初值解在有限时刻发生爆破。

命题3：设α1

下面来证明命题1、命题2和命题3。

命题1的证明： 下面通过构造一类整体存在的上解来证明此命题。令

β2/(n-α2)

由于β1β2<(m-α1)(n-α2)，故可知如上的k确实存在，对ξ1,ξ2>0，令

则有，

(16)

令

假设u2(r,t)=r-s1/mu1(r,t)，v2(r,t)=r-s2/nv1(r,t)，r>1，t>0，其中s1,s2>0为待定常数。计算可得：

把上面的等式代入式(16)，可得，

同理可得：

令

下面来验证u2(r,t),v2(r,t)满足以下边界条件：

(17)

易见，

另一方面，有，

因此式(17)中的不等式成立，只需：

(18)

(19)

由β2(n-α2)k1α1+k2β1,nk2>k2α2+k1β2。即当T充分大时，以上两式成立。记

因为u2(r,0),v2(r,0)关于r是单调递减的，所以只要

u2(R1,0)≥M1,v2(R2,0)≥M2

(20)

就有u2(r,0)≥u0(x),v2(r,0)≥v0(x)。事实上，可以取T充分大，使得，

综上可知，对于满足条件式(18)～式(20)的充分大的T，(u2,v2)是式(13)～式(15)的整体上解。从而运用比较原理可知，式(13)～式(15)的非负非平凡解是整体存在的。证毕。

命题2的证明： 下面通过构造一类式(13)～式(15)的爆破下解来证明此命题。对r>1,00是给定常数。令

其中

(21)

(22)

(23)

(24)

注意到r>1且

μ1α1-μ1m+μ2β1=0，

因此，式(21)～式(24)成立，只需：

(25)

(26)

(27)

(28)

令

(29)

其中A1,A2是待定的正的常数，且

下面验证f1,f2满足式(25)～式(28)。把式(29)代入式(25)、式(26)可得：

则只需有

按照上面的B的取法可得，当A1,A2>1时，以上不等式成立。进而，f1,f2满足式(25)和式(26)。下面把式(29)代入式(27)、式(28)，则有

(30)

(31)

(32)

(33)

取充分大的A1使其满足式(32)、式(33)，则可得到式(27)、式(28)。因此，若初值(u0,v0)充分大满足：

则式(13)～式(15)的解(u,v)在有限时刻发生爆破。证毕。

通过计算可得，

则式(13)～式(15)的解关于时间是整体存在的。

最后来证明式(1)～式(3)的主要结果，即定理1和定理2。

另一方面，再次运用比较原理和命题3可得，若式(1)～式(3)的初值满足：

u0(x)≤(B1|x|2-N)1/m,v0(0)≤(B2|x|2-N)1/n,x∈RNB1(0)

(34)

其中:B1=(N-2)-m(n+β1-α2)/[(m-α1)(n-α2)-β1β2]，B2=(N-2)-n(m+β2-α1)/[(m-α1)(n-α2)-β1β2]，则式(1)～式(3)的解(u,v)在β1β2≠(m-α1)(n-α2)的条件下整体存在。结合命题2得出β1β2>(m-α1)(n-α2)时，大初值解在有限时刻发生爆破，小初值解整体存在，此即表明：式(1)～式(3)的Fujita临界曲线是β1β2=(m-α1)(n-α2)。证毕。

(35)

(36)

w(r,0)=u0(r),r>1

(37)

容易验证(w,v0)是式(1)～式(3)的下解。由文献[9]可知当α1>m且初值较大时，(w,v0)在有限时刻会发生爆破。因此，式(1)～式(3)的解(u,v)在有限时刻也发生爆破。证毕。

[1]Pao C V.Nonlinear Parabolic and Elliptic Equation[M].Plenum,New York,1992.

[2]Lieberman G M.Second Order Parabolic Differential Equations[M].World Scientific,River Edge,1996.

[3]Fujita H.On the blowing up of solutions of the Cauchy problem forut=△u+u1+a[J].J Fac Sci Univ Tokyo Sect I,1966,13:109-124.

[4]Deng K,Levine H A.The role of critical exponents in blow-up theorems:The sequel[J].J Math Anal Appl,2000,243:85-126.

[5]Galaktionov V A,Levine H A.On critical Fujita exponents for heat equations with nonlinear flux conditions on the boundary[J].Israel J Math,1996,94(1):125-146.

[6]Pang P Y H,Wang Z J,Yin J X.Critical exponents for nonlinear diffusion equations with nonlinear boundary sources[J].J Math Anal Appl,2008,343:654-662.

[7]Ferreira R,A de Pablo,Quiros F,etal.The blow-up profile for a fast diffusion equation with a nonlinear boundary condition[J].Rocky Mountain J Math,2003,33:123-146.

[8]Jin C H,Yin J X.Critical exponents and non-extinction for a fast diffusive polytropic filtration equation with nonlinear boundary sources[J].Nonlinear Anal,2007,67(7):2217-2223.

[9]Quiros F,Rossi J D.Blow-up sets and Fujita type curves for a degenerate parabolic system with nonlinear boundary conditions[J].Indiana Univ Math J,2001,50:629-654.

[10]Wang Z J,Yin J X,Wang C P,etal.Large time behavior of solutions to Newtonian filtration equation with nonlinear boundary sources[J].J Evol Equ,2007,7(4):615-648.

[11]Wang Z J,Du R M.Critical curves for multidimensional nonlinear diffusion equations coupled by nonlinear boundary sources[J].Bull Malays Math Sci Soc.accepted.

[12]Zheng S,Song X F,Jiang Z X.Critical Fujita exponents for degenerate parabolic equations coupled via nonlinear boundary flux[J].J Math Anal Appl,2004,298:308-324.

CriticalCurvesforMultidimensionalNonlinearDiffusionEquationsCoupledbyNonlinearBoundarySources

WEN Kai,ZHOU Haihua

(College of Mathematics and Information Science,Jiangxi Normal University,330022,Nanchang,PRC)

This paper deals with one prototype of nonlinear diffusion equations coupled by the nonlinear boundary sources on the exterior domain of the unit ball inRN.We are interested in the critical curve which can describe the large time behavior of the solution.It is shown that,with special conditions,the critical global existence curve coincides with the critical Fujita curve for this system.

nonlinear diffusion equation;global existence;blow up;critical curve

2014-06-20;

2014-08-04

温 凯(1990-)，女，山东滨州人，硕士研究生，主要从事非线性扩散方程组解的长时间行为研究。

国家自然科学基金地区科学基金项目：非线性反应-对流-扩散方程解的渐进行为研究(编号：11361029)；江西省教育厅科学技术研究项目：非线性扩散方程解与支集的长时间行为研究(编号：GJJ14270)。

10.13990/j.issn1001-3679.2014.04.014

O175.2

A

1001-3679(2014)04-0487-06