二元函数一致连续的判定*

郝兆才，张歆秋，栗会平，张国强，明文燕，吕亚楠，徐龙鑫

(曲阜师范大学数学科学学院，山东 曲阜 273165)

二元函数一致连续的判定*

郝兆才，张歆秋，栗会平，张国强，明文燕，吕亚楠，徐龙鑫

(曲阜师范大学数学科学学院，山东 曲阜 273165)

将一元函数一致连续的3个基本判定定理进行推广，给出了二元函数一致连续的3个判别法.

二元函数；连续；一致连续；充要条件

函数一致连续是数学分析课程的重要学习内容，是重点和难点之一，在微积分学及其他学科中的应用极为广泛.现行数学分析教材对一元函数的一致连续性已有详细叙述，但对二元函数的一致连续性往往只略加提及.对二元函数一致连续性的判定最常用的是定义和康托定理法.用定义判定比较复杂，而使用康托定理又限于有限闭区域，从而寻找新的判定方法就显得非常重要.

目前已有文献对二元函数一致连续性的判别进行了研究.如文献[1]列举了一元函数一致连续的几个结果，并将其推广到了二元函数；文献[2]给出了二元函数一致连续的几个判定方法；文献[3]对文献[2]中一个错误结论进行分析，得出一个二元函数在R2上一致连续的充分条件.利用导数、连续模数等方法来判定二元函数的一致连续性是非常重要而且简便的方法，但就笔者所知这方面的结果目前很少.

笔者在广泛阅读各种文献资料的基础上，受文献[1-6]的启发，将一元函数一致连续的3个基本的判定定理(即下文的引理1，2，3)进行了推广，给出了二元函数一致连续的导数法及连续模数判别法等3个判定方法，弥补了相关文献资料关于函数一致连续性问题判定方法的不足，大大简化并拓宽了函数一致连续性的可判别范围.

为便于对照先列出一元函数一致连续的几个结果：

引理2[5]函数f(x)在区间I上一致连续的充要条件是∀ε>0,∀x′,x″∈I,∃N>0,使当|f(x′)-f(x″)|>N|x′-x″|时,恒有|f(x′)-f(x″)|<ε.

下面将上述引理推广到二元函数：

从而f(x,y)在D上非一致连续，矛盾，因而λ和η为有限数.

定理2 函数f(x,y)在D上一致连续⟺∀ε>0,∀P,Q∈D,∃N>0,使得当|f(P)-f(Q)|>N·d(P，Q)时，有|f(P)-f(Q)|<ε.

证明(1)先证明当D为凸区域时结论成立.

(2) 当D为一般区域时，区域D可分为有限个左开右闭区域之并，在每个小区域上由(1)结论成立，因而在整个区域D上结论成立.

[1] 翟明清.浅析二元函数一致连续性[J].滁州学院学报,2004,6(3):98-99.

[2] 刘玉琏,付沛仁.数学分析讲义(下)[M].北京:高等教育出版社，2001.

[3] 何 美.R2上连续函数一致连续性的判定[J].大同职业技术学院学报,2002,16(2):58-59.

[4] 杨 峻,何朝兵.函数一致连续性的判定[J].安阳师范学院学报,2006(5):10-11.

[5] 王少英.任意区间上一致连续函数的判定[J].雁州师范学院学报,2007,23(2):92-94.

[6] 田立平,陈 昌.论连续函数的一致连续性[J].河南教育学院学报：自然科学版,2011,20(3):1-3.

(责任编辑 向阳洁)

CriteriaoftheUniformContinuityofTwo-VariableFunctions

HAO Zhaocai,ZHANG Xinqiu,LI Huiping,ZHANG Guoqiang,MING Wenyan,LÜ Ya’nan,XU Longxin

(Institute of Mathematical Sciences,Qufu Normal University,Qufu 273165,Shandong China)

The three judging theorems for the uniform continuity of one-variable functions are extended,and thus three criteria of the uniform continuity of two-variable functions are given.

two-variable functions;continuity;uniform continuity;necessary and sufficient condition

1007-2985(2014)02-0001-02

2013-04-27

郝兆才(1972-),男,山东枣庄人,曲阜师范大学数学科学学院教授,主要从事非线性泛函分析研究.

O171

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.02.001