含无穷分布时滞的离散时间耦合神经网络同步分析*

钱学明

(1.无锡科技职业学院物联网技术学院，江苏 无锡 214028，2.江南大学物联网工程学院，江苏 无锡 214122)

含无穷分布时滞的离散时间耦合神经网络同步分析*

钱学明1，2

(1.无锡科技职业学院物联网技术学院，江苏 无锡 214028，2.江南大学物联网工程学院，江苏 无锡 214122)

针对一类离散时间耦合神经网络，讨论其含有变时滞和无穷分布时滞时的同步性.采用Lyapunov稳定性理论，结合线性矩阵不等式技术来获得时滞耦合神经网络全局渐近同步的充分性判据，并且所获得的判据依赖于时滞.同时，对细胞激活函数做了类扇形描述的假设，从而进一步减少结论的保守性.

离散时间；耦合神经网络；变时滞；无穷分布时滞；全局渐近同步

近年来，离散时间神经网络的混沌同步由于其在图像处理，时间序列分析，二次最优化等问题中潜在的应用价值，所以引起了越来越多专家学者的兴趣.2008年，刘玉荣等[1]首次将分布时滞引入离散时间复杂网络，并给出其依赖时滞的同步判据.王子栋等[2]进一步研究了带有随机非线性函数和分布时滞的离散时间复杂网络的同步问题.梁金玲等[3]提出了带变时滞的离散时间耦合神经网络的同步条件.此后，离散时间神经网络的同步问题受到了广泛的关注，并取得了一系列有意义的成果[4-6].但是，据笔者所知，将无穷分布时滞引入离散时间神经网络并讨论该系统同步性的研究还鲜有报道.因此，本文拟分析一类具有变时滞和无穷分布时滞的离散时间耦合神经网络的同步性.

符号说明：Rn表示n维Euclid空间，Rn×m表示一切n×m实矩阵集合.向量或矩阵的转置由上标“T”标识.X≥Y(X>Y)表示X-Y是半正定的(正定的)，其中X和Y为实对称矩阵.I表示维数适合的单位矩阵.Rn中Euclid向量范数记为|·|.λmax(·)表示矩阵的最大特征值，λmin(·)则表示最小特征值.矩阵Xm×n和Yp×q的Kronecker积记为X⊗Y.对称矩阵中对称部分用“*”替代.

1 问题描述

考虑含有变时滞和无穷分布时滞的离散时间耦合神经网络可以描述为

(1)

令细胞激活函数分别为：

f(xi(k))=[f1(xi1(k)),f2(xi2(k)),…,fn(xin(k))]T，

g(xi(k-τ1(k)))=[g1(xi1(k-τ1(k))),g2(xi2(k-τ1(k))),…,gn(xin(k-τ1(k)))]T，

h(xi(v))=[h1(xi1(v)),h2(xi2(v)),…,hn(xin(v))]T.

对细胞激活函数给出下列假设.

假设[7]对于任意的r∈{1,2,…,n}，细胞激活函数满足：

G(x(k))=[gT(x1(k)),gT(x2(k)),…,gT(xN(k))]T；

H(x(k))=[hT(x1(k)),hT(x2(k)),…,hT(xN(k))]T；

J(k)=[IT(k),IT(k),…,IT(k)]T.

引入Kronecker积，将系统(1)写成紧的形式

x(k+1)=(IN⊗D)x(k)+(IN⊗A)F(x(k))+(IN⊗B)G(x(k-τ1(k)))+

(2)

2 主要结果及证明

引理1[8]由Kronecker积的定义，有以下性质：

(1) (αA)⊗B=A⊗(αB)；

(2) (A+B)⊗C=A⊗C+B⊗C；

(3) (A⊗B)(C⊗D)=(AC)⊗(BD)；

(4) (A⊗B)T=AT⊗BT.

引理3[1]设M∈Rn×n是一个半正定矩阵，xi∈Rn，ai≥0.如果所涉及数列收敛，则

为了叙述方便，记：

利用上述引理及Lyapunov直接法，可以获得以下主要结果.

定理1 若满足假设1，并且存在3个正定对称矩阵P，Q和R，以及3个正定对角矩阵Λ，Σ和Δ，使得下列LMIs成立：

(3)

证明引入Lyapunov-Krasovskii泛函

V(k)=V1(k)+V2(k)+V3(k)+V4(k).

(4)

其中：

计算(4)式沿系统(2)的轨迹对k的差分，则

ΔV(k)=ΔV1(k)+ΔV2(k)+ΔV3(k)+ΔV4(k).

(5)

其中：

ΔV1(k)=xT(k)[(INU)⊗(DTPD-P)]x(k)+FT(x(k))[(INU)⊗(ATPA)]F(x(k))+

GT(x(k-τ1(k)))[(INU)⊗(BTPB)]G(x(k-τ1(k)))+

xT(k)[(NW2)⊗(ΓPΓ)]x(k)+2xT(k)[(INU)⊗(DTPA)]F(x(k))+

2xT(k)[(INU)⊗(DTPB)]G(x(k-τ1(k)))+

2xT(k)[(NW)⊗(DTPΓ)]x(k)+

2FT(x(k,x))[(INU)⊗(ATPB)]G(x(k-τ1(k)))+

2FT(x(k))[(NW)⊗(ATPΓ)]x(k)+

2GT(x(k-τ1(k)))[(NW)⊗(BTPΓ)]x(k)+

ΔV2(k)=GT(x(k))(U⊗Q)G(x(k))-GT(x(k-τ(k)))(U⊗Q)G(x(k-τ(k)))+

GT(x(k))(U⊗Q)G(x(k))-GT(x(k-τ(k)))(U⊗Q)G(x(k-τ(k)))+

考虑引理1至3，对(5)式进行计算、整理可得：

(6)

其中:

根据假设可知，对于r∈{1,2,…,n}，则

(7)

(8)

(9)

将(7)～(9)式分别乘以λr,σr,δr(λr,σr,δr均大于0)，并对r从1到n求和，可得

(10)

(11)

事实上，若系统(1)中的无穷分布时滞改为有限分布时滞，即得如下含有变时滞和有限分布时滞的离散时间耦合神经网络：

(12)

不难得到以下推论.

定理2 若满足假设，并且存在3个正定对称矩阵P，Q和R，以及3个正定对角矩阵Λ，Σ和Δ，使得下列LMIs成立：

3 数值例子

考虑离散时间的混合时滞耦合神经网络(1)具有下列参数：

根据上述参数，利用LMI工具箱，解决了LMIs(3)，且

于是，根据定理1可知具有变时滞和无穷分布时滞的离散时间耦合神经网络(1)全局渐近同步.

4 结语

对一类离散时间耦合神经网络系统的同步性进行分析，讨论了变时滞和无穷分布时滞对系统同步性的影响.采用Lyapunov直接法，通过构造新的Lyapunov-Krasovskii泛函，结合LMI技术以及Kronecker积的性质，获得了离散时间的时滞耦合神经网络具有LMI形式的全局渐近同步条件，且该充分性条件依赖于时滞.同时，文中对细胞激活函数做了更为一般的类扇形描述假设，从而使结论进一步减少保守性.最后，利用LMI工具箱对该离散时间的混合时滞耦合神经网络模型的同步条件的有效性和可应用性进行了验证.

[1] LIU Yurong,WANG Zidong,LIANG Jinglin,et al.Synchronization and State Estimation for Discrete-Time Complex Networks With Distributed Delays[J].IEEE Trans. on Systems,Man and Cybernetics-Part B:Cybernetics,2008,38(5):1 314-1 325.

[2] WANG Zidong,WANG Yao,LIU Yurong.Global Synchronization for Discrete-Time Stochastic Complex Networks With Randomly Occurred Nonlinearities and Mixed Time Delays[J].IEEE Trans. on Neural Networks,2010,21(1):11-25.

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[4] 钱学明.具有变耦合时滞的离散时间神经网络的同步[J].安庆师范学院学报：自然科学版,2012,18(3):4-8.

[5] LIANG Jinglin,WANG Zidong,LIU Yurong,et al.Global Synchronization Control of General Delayed Discrete-Time Networks With Stochastic Coupling and Disturbances[J].IEEE Trans on Systems,Man,and Cybernetics-Part B:Cybernetics,2008,38(4)：1 073-1 083.

[6] TANG Yang,FANG Jianan,XIA Min,et al.Synchronization of Takagi-Sugeno Fuzzy Stochastic Discrete-Time Complex Networks with Mixed Time-Varying Delays[J].Applied Mathematical Modelling,2010,34(3)：843-855.

[7] LIU Yurong,WANG Zidong,LIU Xiaohui.On Synchronization of Coupled Neural Networks with Discrete and Unbounded Distributed Delays [J].International Journal of Computer Mathematics,2008,85(8)：1 299 -1 313

[8] CAO Jinde,LI Ping,WANG Weiwei.Global Synchronization in Arrays of Delayed Neural Networks with Constant and Delayed Coupling[J].Physic Letters A,2006,353(4)：318-325.

(责任编辑 陈炳权)

SynchronizationofanArrayofDiscrete-TimeCoupledNeuralNetworkswithDistributedDelays

QIAN Xueming1,2

(1.School of Internet of Things,Wuxi Vocational College of Science and Technology,Wuxi 214028,Jiangsu China；2.School of Internet of Things,Jiangnan University,Wuxi 214122,Jiangsu China)

This paper discusses synchronization in an array of discrete-time coupled neural networks with mixed time delays.And,by employing Lyapunov-Krasovskii functional and linear matrix inequality (LMI) approach,the criteria for the asymptotically synchronization are obtained.Furthermore,the description of the activation functions is a more general sector-like nonlinear function.And the criteria of synchronization are therefore less conservative.

discrete-time;coupled neural network;time-varying delay;distributed time delay;global asymptotically synchronization

1007-2985(2014)01-0036-06

2013-09-15

江苏省自然科学基金资助项目(BK2010313)

钱学明(1981-)，男，江苏无锡人，无锡科技职业学院物联网技术学院讲师，博士，主要从事复杂系统的控制理论研究。

O175；TP183

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.01.009