五阶Korteweg-de Vries-Burgers方程的整体适定性*

刘玉欢

(华北电力大学数理学院，北京 102206)

五阶Korteweg-deVries-Burgers方程的整体适定性*

刘玉欢

(华北电力大学数理学院，北京 102206)

研究五阶Korteweg-de Vries-Burgers方程(ut+uxxxxx+|∂x|2αu+(u2)x=0，u(0)=φ)的柯西问题，这里0<α≤2，并且u是实值的函数.利用Bourgain空间理论和[k;Z]-乘子的方法证明了五阶KdV-B方程在Hs(s>sα)的整体适定性,这里sα=-7/4(0<α≤3/2)，sα=-1-α/2(3/2<α≤2).

五阶KdV-B方程；局部适定性；整体适定性

研究五阶KdV-B方程

ut+uxxxxx+|∂x|2αu+(u2)x=0u(0)=φ

(1)

的柯西问题.这里：0<α≤2；u是实值的函数；(x,t)∈R×R+.该方程研究的物理背景是：当耗散效应发生时，弱非线性色散长波在某些物理介质中的传播.类似的问题有，经典的KdV方程

ut+uxxx+(u2)x=0，

(2)

三阶KdV-B方程

ut+uxxx+|∂x|2αu+(u2)x=0，

(3)

和五阶KdV方程

ut+uxxxxx+(u2)x=0.

(4)

这些方程的适定性已有学者进行了深入的研究.对于方程(2)，文献[1]中用Bourgain空间理论，证明了它在Hs(s>-3/4)的局部适定性，关于它的整体适定性可参看文献[2].对于方程(3)，文献[3]中用Bourgain空间理论，文献[4]中用Bourgain空间理论和[k;Z]-乘子方法,证明了它在Hs(s>sα)的整体适定性问题，这里sα=-3/4(0<α≤1/2)，sα=3/(2α-5)(1/2<α≤1).对于方程(4)，文献[5]中用Bourgain空间理论和[k;Z]-乘子方法得到了它在Hs(s>-7/4)的整体适定性.对于现要研究的问题(1)，也能用类似的方法来证明，因此可得到如下结论:

现在的困难在于方程(1)的导数阶数高，色散关系代数结构复杂，这在研究中会带来一定的麻烦.

1 概念和定义

用Fx来表示f关于空间变量的傅里叶变换，为了简单方便，仍用F来表示f关于空间变量的傅里叶变换.Z和N分别用来表示整数集和自然数集.对于∀k∈Z+=N∪{0},记

Ik={ξ:|ξ|∈[2k-1,2k+1]}k≥1,I0={ξ:|ξ|≤2}.

令η0:R→[0,1]是在[-8/5,8/5]上的一个光滑函数且在[-5/4,5/4]上为1.对于∀k∈N,令ηk(ξ)=η0(2-kξ)-η0(2-k+1ξ),对于∀k∈Z，令χk(ξ)=η0(2-kξ)-η0(2-k+1ξ).一般而言，{χk}k∈Z是齐次的二进制分解函数序列，{ηk}k∈Z+是非齐次的二进制分解函数序列.经典的KdV方程(2)所使用的空间Xb,s是标准的Bourgain空间[1].为了研究方程(1)的适定性，文献[3]中引进了Bourgain空间的变形空间，该空间的范数记为

‖u‖Xb,s,α=‖i(τ+ξ5)+|ξ|2αb‖L2(R2),

2 五阶KdV-B方程的局部适定性和整体适定性

这一节中，主要对五阶KdV-B方程的积分形式

(5)

定理2 若sα=-7/4(0<α≤3/2)，sα=-1-α/2(3/2<α≤2)，s∈(sα,0]，0<δ≪1，则存在Cs,α>0，使得对于∀u,v∈S，均有

‖∂x(uv)‖X-1/2+δ,s,α≤Cs,α‖u‖X1/2,s,α‖v‖X1/2,s,α.

(6)

(7)

这里的c以及下面的c只是代表一个常数，并非表示同一值,并且记

Dk,j={(ξ,τ):|ξ|∈[2k-1,2k+1],|τ+ξ5|∈Ij}uk1,j1=χk1(ξ)ηj1(τ+ξ5)u.

这就将对(6)式的证明转化为对(7)式的证明.而(7)式中

(8)

的估计已由下面的引理1给出，所以在证明(7)式的过程中主要是对

下面的主要任务就是证明：

(9)

(10)

引理1[5]H,N1,N2,N3,L1,L2,L3满足：

(ⅰ) 若Nmax～Nmin并且Lmax～H，则

(11)

(ⅱ) 若N1～N2≫N3并且H～L3≥L1,H～L3≥L2，则

(12)

对于类似的情况，(12)式仍成立.

(ⅲ 对于除(ⅰ)(ⅱ)以外的其他情况，

(13)

下面分情况来讨论(9)和(10)式的证明.

先来估计(9)式.因为有N3N3sN1-sN2-s≤NNmin-s+N-2sNminNmins成立，所以可得到

这里要求-2

对(10)式的估计，要比对(9)式的估计复杂得多.首先假设(11)式成立，于是有

这里要求-9/4-α/2

若(13)式成立，则得到

这里要求-2

若(12)式成立，则可分为下面3种情况来证明：

N2～N3≫N1,L1≥L2,L3；

(14)

N1～N3≫N2,L2≥L1,L3；

(15)

N1～N2≫N3,L3≥L1,L2.

(16)

先证明(14)式，有

先来估计Ⅰ.

这里要求-7/2

这里要求-7/2

根据对称性可知，(15)式的证明类似于(14)式,因此就不再对(15)式进行详细的证明.下面证明(16)式.

先来估计Ⅰ.

下面分2种情形来讨论Ⅰ.当0<α≤3/2时，

这里要求-7/4

这里要求-1-α/2

对于Ⅱ，有

下面也分2种情形来讨论Ⅱ.当0<α≤3/2时，

这里要求-7/4

这里要求-1-α/2

至此，就完成了对定理2的证明.应用定理2得到双线性估计，再结合压缩映射原理就可以得到方程(1)的局部适定性，然后根据标准的方法[6]，可将局部解延拓到整体.

3 结语

通过对定理2中非线性估计的证明，再结合压缩映像原理，可得到五阶KdV-B方程解的局部适定性理论，然后根据五阶KdV-B方程的无穷次光滑性和守恒结构，可以用标准的方法，将解的存在区间延拓到[0,+]上，从而得到它的整体适定性.

[1] KENIG C,PONE G,VEGA L.A Bilinear Estimate with Applications to the KdV Equation[J].J. Amer. Math. Soc.,1996,9:573-603.

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[3] MOLINET L,RIBAUD F.On the Low Regularity of the Korteweg-de Vries-Burgers Equation [J].Internat. Math. Res. Notices,2002,37:1 979-2 005.

[4] GUO Zihua,WANG BAOxiang.Global Well Posedness and Inviscid Limit for the Korteweg-de Vries-Burgers Equation [J].J. Differential Equations,2009,246:3 864-3 901.

[5] CHEN Wengu,GUO Zihua.Global Well Posedness andI-Method for the Fifth-Order Korteweg-de Vries-Burgers Equation [J].J. Anal. Math,2011,114:121-156.

[6] HAN Jinsheng,PENG Lizhong.The Well Posedness of the Dissipative Korteweg-de Vries-Burgers Equations with Low Regularity Data [J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods & Applications,2008,69:171-188.

(责任编辑 向阳洁)

GlobalWell-PosednessfortheFifth-OrderKorteweg-deVries-BurgersEquation

LIU Yuhuan

(Department of Mathematical and Physical Sciences,North China Electric Power University,Beijing 102206,China)

Considering the Cauchy problem for the fifth-order Korteweg-de Vries-Burgers equation

where 0<α≤2 anduis a real-valued function.It is globally well-posed inHs(s>sα) by usingXb,s-theory and [k;Z]-multiplier method,when 0<α≤3/2,sα=-7/4;3/2<α≤2,sα=-1-α/2.

fifth-order KdV-B equation;local well-posedness;global well-posedness

1007-2985(2014)01-0015-05

2013-06-01

中央高校科研业务费资助(12MS79)

刘玉欢(1989-)，女，河北邯郸人，华北电力大学数理学院硕士研究生，主要从事偏微分方程研究.

O175.29

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.01.005

ut+uxxxxx+|∂x|2αu+(u2)x=0u(0)=φ,