数学建模对高职院校学生职业能力的培养

李 波，干国胜，王燕娜

(湖北工业职业技术学院 公共课部,湖北 十堰 442000)

随着高等数学教学的改革及发展，高校对于数学建模的认识和重视程度也随之提高。作为数学知识与应用桥梁的数学建模活动[1]，在提高学生学习数学兴趣，激发学生的求知欲以及培养学生各方面能力起到非常重要作用。

一、数学建模介绍

数学建模的实质就是将实际问题数学模型化，运用我们所学的数学知识建立合理的数学模型，结合计算机软件来充分的解决。数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图像、图表、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。数学是实际需要中产生的，要解决实际问题就一定要建立数学模型，数学建模的步骤大致可分为如下六步[2]：

(1)模型准备：首先了解实际问题的背景，利用网络查找相关知识点，搜集必要的各种信息，尽量弄清问题的特征，明确建模的目的，进而初步确定建立模型的类型。

(2)模型假设：根据实际问题的内在要求以及建模的目的，抓住问题的主要思想，忽略次要因素，对问题提出合理的、必要的理想假设，这是建模比较关键的一步，要求建模者发挥想象力，判断力和洞察力，尽量使问题线性化、均匀化，具体问题具体分析。

(3)模型建立：根据所做的假设，分析研究各个要素的关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，对数学语言加以刻画，建立问题的数学结构，从而得到现实问题的数学模型。因人而异，建立的模型可以是方程、函数、图像等。

(4)模型求解：根据建立的数学模型，应用合适的数学方法求解，可以采用解方程、画函数图像、证明理论、数值运算、差值拟合等数学方法，特别是应用计算机技术，需要借助Word、Excel、Mathematica、Matlab等数学软件进行复杂的计算，所以要求对数学软件有基本的了解。

(5)模型验证：数学模型总是在不断的分析、验证、论断、评价中进行，要进行不断的改进和完善。对模型的改进和评价要贯穿整个数学建模的始终。无论哪种情况都需要进行误差评估，数据稳定性分析。建立模型的目的是为了解决实际问题。因此，一个模型必须反映现实问题，满足解决实际问题的需求，把模型的解带入实际中验证。

(6)模型推广：为了使模型更好地应用到实际中，发挥数学的应用价值，把模型做适当的推广。

二、数学建模对学习高等数学的作用

1.激发学生学习高等数学的兴趣

高等数学课程是高职院校相关专业必修的一门重要的基础课和工具课，是我院工作过程系统化“211”课程体系中的公共平台的重要课程，是学生学习专业、发展技能的基础。但由于数学学时不断的减少，学生对学习重要性缺乏了解，专业教学改革对数学教学存在偏见，甚至有忽视数学教学倾向，师生时间和精力有限，不能专门训练，学生积极性不高，数学教学进展缓慢。为解决这一困难，数学教师十分重视，将建模的思想逐步融入日常教学与教改中，形成“数学教学贴近高职特点、贴近专业特色、贴近社会生活实际、以能力培养为本位”的高职数学教学理念。

传统的大学高数课本主要讲解理论，学生学习兴趣也不浓厚，对我院高职学生不太适合。如果降低难度，学生学不到应有的知识，达不到教学目的[3]。如何让学生学起来容易，而又不降低学习质量，培养具有能力和应用型的人才呢？这就要求我院教师进行教学改革，推出一套全新的教学方法。不但使学生学到知识，还要提高学生的学习兴趣，提高分析问题和解决问题的能力。而数学建模正是高等数学教学改革的全新思路，下面就一个简单的建模例子说明数学建模对学习高等数学的作用。

层次分析法 ——手机的选购问题：

信息化时代已经来临，手机早已走进千家万户，而我们大学生对手机的需求也大大增加。如何选购一款适合自己，性价比高的手机？

问题提出：选购手机，一般会考虑价格、像素、内存、网络制式等4个准则，如何根据这几个准则对已知的小米3、努比亚 Z5SMINI、华为3C作出选择呢？

(1)模型准备：对问题仔细分析，需要小组成员对这三种手机的参数、相关评价、信誉度等进行查阅，可以上网或者到手机店咨询等。

(2)模型假设：假设选择的手机只受这四个准则限制；只考虑题目的三种手机；成对比较法对价格等准则进行定性的两两比较。

(3)模型建立：Saaty等人提出通过使用尺度1～9对定性关系进行量化，具体表示见下表：

定性关系量化表

根据相关准则建立层次结构模型：

通过调查分析得准则层的成对比较矩阵，而成对比较矩阵一定是正互反矩阵：

其中

B1价格对三种手机的成对比较矩阵；

B2像素对三种手机的成对比较矩阵；

B3内存对三种手机的成对比较矩阵；

B4网络制式对三种手机的成对比较矩阵；

(4)模型求解：计算权向量，利用MATLAB软件可计算成对比较阵的最大特征根，归一化特征向量得到下列结果：

ans=4.2072

w1=0.21180.1430.19280.4523

计算权向量得：

0.4236>0.3548>0.2200

即在3部手机中应该选择小米3

(5)模型验证：对模型进行一致性检验：

CR=0.076<0.10,通过 一致性检验，CR1=0.059； CR2=0.031，

CR3=0.003，CR4=0，其值均小于0.10，故均通过一致性检验。

(6)模型推广：电脑的选购、汽车的选购等都可以用类似的方法求解。

此建模题目是将矩阵的相关知识点结合生活当中的实际例子展开研究的。一方面在今后的生活中购买手机、电脑等可以作为依据；另一方面也巩固了数学的知识点。这也正是高职数学改革的方向，在高职数学的教学中融入数学建模思想的具体方法，将枯燥的数学内容与丰富多彩的社会生活联系在一起，激发学生的学习兴趣。

2.让学生体验数学在实际中的应用

在高等数学的教学中渗透数学建模的思想，适时开展数学建模课程，在该课程的教学中注重理论联系实际，注重数学思想和方法的训练和培养，在高等数学教材或者网络中找到一些具有现实意义的例题，适当地引入数学建模的赛题。实际上，许多数学建模赛题是课本上内容的推广。在讲函数的连续性时，可以引入数学建模的初等模型:椅子在不平的地面上能否放稳[4]:

问题提出：日常生活中一个普通的事实，把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。这个看来似乎与数学无关的现象能用数学语言给以表述，并用数学工具来证实吗？

(1)模型准备：通常椅子三只脚着地，放稳后四只脚着地。

(2)模型假设：四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形；地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面；地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。

(3)模型建立：用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来，如下图:用 θ(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置，四角着地就代表椅脚与地面距离为零，并且距离是θ的函数，利用正方形(椅脚连线)的对称性，四个距离可以用两个距离代替。设AC 两脚与地面距离之和为f(θ)；BD 两脚与地面距离之和为g(θ)。由于地面为连续曲面，故f(θ)，g(θ)是连续函数，又因为椅子在任意位置至少三只脚着地，所以对任意θ,f(θ)，g(θ)至少一个为0。

(4)模型求解：将实际问题转化为下列数学问题：已知f(θ)，g(θ)是连续函数，对任意θ，f(θ)·g(θ)=0，且g(0)=0，f(0) > 0证明：存在θ0，使f(θ0) =g(θ0) = 0。

简单证明：将椅子旋转90度，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0) > 0 ，知f(π/2)=0 ,g(π/2)>0。令h(θ)= f(θ)-g(θ)，则h(0)>0和h(π/2)<0

由f，g的连续性知 h为连续函数，据连续函数的基本性质，必存在θ0，使h(θ0)=0，即f(θ0) =g(θ0)，因为f(θ) ·g(θ)=0，所以f(θ0) =g(θ0) = 0。

(5)模型推广：考虑四角成长方形的椅子。

以上例子都是生活中的实际案例，这些问题都通俗易懂，也能激发学生的好奇心，开拓知识面，为让学生解决实际问题奠定良好的基础，对开展高等数学的教学也起到举足轻重的作用。在讲解高数内容时结合专业，结合实际去选择案例，使学生体会数学来源于实际，又服务于实际。在教学中施行分组教学，小组之间可以产生竞争力，促进学生学习，班级也有良好的学习氛围。分组去分析，调查，解决问题，探索数学的魅力，培养学生的团队意识及创新能力，提高学生应用数学去解决实际问题的意识。

三、学生能力的培养

在我们日常生活中，数学建模无处不在，无论是初中、高中还是大学，处处都存在数学模型。将数学建模的思想引入数学教学越早越有利培养学生的素养。

数学建模可以培养学生多方面的能力[5](1)培养学生的“表达”能力，用数学语言将实际问题抽象化，形成数学模型，应用数学的理论进行推导和验算，并用较通俗的语言表达出来，只有把想法、模型表达出来，人们才可以接受认可。例如：椅子在不平的地面上能否放稳问题中，可以把椅子四角连线看成正方形，地面看成数学上的连续曲面，椅角与地面的距离看成函数等，把这个实际问题抽象出数学模型来验证椅子能放稳。(2)培养学生对实际问题的联想与归纳能力，对于不同的实际问题，可以提炼出相同或相似的数学模型，例如：手机的选购问题可以推广为电脑的选购、汽车的选购等，这也正是数学应用的推广。(3)培养学生独立思考能力和洞察力，在数学建模中经过锻炼可以培养学生一眼看出问题要点的能力，遇到题目能够独立思考解决。例如：在椅子问题中假设椅子的四角与地面的接触地是正方形，因为正方形具有对称性，所以四角距离只需计算两个即可，抓住问题的关键。(4)培养学生的自学能力。事先教师把建模题目留给学生，引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生积极开展讨论和辩论，培养学生主动探索，努力进取的学风，例如在手机的选购问题中，学生可以上网查阅相关手机的信息或者到手机店查阅，培养学生的学习主动性，进而培养学生从事科研工作的初步能力，形成一个生动活泼的环境和气氛。(5)培养学生分析和解决实际问题的能力，学生将学过的数学知识串联一起灵活应用，在数学建模中反复应用数学方法对实际问题进行分析、理解、推理和计算，才能找出最适合的数学模型，求出模型的最优解，所以可以提高学生的解决实际问题的能力。例如在手机选购问题中，采用的是层次分析法，也可以使用运筹学知识点或概率的知识，但经过分析比对各种方法，层次分析法相对而言更容易理解。(6)培养学生的创新能力，数学建模的题目相对较活，题目没有统一的答案，只会有一个求解范围，所以只要模型建立正确，推导合理就可以，但要想数学建模拿到奖项，就必须要求模型具有创新点，具有特色。通过数学建模的练习，可以逐渐培养学生的创新能力。例如手机的选购问题中，成对比矩阵的建立就是一个创新。(7)培养学生的应用计算机能力，由于数学建模竞赛需要处理大量的数据，而这些数据只能通过计算机软件来解决，所以学生会学习Excel、Mathematica、Matlab等很多计算机语言语法，例如手机的选购中就应用到Matlab数学软件求解矩阵的特征向量，对于今后工作也会有很大帮助。(8)培养学生的团队合作能力，数学建模竞赛是一个团队的合作，要求三个人都各有优势，各具有某方面的能力，最终三人研究统一的方案，这就要求学生具有团队意识，为这个小集体服务，也为学生步入社会提供工作经验。

高职数学与数学建模的结合，不只是创新教学方法和教学手段，更是提高学生学习兴趣，培养学生能力的一种教学模式。数学建模所体现的创新思维意识，独立思考能力及团队合作竞赛也正是我们这个时代所需要的，是高校数学教师必须努力的方向。开展数学建模竞赛，学生的实践能力和计算机应用能力都得到了锻炼，学生的视野也得到开阔，从而达到实现教学改革的目标，提高教学质量的目的。

[参考文献]

[1] 梁秀丽.如何从数学建模的角度加强数学教学[J].教育科学，2009：153.

[2] 宋从芝，田惠竹.数学建模及数学建模竞赛的组织与培训[J].中国冶金教育，2009(2)：36.

[3] 毛建生.高职数学与数学建模相结合的应用研讨[J].泸州职业技术学院学报，2011(3)：17.

[4] 戎 笑，于德明.高职数学建模竞赛培训教程[M].清华大学出版社，2010：8-9.

[5] 钱晓惠，王科峰.将数学建模思想融入高等数学教学[J].数学教学，2009(3)：142.