牛顿第二定律的应用——整体法

娄宇来

摘 要 在中学物理学习中，学生对牛顿第二定律的应用，特别是整体法的应用，掌握不够，通过该文章希望学生们能掌握。

关键词 整体法 牛顿第二定律 受力分析 正方向

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）13-0059-02

我们在研究由两个以上的物体组成的系统力学问题时，有两种基本的分析方法：隔离法和整体法。由于隔离法易于学生接受，平时训练又多，掌握较牢固，形成了思维定势，碰到问题习惯用隔离法，很少用整体法。即使用整体法，也只局限于系统中各物体具有相同加速度的情况，认为几个物体只有在加速度相同时才能作为一个整体来考虑。这样解题思路比较狭窄，在较复杂问题面前便显得束手无策。事实上，大多数系统中各物体加速度不同的问题同样可以用整体法，方法是只要把牛顿第二定律改写：

∑F= m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan的形式即可。下面先对该公式进行证明。

设有相互作用的两物体m1和m2组成的系统。先以m1作为研究对象，设m2对m1作用力为T，m1受到的其它外力的合力为F1，m1的加速度为a1，则由牛顿第二定律可得：

F1+T=m1a1 ①

再以m2作为研究对象，设m1对m2的作用力为T/，m2受到其它外力的合力为F2，m2的加速度为a2，则由牛顿第二定律得： F2+T/=m2a2 ②

根据牛顿第三定律又有T=-T/ 将①+②得：

F1+F2=m1a1+m2a2 若有n个物体组成的系统，则有：

F1+F2+…+Fn=m1a1+m2a2+…mnan

也即有∑F=m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan 写成分量式为

∑Fx=m1a1x+m2a2x+m3a3x+…+mnanx；

∑Fy=m1a1y+m2a2y+m3a3y+…+mnany。

从上式中看到当系统中各个物体具有不同的加速度时，系统所受的合外力等于各个ma的矢量和。这样我们就从部分与整体的联系中揭示了整个系统的运动规律，把物理规律直接用于系统整体。下面通过例题来说明如何应用整体法牛顿第二定律解决系统力学问题。

例1：如图1甲，底座A上装有长0.5米的直立杆，其总质量M=0.2千克，杆上套有质量为m=0.05千克的小环B，它与杆有摩擦。当环从底座以4米/秒的速度飞起时，刚好能到达杆顶，求环上升过程中，水平面对底座的支持力多大？

解：小环B上升过程作匀减速运动，设加速度为a

由 v02=2ah得：a===16（米/秒2）

以A.B组成的系统整体作研究对象。整体所受外力为：重力（M+m）g和地面支持力N，规定向下方向为正方向，如图乙所示。由题意：aA=0，aB=a，

则由整体法牛顿第二定律得

∑F=（M+m）g-N=MaA+maB=0+ma

∴N=（M+m）g-ma=（0.2+0.05）€？0-0.05€？6=1.7（牛）。

例2，如图2甲所示，人和物体的质量相等，绳子的质量和绳与滑轮间的摩擦不计，开始人和物体在同一水平线上，当人从静止开始向上匀加速爬绳时，人与物体的运动情况是（ ）

A.人加速上升，物体加速下降

B.人加速上升，物体静止不动

C.人和物体同时加速上升，同时到顶

D.人和物体同时加速上升，但人先到顶。

解：由于定滑轮对绳的作用力与绳垂直，只起改变方向的作用，可想象把绳拉直，如图2乙所示，显见，对人和物体、绳子组成的系统整体所受合外力为0，设人爬的加速度为 a1，物体的加速度为a2，方向如图2乙所示。则由整体法牛顿第二定律得：∑F=m1a1+m2a2=0

∴a2=-a1.可见人和物体的加速度大小相同，方向相反，由于开始在同一水平线上，所以两者同时到顶，应为选项C.

例3：如图3甲所示，质量为M、倾角为 的斜面体A放在粗糙的水平桌面上，质量为m的物体B沿斜面下滑，斜面体始终不动。求下面两种情况水平桌面的支持力和摩擦力：（1）B以速度v匀速下滑，（2）B以加速度a加速下滑。

解：（1）以A、B组成的系统整体为研究对象，整体在竖直方向受到的外力为重力（M+m）g、桌面支持力N，水平方向设桌面的摩擦力为f，方向向左，建立坐标如图3乙，又根据题意aA=0，aB=0， 则由整体法牛顿第二定律的分量式得：

∑Fy=（M+m）g-N=MaAy+maBy=0

∴N=（M+m）g

∑Fx=f=MaAx+maBx=0

∴ f=0.可见桌面没有摩擦力。

（2）以A、B组成的系统整体为研究对象，整体受力如图3乙由题意：aA=0，aB=a

将a正交分解如图4得：

aBX=acos

aBY=asin

则由整体法牛顿第二定律得：

∑FY=（M+m）g-N=MaAY+maBY=0+masin

∴N=（M+m）g-masin

∑FX=f=MaAX+maBX=0+macos

∴f= macos 可见桌面对A物体有向左的摩擦力。

从以上几个例题解题过程我们得到，应用整体法牛顿第二定律解题的步骤为：（1）确定系统整体作为研究对象，对整体进行受力分析；（2）分析系统内各物体的运动状态，即有无加速度、加速度的大小、方向；（3）建立坐标，规定正方向；（4）根据整体法牛顿第二定律建立方程，求解。由于对系统整体分析时，不用考虑系统内各物体之间的相互作用，使得解题步骤大为简化。上述几例如用隔离法求解，步骤较繁复。所以，在不要求解出系统内部作用量时，应用整体分析法就显示出很大的优越性。

整体法和隔离法都是解决动力学问题的重要方法，两者各有所长，都要熟练掌握。在遇到具体问题时，要根据具体条件灵活选用或交替使用，只有这样，才能开拓解题思路，提高解题技能，发展思维能力。

（责任编辑 全 玲）endprint

摘 要 在中学物理学习中，学生对牛顿第二定律的应用，特别是整体法的应用，掌握不够，通过该文章希望学生们能掌握。

关键词 整体法 牛顿第二定律 受力分析 正方向

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）13-0059-02

我们在研究由两个以上的物体组成的系统力学问题时，有两种基本的分析方法：隔离法和整体法。由于隔离法易于学生接受，平时训练又多，掌握较牢固，形成了思维定势，碰到问题习惯用隔离法，很少用整体法。即使用整体法，也只局限于系统中各物体具有相同加速度的情况，认为几个物体只有在加速度相同时才能作为一个整体来考虑。这样解题思路比较狭窄，在较复杂问题面前便显得束手无策。事实上，大多数系统中各物体加速度不同的问题同样可以用整体法，方法是只要把牛顿第二定律改写：

∑F= m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan的形式即可。下面先对该公式进行证明。

设有相互作用的两物体m1和m2组成的系统。先以m1作为研究对象，设m2对m1作用力为T，m1受到的其它外力的合力为F1，m1的加速度为a1，则由牛顿第二定律可得：

F1+T=m1a1 ①

再以m2作为研究对象，设m1对m2的作用力为T/，m2受到其它外力的合力为F2，m2的加速度为a2，则由牛顿第二定律得： F2+T/=m2a2 ②

根据牛顿第三定律又有T=-T/ 将①+②得：

F1+F2=m1a1+m2a2 若有n个物体组成的系统，则有：

F1+F2+…+Fn=m1a1+m2a2+…mnan

也即有∑F=m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan 写成分量式为

∑Fx=m1a1x+m2a2x+m3a3x+…+mnanx；

∑Fy=m1a1y+m2a2y+m3a3y+…+mnany。

从上式中看到当系统中各个物体具有不同的加速度时，系统所受的合外力等于各个ma的矢量和。这样我们就从部分与整体的联系中揭示了整个系统的运动规律，把物理规律直接用于系统整体。下面通过例题来说明如何应用整体法牛顿第二定律解决系统力学问题。

例1：如图1甲，底座A上装有长0.5米的直立杆，其总质量M=0.2千克，杆上套有质量为m=0.05千克的小环B，它与杆有摩擦。当环从底座以4米/秒的速度飞起时，刚好能到达杆顶，求环上升过程中，水平面对底座的支持力多大？

解：小环B上升过程作匀减速运动，设加速度为a

由 v02=2ah得：a===16（米/秒2）

以A.B组成的系统整体作研究对象。整体所受外力为：重力（M+m）g和地面支持力N，规定向下方向为正方向，如图乙所示。由题意：aA=0，aB=a，

则由整体法牛顿第二定律得

∑F=（M+m）g-N=MaA+maB=0+ma

∴N=（M+m）g-ma=（0.2+0.05）€？0-0.05€？6=1.7（牛）。

例2，如图2甲所示，人和物体的质量相等，绳子的质量和绳与滑轮间的摩擦不计，开始人和物体在同一水平线上，当人从静止开始向上匀加速爬绳时，人与物体的运动情况是（ ）

A.人加速上升，物体加速下降

B.人加速上升，物体静止不动

C.人和物体同时加速上升，同时到顶

D.人和物体同时加速上升，但人先到顶。

解：由于定滑轮对绳的作用力与绳垂直，只起改变方向的作用，可想象把绳拉直，如图2乙所示，显见，对人和物体、绳子组成的系统整体所受合外力为0，设人爬的加速度为 a1，物体的加速度为a2，方向如图2乙所示。则由整体法牛顿第二定律得：∑F=m1a1+m2a2=0

∴a2=-a1.可见人和物体的加速度大小相同，方向相反，由于开始在同一水平线上，所以两者同时到顶，应为选项C.

例3：如图3甲所示，质量为M、倾角为 的斜面体A放在粗糙的水平桌面上，质量为m的物体B沿斜面下滑，斜面体始终不动。求下面两种情况水平桌面的支持力和摩擦力：（1）B以速度v匀速下滑，（2）B以加速度a加速下滑。

解：（1）以A、B组成的系统整体为研究对象，整体在竖直方向受到的外力为重力（M+m）g、桌面支持力N，水平方向设桌面的摩擦力为f，方向向左，建立坐标如图3乙，又根据题意aA=0，aB=0， 则由整体法牛顿第二定律的分量式得：

∑Fy=（M+m）g-N=MaAy+maBy=0

∴N=（M+m）g

∑Fx=f=MaAx+maBx=0

∴ f=0.可见桌面没有摩擦力。

（2）以A、B组成的系统整体为研究对象，整体受力如图3乙由题意：aA=0，aB=a

将a正交分解如图4得：

aBX=acos

aBY=asin

则由整体法牛顿第二定律得：

∑FY=（M+m）g-N=MaAY+maBY=0+masin

∴N=（M+m）g-masin

∑FX=f=MaAX+maBX=0+macos

∴f= macos 可见桌面对A物体有向左的摩擦力。

从以上几个例题解题过程我们得到，应用整体法牛顿第二定律解题的步骤为：（1）确定系统整体作为研究对象，对整体进行受力分析；（2）分析系统内各物体的运动状态，即有无加速度、加速度的大小、方向；（3）建立坐标，规定正方向；（4）根据整体法牛顿第二定律建立方程，求解。由于对系统整体分析时，不用考虑系统内各物体之间的相互作用，使得解题步骤大为简化。上述几例如用隔离法求解，步骤较繁复。所以，在不要求解出系统内部作用量时，应用整体分析法就显示出很大的优越性。

整体法和隔离法都是解决动力学问题的重要方法，两者各有所长，都要熟练掌握。在遇到具体问题时，要根据具体条件灵活选用或交替使用，只有这样，才能开拓解题思路，提高解题技能，发展思维能力。

（责任编辑 全 玲）endprint

摘 要 在中学物理学习中，学生对牛顿第二定律的应用，特别是整体法的应用，掌握不够，通过该文章希望学生们能掌握。

关键词 整体法 牛顿第二定律 受力分析 正方向

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）13-0059-02

我们在研究由两个以上的物体组成的系统力学问题时，有两种基本的分析方法：隔离法和整体法。由于隔离法易于学生接受，平时训练又多，掌握较牢固，形成了思维定势，碰到问题习惯用隔离法，很少用整体法。即使用整体法，也只局限于系统中各物体具有相同加速度的情况，认为几个物体只有在加速度相同时才能作为一个整体来考虑。这样解题思路比较狭窄，在较复杂问题面前便显得束手无策。事实上，大多数系统中各物体加速度不同的问题同样可以用整体法，方法是只要把牛顿第二定律改写：

∑F= m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan的形式即可。下面先对该公式进行证明。

设有相互作用的两物体m1和m2组成的系统。先以m1作为研究对象，设m2对m1作用力为T，m1受到的其它外力的合力为F1，m1的加速度为a1，则由牛顿第二定律可得：

F1+T=m1a1 ①

再以m2作为研究对象，设m1对m2的作用力为T/，m2受到其它外力的合力为F2，m2的加速度为a2，则由牛顿第二定律得： F2+T/=m2a2 ②

根据牛顿第三定律又有T=-T/ 将①+②得：

F1+F2=m1a1+m2a2 若有n个物体组成的系统，则有：

F1+F2+…+Fn=m1a1+m2a2+…mnan

也即有∑F=m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan 写成分量式为

∑Fx=m1a1x+m2a2x+m3a3x+…+mnanx；

∑Fy=m1a1y+m2a2y+m3a3y+…+mnany。

从上式中看到当系统中各个物体具有不同的加速度时，系统所受的合外力等于各个ma的矢量和。这样我们就从部分与整体的联系中揭示了整个系统的运动规律，把物理规律直接用于系统整体。下面通过例题来说明如何应用整体法牛顿第二定律解决系统力学问题。

例1：如图1甲，底座A上装有长0.5米的直立杆，其总质量M=0.2千克，杆上套有质量为m=0.05千克的小环B，它与杆有摩擦。当环从底座以4米/秒的速度飞起时，刚好能到达杆顶，求环上升过程中，水平面对底座的支持力多大？

解：小环B上升过程作匀减速运动，设加速度为a

由 v02=2ah得：a===16（米/秒2）

以A.B组成的系统整体作研究对象。整体所受外力为：重力（M+m）g和地面支持力N，规定向下方向为正方向，如图乙所示。由题意：aA=0，aB=a，

则由整体法牛顿第二定律得

∑F=（M+m）g-N=MaA+maB=0+ma

∴N=（M+m）g-ma=（0.2+0.05）€？0-0.05€？6=1.7（牛）。

例2，如图2甲所示，人和物体的质量相等，绳子的质量和绳与滑轮间的摩擦不计，开始人和物体在同一水平线上，当人从静止开始向上匀加速爬绳时，人与物体的运动情况是（ ）

A.人加速上升，物体加速下降

B.人加速上升，物体静止不动

C.人和物体同时加速上升，同时到顶

D.人和物体同时加速上升，但人先到顶。

解：由于定滑轮对绳的作用力与绳垂直，只起改变方向的作用，可想象把绳拉直，如图2乙所示，显见，对人和物体、绳子组成的系统整体所受合外力为0，设人爬的加速度为 a1，物体的加速度为a2，方向如图2乙所示。则由整体法牛顿第二定律得：∑F=m1a1+m2a2=0

∴a2=-a1.可见人和物体的加速度大小相同，方向相反，由于开始在同一水平线上，所以两者同时到顶，应为选项C.

例3：如图3甲所示，质量为M、倾角为 的斜面体A放在粗糙的水平桌面上，质量为m的物体B沿斜面下滑，斜面体始终不动。求下面两种情况水平桌面的支持力和摩擦力：（1）B以速度v匀速下滑，（2）B以加速度a加速下滑。

解：（1）以A、B组成的系统整体为研究对象，整体在竖直方向受到的外力为重力（M+m）g、桌面支持力N，水平方向设桌面的摩擦力为f，方向向左，建立坐标如图3乙，又根据题意aA=0，aB=0， 则由整体法牛顿第二定律的分量式得：

∑Fy=（M+m）g-N=MaAy+maBy=0

∴N=（M+m）g

∑Fx=f=MaAx+maBx=0

∴ f=0.可见桌面没有摩擦力。

（2）以A、B组成的系统整体为研究对象，整体受力如图3乙由题意：aA=0，aB=a

将a正交分解如图4得：

aBX=acos

aBY=asin

则由整体法牛顿第二定律得：

∑FY=（M+m）g-N=MaAY+maBY=0+masin

∴N=（M+m）g-masin

∑FX=f=MaAX+maBX=0+macos

∴f= macos 可见桌面对A物体有向左的摩擦力。

从以上几个例题解题过程我们得到，应用整体法牛顿第二定律解题的步骤为：（1）确定系统整体作为研究对象，对整体进行受力分析；（2）分析系统内各物体的运动状态，即有无加速度、加速度的大小、方向；（3）建立坐标，规定正方向；（4）根据整体法牛顿第二定律建立方程，求解。由于对系统整体分析时，不用考虑系统内各物体之间的相互作用，使得解题步骤大为简化。上述几例如用隔离法求解，步骤较繁复。所以，在不要求解出系统内部作用量时，应用整体分析法就显示出很大的优越性。

整体法和隔离法都是解决动力学问题的重要方法，两者各有所长，都要熟练掌握。在遇到具体问题时，要根据具体条件灵活选用或交替使用，只有这样，才能开拓解题思路，提高解题技能，发展思维能力。

（责任编辑 全 玲）endprint