运用文氏图（Venn Diagrams）于资优班的区分性教学

黄如屏

一、前言

“有教无类”与“因材施教”的教育目标，是所有教学者所欲追求的终极目标。只是每个学生的发展，都有其内在潜能的差异，而我国现阶段的教育现况却无法以全然适异的教学方式帮助学生成长，使得每个教师每天所面临的重大挑战之一，就是努力适应每一个学生的个别差异，同时还必须具有敏锐的观察力和有冲劲的行动力，帮助所有学生达到潜在水平的学习成就。惟现实的教学现场，反而以齐一的教材、统一的进度、单一的评分标准考量教师的教学效率、学生的学习成效，期望以相同质量的学习内容，让学生重复练习以达精熟。这样的教学方式不但无法照顾到每一个学生，也严重忽略学生的自主权与个别差异，实有违背教育的本质。而强调适异的区分性教学正好提供教师“有教无类”且“因材施教”最好的办法。

区分性教学理论强调“学习本位”的教育理念，“区分”的意思并不是强制要求学生分组，也不是完全把学生隔离，而是指教师评估每一个学生不同的起点行为，“区分”出每个学生的学习特质，弹性的使用不同的教学策略，期望让每个不同特质的学生，都能够参与学习，这种概念就是适性化教育理念的基础（高博铨，2006）。因此，不管在普通班或面临具有特殊需求学生的学习环境中，教师的教学方法更需要弹性且多元，以满足每个学生独特的个别需求。而教师的教学弹性，则来自于教师对于教学方式的重新省思、组合、灵活运用不同的教学策略及各种教学资源。因此，具有区分性教学理念的教师可以运用不同学习资源，也可以使用单一作业，但允许某些学生快速完成或安排不同程度的工作任务，在学生了解任务的基本前提下，可以自己决定学习速度。教师则视需要，随时调整课程以符合学生的需求，同时也要照顾到不同特质的学生（Tomlinson，2001）。

Lannie Kanevsky深知区分性教学的重要性，便于2003年尝试将文氏图和区分性教学做一结合，她认为文氏图能提供学生认知理解概念的方法，也提供不同层次信息处理的方式。在教师比较熟悉的区分性教学策略中，使用文氏图作为媒介来进行学习，可能更容易掌握（Lannie Kanevsky， 2003）。如同文氏图这种工作符号表现了分析事物关系的价值，也提供学生高层次思考的机会，虽然文氏图的历史至今才一百多，但许多教育领域以外的人也开始将文氏图应用在他们熟悉的领域中。文氏图对于资优教育过程和内容的区分上应是一个很棒的媒介工具，本文延续Lannie Kanevsky的研究，以文氏图这种多元的学习方式，发展为区分性教学活动的策略之一，期以吸引学生学习动机，帮助学生持续思考、开展潜能，对学生学习能力的帮助上应有一定的助益。

有鉴于此，本文拟从文氏图的理论观点探讨区分性教学，以彰显文氏图的应用对区分性教学的意义。首先介绍文氏图的定义；进而说明文氏图与区分性教学的关系以及说明以文氏图进行区分性教学的意义。

二、文氏图（Venn Diagrams）定义

英国人John Venn（1834-1923）在1881年出版了《Sym-bolic Logic》（逻辑符号）一书，以数学和逻辑的关系，发明了一种图解架构的工作符号，称作文氏图。文氏图（Venn Diagrams），又称为温氏图、范氏图、维恩图。William Dunham认为在数学领域中，文氏图用来表示集合、分类概念的一种图示方式。亦即用来表示理解推论或不同事物的群组（集合或类别）间大致的逻辑关系，同时也是高层次思考表现的结果，以引导阅读者理解关系的图解（蔡承志译，2009）。美国数学家菱克沙恩替文氏图下了一个定义：“文氏图是一个集合符号的表示，用平面图形的某个内部区域来表示某个事物，再用某条封闭的线段内的点或空间来表示其他事物交集关系的概念。”（许志农，2004）

简单地说，最初的文氏图只是两个相互交织的圈圈，两个圆如果没有相交，呈现相离或相切的关系，在文氏图中，并不具任何意义，有可能出现如欧拉图（Euler Diagrams）的形式，如图1-1。虽然Leonhard Euler比Venn John还要早发明欧拉图，但两者却大不相同，欧拉图要表示的是特定集合之间的关联，图1-1的例子中，一个集合完全在另一个集合中。我们可以假定集合A是小孩，集合B则是所有的人，而集合C则是所有的宠物。从这个图中，你可以看出所有的小孩都是人，但不是所有的人都是小孩。进一步说，集合C（比如说所有的宠物）与集合B 没有共同的元素（集合的成员），从此我们可以在逻辑上下断言没有一个小孩是宠物（或者反过来说，没有一只宠物是小孩）。（在这里不讨论那种把小孩当宠物养的家庭，那样的父母本身就不是人了！）

而文氏图则包含所有概念可能的交集。如果有讨论的大前提范围，则再在两个圆圈外加上一个矩形框来表示讨论主题的大前提范围（维基百科，2014）。例如图1-2的矩形框所表示的论域为生物圈，而左边的圆圈A可以代表四条腿的动物，右边的圆圈B可以代表会游泳的动物，两圆相交叠（∩表示交集）的区域，就包含了在生物圈中会游泳且有四条腿的动物，如：青蛙、小狗。

图1-1 欧拉图（也称尤拉图、欧氏图）

图1-2 文氏图（一个集合）

文氏图的变化非常多样，当然文氏图也有复杂的样貌，使它所呈现的集合可以扩展到更多，甚至还有文氏图专门网介绍各种文氏图的变化运用。http：//www.venndiagram.net/contact图如1-3为具有三个集合的文氏图；Venn甚至融入椭圆和不规则的形状达到具有六个集合的文氏图，如图1-4；或甚至挑战变化文氏图形组织，创造一朵漂亮的文氏图花，如图1-5。

图1-3 三个集合的文氏图

图1-4 六个集合的文氏图

图1-5 文氏图花

三、以文氏图进行区分性教学

（一）适用时机

通常教师在课堂中进行集合概念、概率问题、包含互斥或组合排列等观念原则的教学时，学生往往对于单一且分开的学习题材较无困难，但一旦遇到统整、应用的问题时，便显得束手无策。文氏图正是一种包含组合、集合和机率等观念的思考产物，很适合拿来当作课前的预览、课中的思索与课后的统整活动。endprint

文氏图最大的优点在于它适用所有程度的学生，当教师对学生学习程度的掌握越清楚、越了解时（可透过各种策略了解学生的起点行为、学习准备度和学习风格，当然也包括简易的文氏图；不管学生的能力水平如何，在教学活动开始前，利用文氏图来做区分，也是一种很好的开始。）教师越能因为学生的背景知识不同、思维能力和方式的不同，而以文氏图做适异上的区分性教学，对于只能做低层次思考的学生，文氏图可以用来做理解所学知识的关系比较；但能进行复杂思考的资优生，则可以进行分析讨论。不管是哪种程度的学生，文氏图对他们概念的建构而言，都有一定的价值。

在区分性教学的班级内，文氏图是一个很有用的图形组织。学生学习一个新的主题时，文氏图可作为一个集思广益、整理概念、记录讯息的工具，有系统的组织、分析使用每一个圆形所代表的意义。文氏图也可以做灵活变化的运用，将个别独立完成的圆形概念，两两合并，建立一个有着两圆交织的文氏图，也可以进阶到结合四个学生为一组的图形组织，学生不但能够独立工作也可以相互讨论、合作学习，互相搭对方的鹰架提升思考水平。

在课堂中练习文氏图后，教师可预留时间引导学生进行文氏图主要概念的班级讨论，这也是必要的，当每个学生被分配到或他所选择的主题概念相同，教师即可从文氏图看出学生程度的差异，再适度给予其能力水平的任务，这就是区分性教学的意义所在。不过，当教师引导学生运用文氏图来表示概念关系的过程中，因为教室空间很有限，所以可能造成很某种程度的混乱或复杂情况，此外，图形成果的展现若未经原作者解释，也很难独立阅读，这算是以文氏图进行区分性教学美中不足之处。

总而言之，根据Roberts & Inman的研究（2009）和香港教育局资优教育组（2008）所编写的“抽离式校本数学资优培训课程系列”建议，文氏图适用的时机大约可以归纳如下（Roberts & Inman， 2009a；香港教育局资优教育组，2008）：

1.文氏图可用在区分性教学的过程中，帮助学生研究同一概念，但不同复杂程度的学习内容；

2.文氏图用在前测，可评估学生的学习准备度，确定学生的需求、兴趣或能力；

3.当教师欲介绍一个新的学习主题时，可利用文氏图帮助学生记录笔记、澄清观念，有组织、有系统地分析图形的意义；

4.学生要统整某些观念时，可利用图像思考工具（Graphic Organizers），亦即文氏图进行组织，无论学生的能力水平或思考的复杂程度，在学习活动前利用文氏图进行分层，会是一个很好的开始；

5.学生进行独立学习或小组活动时，可鼓励学生单独运用文氏图形思考，再与合作伙伴结合彼此的文氏图，建立一个具有多个集合的思维成果，以相互帮助彼此在更高的鹰架水平上达成任务；

6.文氏图也可以用来复习或评估学生的学习成效。虽然所有的学生都在练习使用相同的主题概念学习，只是每一个学生所表现的思考水平可能不尽相同。有的学生可以利用最少的圆形在适当的位置，描绘出准确而完整的概念特征；有的学生只能尝试利用部分圆形，适当地完成有些许迷思概念的文氏图。当教师确保学生的学习兴趣维持在中高程度且任务持续进行中，可适度地容许学生的文氏图有些许不完整的信息；

7.课程结束后，教师可将文氏图作为学生的回家作业，让学生的思考练习，能有更充裕的时间可以延续发挥。

（二）进行方式

在区分性教学的过程中，以文氏图为工具进行学习，教师可设定基本任务门槛，鼓励学生达到最低标准，同时以各种奖励制度（如：加分）或社会性赞赏（如：公开展示、表扬）建议学生设定一种有挑战性的目标期望，尝试一个新的思考、方式，帮助学生列出更多学习概念的关系图。最关键的问题除了营造鼓励且支持的学习氛围之外，教师需允许学生有不同的想法，还需要适度的放手，给学生一些弹性空间。在这里并不需要强迫学生完成一大堆圈圈交集的文氏图，而在于给予挑战性任务，找到概念相似和相异的地方，完成与他人「不同的」文氏图，以刺激思考提升思维能力，并得到学习上的进步和成长。整个文氏图的呈现，重点落在学生要能以不同的复杂程度，处理一样的元素概念。

Roberts & Inman（2009a）指出以文氏图来进行区分性教学时，增加很多个圈圈或椭圆形的复杂度和内容是必要的。学生的文氏图作品中，圆的数量越多，可能意味着他的思考可能趋于精致，但完成数个圈圈交集的文氏图后，却未能将概念准确而完整地放置在适当的位置，甚至放错位置，导致概念上的迷思或混淆，还不如挑战少而美的创作，但能提供的信息却最恰当而精准的集合概念。对学生来说，一个圆形的呈现，表示一个单一的概念，适当地加上另一个圆形概念，可以比较或对照两个圆形概念之间的关系。当两个圆形重叠部分，则表示两个分属不同概念的圆形之间有一些共同点，但未重叠的部分则为相异处。对一些天资聪颖的特殊学生来说，两圆的概念可能略显简单，且无法清楚地解释或表现出他们内在复杂的思考历程。那么，对不同程度的资优生来说，他们能够进行快速联结和做抽象的思考者，则可以进阶至多圆相互重叠的关系来做分析，设法引导学生将内在思维的过程，进行联结、比较、分类和归纳。

Silver， Strong， 和Perini（2001， p.150）认为教师以文氏图为工具帮助学生整理信息，最主要的目的，也只是想引起学生的学习动机，促进思考罢了。可见，文氏图形表达方式，并不一定只限于以圆形呈现，圆只是比较大众美而已，我们也可以椭圆形、X字形、Y字形或不规则的形状等其他的图形来表示。重要的是，学生能达到基本标准，亦即准确地将概念放在正确的区域（准确性）且每个圈圈都涵盖了每一个概念，没有遗漏（完整性）。

总之，以文氏图进行区分性教学最重要的是，教师必须再三确认学习的焦点概念，一旦决定学习的主题后，便要考量以哪些方式帮助学生认知、理解学习的概念，除了学习内容的斟酌外，也必须评估不同学习风格学生的适合度，适度对不同思考阶层的学生给予弹性，学习在任务中为自己的学习负责。如果我们希望我们的教学，可以帮助所有的学生不断的成长，那么我们需要鼓励学生激发不一样的思考，支持学生自己设定或教师帮助他设定一些稍具挑战性的期望水平，让学生尝试不同阶层的学习冒险。endprint

（三）奖励标准

以文氏图进行区分性教学时，教师必须在活动进行前，将活动规则描述清楚，确保每一个学生都清楚教师的期望，同时教师也必须仔细考虑文氏图设计的奖励标准和鼓励办法。Kanevsky（2003）指出，奖励和鼓励的目的在于让学生获得立即的反馈，包含实质的奖励、知识上的反馈和改进学习盲点的建议。至少在文氏图当中，图形绘制的准确性和完整性是最重要的。准确性指的是文氏图中的资料放置位置是正确的，且资料也是正确无误的；完整性指的是，在每个集合中，用最少的图形，却能包含最多的概念。而奖励的项目包含：

1.文氏图的质量：能反映出具有准确、完整、有深度推理的集合概念。

2.文氏图的数量：用最少的集合重叠，表达一个完整的概念。

3.有利的支持证据：学生的文氏图集合类包含，可以提出相当的证据提供支持。

4.不偏离主题：即便是每个学生都在任务工作中，教师也必须确认大家都在分析指定的概念。

四、结语

区分性教学的目的并不是刻意在区分学生能力的高中低，而在于正视学生本身的优弱势能力、特殊需求，给予其“需要”的资源，而非“想要”的光环，区分性教学才可能在关键上达到区分的意义。本文透过文氏图希望以此区分性教学策略，帮助学生学习熟练运用图像符号、集合语言，描述不同的具体问题集合中的元素，感受集合语言的意义和作用。文氏图的集合概念可以帮助学生更理解领域知识中的集合语言，帮助学生逻辑分类，并学会用集合语言表达问题概念，运用集合观点去研究和解决问题。借着这种图解的方法，能使抽象的意识一目了然，快速推进逻辑思考，达到分类的目的。

本文若能提供现职教师区分性相对应的教学资源，例如：引发教师某种程度上的教学省思，发展具挑战性且符合学生能力的教材，培养学生的推理技能，发展学生的思维能力，相信不仅能提供更多激发学生思考的机会，也能从不同学生的优势面来欣赏其学习成果。

【参考文献】

[1]高博铨. 适性教学的理念与实施策略[J]. 教育资料与研究双月刊，2006：69，p.261-274.

[2]教育局资优教育组. 资优教育“抽离式校本数学资优培训课程系列”中学篇系列空间与图像[J].香港教育局资优教育组，2008：11-18.

[3]维基百科. 文氏图. http：//zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%96%87%E6%B0%8F%E5%9B%BE，2014-1-23.

[4]蔡承志译（2009）.数学教室A to Z[M]台北：商周.

[5]Kanevsky， L. Tiering with Venn diagrams. Gifted Education Communicator，2003：34，2，42-44.

[6]Kanevsky， L. Tiering with Venn diagrams. KAGE Update： Newsletter of the Kentucky Association for the Gifted， 2005：1， 9-10.

[7]Roberts， J. L.， & Inman， T. F. Strategies for differentiating instruction： Best practices for the classroom （2nd ed.）. Waco， TX： Prufrock Press，2009.

[8]Venn Diagrams. Re： Venn diagram models and examples. [Web blog message]. Retrieved from http：//www.venndiagram.net/contact，2014.endprint

（三）奖励标准

以文氏图进行区分性教学时，教师必须在活动进行前，将活动规则描述清楚，确保每一个学生都清楚教师的期望，同时教师也必须仔细考虑文氏图设计的奖励标准和鼓励办法。Kanevsky（2003）指出，奖励和鼓励的目的在于让学生获得立即的反馈，包含实质的奖励、知识上的反馈和改进学习盲点的建议。至少在文氏图当中，图形绘制的准确性和完整性是最重要的。准确性指的是文氏图中的资料放置位置是正确的，且资料也是正确无误的；完整性指的是，在每个集合中，用最少的图形，却能包含最多的概念。而奖励的项目包含：

1.文氏图的质量：能反映出具有准确、完整、有深度推理的集合概念。

2.文氏图的数量：用最少的集合重叠，表达一个完整的概念。

3.有利的支持证据：学生的文氏图集合类包含，可以提出相当的证据提供支持。

4.不偏离主题：即便是每个学生都在任务工作中，教师也必须确认大家都在分析指定的概念。

四、结语

区分性教学的目的并不是刻意在区分学生能力的高中低，而在于正视学生本身的优弱势能力、特殊需求，给予其“需要”的资源，而非“想要”的光环，区分性教学才可能在关键上达到区分的意义。本文透过文氏图希望以此区分性教学策略，帮助学生学习熟练运用图像符号、集合语言，描述不同的具体问题集合中的元素，感受集合语言的意义和作用。文氏图的集合概念可以帮助学生更理解领域知识中的集合语言，帮助学生逻辑分类，并学会用集合语言表达问题概念，运用集合观点去研究和解决问题。借着这种图解的方法，能使抽象的意识一目了然，快速推进逻辑思考，达到分类的目的。

本文若能提供现职教师区分性相对应的教学资源，例如：引发教师某种程度上的教学省思，发展具挑战性且符合学生能力的教材，培养学生的推理技能，发展学生的思维能力，相信不仅能提供更多激发学生思考的机会，也能从不同学生的优势面来欣赏其学习成果。

【参考文献】

[1]高博铨. 适性教学的理念与实施策略[J]. 教育资料与研究双月刊，2006：69，p.261-274.

[2]教育局资优教育组. 资优教育“抽离式校本数学资优培训课程系列”中学篇系列空间与图像[J].香港教育局资优教育组，2008：11-18.

[3]维基百科. 文氏图. http：//zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%96%87%E6%B0%8F%E5%9B%BE，2014-1-23.

[4]蔡承志译（2009）.数学教室A to Z[M]台北：商周.

[5]Kanevsky， L. Tiering with Venn diagrams. Gifted Education Communicator，2003：34，2，42-44.

[6]Kanevsky， L. Tiering with Venn diagrams. KAGE Update： Newsletter of the Kentucky Association for the Gifted， 2005：1， 9-10.

[7]Roberts， J. L.， & Inman， T. F. Strategies for differentiating instruction： Best practices for the classroom （2nd ed.）. Waco， TX： Prufrock Press，2009.

[8]Venn Diagrams. Re： Venn diagram models and examples. [Web blog message]. Retrieved from http：//www.venndiagram.net/contact，2014.endprint

（三）奖励标准

以文氏图进行区分性教学时，教师必须在活动进行前，将活动规则描述清楚，确保每一个学生都清楚教师的期望，同时教师也必须仔细考虑文氏图设计的奖励标准和鼓励办法。Kanevsky（2003）指出，奖励和鼓励的目的在于让学生获得立即的反馈，包含实质的奖励、知识上的反馈和改进学习盲点的建议。至少在文氏图当中，图形绘制的准确性和完整性是最重要的。准确性指的是文氏图中的资料放置位置是正确的，且资料也是正确无误的；完整性指的是，在每个集合中，用最少的图形，却能包含最多的概念。而奖励的项目包含：

1.文氏图的质量：能反映出具有准确、完整、有深度推理的集合概念。

2.文氏图的数量：用最少的集合重叠，表达一个完整的概念。

3.有利的支持证据：学生的文氏图集合类包含，可以提出相当的证据提供支持。

4.不偏离主题：即便是每个学生都在任务工作中，教师也必须确认大家都在分析指定的概念。

四、结语

区分性教学的目的并不是刻意在区分学生能力的高中低，而在于正视学生本身的优弱势能力、特殊需求，给予其“需要”的资源，而非“想要”的光环，区分性教学才可能在关键上达到区分的意义。本文透过文氏图希望以此区分性教学策略，帮助学生学习熟练运用图像符号、集合语言，描述不同的具体问题集合中的元素，感受集合语言的意义和作用。文氏图的集合概念可以帮助学生更理解领域知识中的集合语言，帮助学生逻辑分类，并学会用集合语言表达问题概念，运用集合观点去研究和解决问题。借着这种图解的方法，能使抽象的意识一目了然，快速推进逻辑思考，达到分类的目的。

本文若能提供现职教师区分性相对应的教学资源，例如：引发教师某种程度上的教学省思，发展具挑战性且符合学生能力的教材，培养学生的推理技能，发展学生的思维能力，相信不仅能提供更多激发学生思考的机会，也能从不同学生的优势面来欣赏其学习成果。

【参考文献】

[1]高博铨. 适性教学的理念与实施策略[J]. 教育资料与研究双月刊，2006：69，p.261-274.

[2]教育局资优教育组. 资优教育“抽离式校本数学资优培训课程系列”中学篇系列空间与图像[J].香港教育局资优教育组，2008：11-18.

[3]维基百科. 文氏图. http：//zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%96%87%E6%B0%8F%E5%9B%BE，2014-1-23.

[4]蔡承志译（2009）.数学教室A to Z[M]台北：商周.

[5]Kanevsky， L. Tiering with Venn diagrams. Gifted Education Communicator，2003：34，2，42-44.

[6]Kanevsky， L. Tiering with Venn diagrams. KAGE Update： Newsletter of the Kentucky Association for the Gifted， 2005：1， 9-10.

[7]Roberts， J. L.， & Inman， T. F. Strategies for differentiating instruction： Best practices for the classroom （2nd ed.）. Waco， TX： Prufrock Press，2009.

[8]Venn Diagrams. Re： Venn diagram models and examples. [Web blog message]. Retrieved from http：//www.venndiagram.net/contact，2014.endprint