数学中考中的二次函数最值问题

张建

摘要：二次函数是初中数学的重点知识，更是难点知识，对于学生来说，确实是一道难过的坎。但是二次函数却高中数学的基础知识，所以二次函数是中考中必考的知识，也是各省市中考卷中压轴大题主要的命题方向，是教师、学生是复习中要突破的方向。

关键词：中考数学；二次函数；最值问题；解题方法

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）12-367-01

二次函数一般出现在综合题中，变化比较多，本文就二次函数最值问题，结合中考真题，粗略地谈谈。

要想解决二次函数最值问题，必须掌握二次函数最值问题最基本的基础知识：二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，顶点为 ，对当a＞0时，当x= 时，函数最小值为 ；当a＜0时，当x=时，函数最大值为 。如果把二次函数y=ax2+bx+c通过配方法变为：y=a(x－h)2+k的形式，则对当a＞0时，当x=h时，函数最小值为k；当a＜0时，当x=h 时，函数最大值为k。

一、在中考中有很多题目都是直接运用这些基础知识的，来看看几个例题：

例1、(2013年广东湛江)抛物线 的最小值是．本题中，a＝1>0，我们知道，有最小值是1

例2、（2013•内江）若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）

A、抛物线开口向上B、抛物线的对称轴是x=1

C、当x=1时，y的最大值为﹣4D、抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）

本题中的C选项就是一个最值问题，只要了解二次函数最基本的知识就能完成，解答如下：

解：把（0，﹣3）代入y=x2﹣2x+c，得c＝－3则y=x2﹣2x-3＝（x-1）2-4

在关系中，a＝1>0，我们知道函数有最小值，是－4.

所以，本题唯一错误的选项就是C

所以说，在数学中考中，二次函数最值问题考察得比较多，题型也比较多，有选择、填空，也有综合题。

二、并不是所有的二次函数最值问题都是直接用基础知识解答的，有一些问题中，自变量的变化范围并不是全体实数，有取值范围，学生们在作题的时候，不要在配方为y=a(x－h)2+k的形式后，就马上迫不急待地写：当x=h时，函数最大（小）值为k，要把考虑x=h是否在题目要求的取值范围内作为一个程序编在大脑里，避免不必要的错误。

（三）还有些题目是上述形式的综合，在一个问题中，在自变量不同的取值范围有不同的函数，我们要分别求出在不同取值范围内的最值（而在不同函数中的最值可能是有上述的各种情况出现），再得出最终的最值，更需要学生认真思考，如下一题：

例3、（2013•呼和浩特）如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（﹣2，0）和点C（0，﹣8）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为 ；

（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．

①请P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．

本题中的第（3）问的第③小问是一个最值问题，要分三种情况进行讨论：

当E在OC上，D在OA上，即当0≤t≤1时，此时S= OE•OD，由此可得出关于S，t的函数关系式；当E在CA上，D在OA上，即当1＜t≤2时，此时S= OD×E点的纵坐标．由此可得出关于S，t的函数关系式；当E，D都在CA上时，即当2＜t＜ 相遇时用的时间，此时S=S△AOE﹣S△AOD，由此可得出S，t的函数关系式；

综上所述，可得出不同的t的取值范围内，函数的不同表达式．以上就是我对中考中的二次函数最值问题的一个粗浅的认识，希望能起到一定的抛砖引玉的作用。