基本不等式中的数形结合

沈吉利

摘要：作为高中数学重要组成部分的基本不等式，其蕴含在多个几何图形之中。从赵爽弦图出发，结合几何画板，以学生动手的形式，让学生初步感受代数的几何形式。再者，通过严格的证明与推导，充分体现数学的严谨性。最后，再出回到几何，点明基本不等式的几何意义。

关键词：基本不等式；数形结合；教学设计

中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）11-211-02

一、学习任务分析

本节课选自人教A版《普通高中课程标准教科书•数学》必修5第3章第4节第1课时的内容，主要研究基本不等式及其推导过程。

本节课是在学习了不等式、一元二次不等式基础上的一节课，它是学生学习的第一个重要不等式，它加深了学生对不等量关系的理解，为基本不等式应用的学习提供了知识铺垫。同时，其研究方法渗透了研究重要不等是的基本方法，为后续研究柯西不等式等重要不等式提供了方法储备与技能铺垫。教材从赵爽弦图开始引入，充分体现了数学的文化价值，使学生认识到中国数学的辉煌历史，同时蕴含了数形结合、等价转换等数学思想方法，培养了学生推理论证，抽象概括等能力。

二、学习者分析

从已有知识和经验来看，学生已经学习了不等式、一元二次不等式等相关知识；从已有能力来看，学生已经初步具备了观察分析，抽象概括等能力。但是在学习新的不等式时，仍会存在一定的思维障碍，如不能给出基本不等式的准确推导等。

三、教学目标分析

1、知识与技能：掌握两种重要等式的形式及其成立的条件；会说明基本不等式的代数推

导过程；能解释基本不等式的几何意义；应用基本不等式比较大小，证明其他不等式。

2、过程与方法：在经历观察，分析，猜想，论证的过程中，探索基本不等式；在利用图形感知基本不等式的过程中，感受到数形结合等数学思想方法；在经历不等式的证明过程中，体会分析法和综合法的证明思路。

3、情感态度与价值观：在利用赵爽弦图感知不等式的过程中，感受到数学的文化价值，增强爱国热情；在探索基本不等式几何意义的过程中，感受到数与形的辩证统一；在应用基本不等式的过程中，体会到数学的对称美与简洁美；

四、教学重点难点

教学重点：掌握基本不等式的形式；能说明基本不等式的推导过程；

教学难点：应用基本不等式。

五、教学过程

1、探究不等式a2+b2≥2ab

（1）创设情境，猜想命题1

【情境1】如图1是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据

中国古代数学家赵爽的弦图设计的，

颜色的明暗使它看上去像一个风车，

代表中国人民热情好客。

【问1】你能在这图(图2）中找出一些相等关系或不等关系吗？

【师生活动】让学生独立思考，教师点名回答，并且板书，同时引导学生从面积的角度寻找不等量关系。

【教师归纳】（1）AB2=2AE•BE+(AE﹣BE)2=AE2+BE2（勾股定理）

（2）a2+b2≥2ab（重要不等式）

（2）推理论证，证明命题1

【问2】你能对a2+b2≥2ab进行严格的证明吗？并说明该重要不等式中“=”何时成立？

【师生活动】学生独立思考，教师点名回答。

【教师归纳】由于(a-b)2=a2+b2-2ab≥0，故a2+b2≥2ab当且仅当a=b时，上述不等式取到“=”。

【设计意图】这里主要是介绍一个重要的不等式a2+b2≥2ab，从赵爽弦图引入，让学生感受到中国数学的辉煌历史的同时，也蕴含这数形结合的思想。另一方面该重要不等式的证明，为后续证明基本不等式做铺垫。

2、探究基本不等式ab ≤(a+b)/2

（1）创设情境，猜想命题2

【情境2】现将两张正方形的纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两

个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）。

【师生活动】学生自己动手构造矩形，教师用几何画板动画演示如下过程：

【问3】在这一过程中，你能发现一个怎样的不等式？

【师生活动】学生独立思考，教师点名回答，必要是引导学生，并且板书。

【教师归纳】若a>0,b>0，则ab ≤(a+b)/2。

【设计意图】在让学生动手实践的同时结合信息技术，让学生直观感受基本不等式的同时进

一步认识到数与形的辩证统一，猜想出基本不等式。

（2）推理论证，证明命题2

【问4】你能对ab ≤(a+b)/2( a>0,b>0)进行严格的证明吗？并说明不等式中“=”何时成立？

【师生活动】学生独立思考，教师点名让学生板书。

【教师归纳】方法一：（分析法）由于a>0,b>0，要证(a+b)/2≥ ab，只需证(a)2+(b)2≥2ab,即证 (a)2+(b)2-2ab≥0，即证(a-b)2≥0，显然成立。故(a+b)/2≥ ab。有上述证明过程可知当a=b时，“=”成立。

方法二：（综合法）由于x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取到“=”，令x=a，y=b代入上式有(a)2+(b)2≥2ab，即a+b≥2ab，证得 (a+b)/2≥ ab当且仅当a=b，即a=b时取到“=”。

【设计意图】通过让学生演示分析法与综合法的证明，更好的体会这两种方法的思想，同时加深对基本不等式的理解

3、明确不等式

（1）两个不等式：①a2+b2≥2ab ("a∈R，b∈R)。②ab ≤(a+b)/2( a>0,b>0)————基本不等式。

（2）基本不等式的文字描述

【问5】我们常把(a+b)/2叫做算数平均数，把ab 叫做几何平均数，如何用文字语言来描述基本不等式？

【师生活动】学生思考，教师点名回答。

【教师归纳】正数的算数平均数不小于他们的几何平均数。

（3）基本不等式的条件分析

【问6】为什么在基本不等式中要求a>0,b>0？

【师生活动】学生思考，教师点名回答。

【教师归纳】 要使ab 有意义，则ab>0，若a<0,b<0，不等式左边<0，右边>0，显然该不等式不成立，故a>0,b>0。

（4）基本不等式的几何意义。

【问7】如图3，AB是圆的直径，点C

是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂

直于AB的弦DE，连接AD,BD，

你能利用这个图形得出基本不等

式的几何意义吗？

【师生活动】教师引导学生求出CD，让学生独立思考，教师点名回答。

【教师归纳】CD=ab 为半弦长，AB=a+b为直径，(a+b)/2为半径。由于(a+b)/2≥ ab，故在圆中，直径不小于半弦长。

（一）运用不等式

【例1】（1）已知都是正数，求证x/y+y/x≥2；（2）已知x>1，求证x+4/(x-1) ≥5。

【师生活动】学生独立思考，教师点名回答，做适当引导，并且板书

【解答】(1)∵x>0,y>0, ∴x/y>0,y/x>0, ∴x/y+y/x≥2(x/y)•(y/x) =2

(2)∵x>1∴x-1>0,∴x+4/(x-1)=x-1+4 /(x-1)+1≥2(x-1)•4/(x-1)+1=5

【设计意图】涉及应用基本不等式证明其他简单的不等式。

【例2】已知a>b>1,P=loga•logb ,Q=(loga +logb)/2,R=log((a+b)/2)试比较P,Q,R 的大小。

【师生活动】学生独立思考，教师点名回答，做适当引导，并且板书

【解答】∵ a>b>1,∴loga>logb>0,∴Q=(loga +logb)/2 ≥loga•logb =P

∵Q=(loga +logb)/2=(logab)/2=logab 且(a+b)/2≥ab ∴R=log((a+b)/2)>logab =Q

故R>Q>P.

【教师归纳】在应用基本不等式时要注意一下三点：

一正：a>0,b>0；二定：ab（或a+b）为定值；三相等：当且仅当a=b是取到“=”。

【设计意图】涉及应用基本不等式比较大小，通过教师归纳加深学生对基本不等式使用条件及注意点的印象。

【变式】已知a、b是正数，试比较2/(1/a+1/b)与ab 的大小。

【师生活动】学生独立思考，教师点名让学生板书

【解答】∵a>0,b>0∴1/a>0,1/b>0∴1/a+1/b ≥21/a•1/b ,故2/(1/a+1/b) ≤2/(21/a•1/b )=ab

（5）课堂小结

【问】在本节课中有什么收获？

【师生活动】学生思考，教师点名回答，并且补充归纳

【教师归纳】1.两个重要不等式：①a2+b2≥2ab ("a∈R，b∈R)。 ②ab ≤(a+b)/2 ( a>0,b>0)

2.用综合法与分析法证明基本不等式；

3.利用基本不等证明其他不等式，比较大小等。

六、板书设计

§3.4.1基本不等式

四．基本不等式的证明

方法一：（分析法）

方法二：（综合法） 例1

例2

变式