极限思想在高中数学中的应用

郭婵婵

摘要：极限思想是重要的数学思想，高中学习极限思想一方面能锻炼学生的思维能力，提高解题水平，另一方面对高等数学的学习做铺垫.本文介绍了极限思想在高中数学的几个应用.

关键词：极限思想；高中数学；应用

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）35-0103-02

“极限”一词的汉语意思是“最大限度”，在数学中的含义是：如果变量x按照某一规律变化，无限地接近于一个常数c，则称c为x的极限，记作limx=c或x→c.极限思想是微积分学的基本思想，它将有限与无限、常量和变量、近似与精确统一起来.对于高中生来讲，极限的严格定义并不易理解.本文将列举极限思想在高中数学的一些应用.

一、用极限思想解释为什么指数函数的定义域包括无理数

指数函数是高中生必须掌握的基本初等函数之一，其基本形式是y=ax（a>0，a≠1），定义域为R.在学习指数函数前，学生已经掌握了幂运算以及分数指数与根式的互化，因此，学生很容易理解指数函数的定义域从整数扩充到有理数.例如，函数f（x）=2x，当x为任意有理数时，因有理数可化为分数，我们能理解分数指数幂的含义，因而能求出对应的函数值.但是，当x为无理数，比方说x= 时，2 有意义吗？它的值可求吗？事实上，指数函数的定义域也包括无理数，用极限思想来解释就很容易理解了.对于任意有理数x，x的值越大，2x的值也越大，即当x< 时，2 >2x，当x> 时，2 <2x.由此我们可以得出下表.

随着 的不足近似值和过剩近似值分别从两边无限地逼近 ，2 的值也无限地逼近一个确定的实数.用实数理论来解释无理指数幂太过深奥，不利于学生理解，而用极限思想中无限逼近的方法说明无理指数幂存在的合理性，按照高中生的认知水平足以理解.这样就将指数函数的定义域从有理数扩充到实数，进而可以解释用描点法作指数函数图像时要用光滑的曲线连接了.

二、用祖暅原理求球的体积

用“无限分割，近似求和，取极限”的思想方法求球的体积.将球分割为无数个“薄圆片”，表示出任意一个“薄圆片”的体积表达式，然后求代数式的和式，最后取极限.这是定积分的基本思想，也是极限思想的重要运用.求球的体积的另一个方法是运用“祖暅原理”或“卡瓦列里原理”：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.意大利数学家卡瓦列里认为线是由无限多个点组成，面是由无限多平行线组成，立体则是由无限多个平行平面组成.他分别把这些元素叫作线、面和体的“不可分量”（indivisible）.利用祖暅原理和“不可分量”，可以求出球的体积.设曲线DHC是以为O圆心的半圆，ABCD是它的外切矩形，以OH为旋转轴，则正方形OHBC画出圆柱，三角形OHB画出圆锥， 的圆OHKC画出半球.如上图，在与底面平行的任何地方去截这些立体的截面，得到以G为中心，半径分RG，FG，EG的圆，它们分别是圆柱、圆锥和半球的不可分量，这些不可分量存在关系：OE2=GO2+EG2，OE2=RG2=FG2+EG2.所以，πRG2=πFG2+πEG2，由于这个关系对于垂直于轴的任何截面都成立，所以根据卡瓦列里原理，圆柱的体积等于半球与圆锥的体积之和，即πOH3=V半球+ πOH3，所以，V半球= πOH3.因此，球的体积为 πR3（R是球半径）.这里的“不可分量”和定积分应用中的微元法类似，虽然卡瓦列里的不可分量并不严谨，但是将线作为面的微元，将面作为体的微元的思想有利于学生理解定积分的概念.

三、用极限证明双曲线的渐近线

双曲线 - =1有两条渐近线 ± =0，教材中这样描述双曲线的渐近线：双曲线与两条渐近线无限接近，但永不相交.爱思考的学生可能会有疑问，为什么双曲线的渐近线是这两条直线？真的是永不相交吗？用极限思想就能清楚地回答这两个问题.以第一象限为例，无限接近，但永不相交，用数学语言表示为：设点P（x，y）是双曲线上的动点，要证明点P到直线 - =0的距离|PN|随着点P远离原点而越来越小最终趋于0.由下图知，|PN|=|PMcosα|= （x- ）. = （x- ）= · = · ，P点无限地远离原点等价于P点的横坐标x趋于正无穷大，因此 · = =0.当x逐渐增大，x+ 也随着增大，而 越来越小.当x趋向于无穷大， 就趋近于0.点P与直线 - =0的距离也趋近于0，但无论x有多大，这个距离也不可能为0.

极限思想还贯穿了导数和积分的内容，新课程标准删去了极限的概念，但是课本上仍然出现了极限符号和极限的简单运算.因此，在实际教学中，教师应适当地增加极限的教学.在解题教学中，引导学生使用极限思想，开阔解题思路，为学习高等数学打下良好的基础.

参考文献：

[1]袁小明.数学思想史导论[M].广西教育出版社，1991.

[2]普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1（A版）[M].人民教育出版社，2010.endprint

摘要：极限思想是重要的数学思想，高中学习极限思想一方面能锻炼学生的思维能力，提高解题水平，另一方面对高等数学的学习做铺垫.本文介绍了极限思想在高中数学的几个应用.

关键词：极限思想；高中数学；应用

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）35-0103-02

“极限”一词的汉语意思是“最大限度”，在数学中的含义是：如果变量x按照某一规律变化，无限地接近于一个常数c，则称c为x的极限，记作limx=c或x→c.极限思想是微积分学的基本思想，它将有限与无限、常量和变量、近似与精确统一起来.对于高中生来讲，极限的严格定义并不易理解.本文将列举极限思想在高中数学的一些应用.

一、用极限思想解释为什么指数函数的定义域包括无理数

指数函数是高中生必须掌握的基本初等函数之一，其基本形式是y=ax（a>0，a≠1），定义域为R.在学习指数函数前，学生已经掌握了幂运算以及分数指数与根式的互化，因此，学生很容易理解指数函数的定义域从整数扩充到有理数.例如，函数f（x）=2x，当x为任意有理数时，因有理数可化为分数，我们能理解分数指数幂的含义，因而能求出对应的函数值.但是，当x为无理数，比方说x= 时，2 有意义吗？它的值可求吗？事实上，指数函数的定义域也包括无理数，用极限思想来解释就很容易理解了.对于任意有理数x，x的值越大，2x的值也越大，即当x< 时，2 >2x，当x> 时，2 <2x.由此我们可以得出下表.

随着 的不足近似值和过剩近似值分别从两边无限地逼近 ，2 的值也无限地逼近一个确定的实数.用实数理论来解释无理指数幂太过深奥，不利于学生理解，而用极限思想中无限逼近的方法说明无理指数幂存在的合理性，按照高中生的认知水平足以理解.这样就将指数函数的定义域从有理数扩充到实数，进而可以解释用描点法作指数函数图像时要用光滑的曲线连接了.

二、用祖暅原理求球的体积

用“无限分割，近似求和，取极限”的思想方法求球的体积.将球分割为无数个“薄圆片”，表示出任意一个“薄圆片”的体积表达式，然后求代数式的和式，最后取极限.这是定积分的基本思想，也是极限思想的重要运用.求球的体积的另一个方法是运用“祖暅原理”或“卡瓦列里原理”：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.意大利数学家卡瓦列里认为线是由无限多个点组成，面是由无限多平行线组成，立体则是由无限多个平行平面组成.他分别把这些元素叫作线、面和体的“不可分量”（indivisible）.利用祖暅原理和“不可分量”，可以求出球的体积.设曲线DHC是以为O圆心的半圆，ABCD是它的外切矩形，以OH为旋转轴，则正方形OHBC画出圆柱，三角形OHB画出圆锥， 的圆OHKC画出半球.如上图，在与底面平行的任何地方去截这些立体的截面，得到以G为中心，半径分RG，FG，EG的圆，它们分别是圆柱、圆锥和半球的不可分量，这些不可分量存在关系：OE2=GO2+EG2，OE2=RG2=FG2+EG2.所以，πRG2=πFG2+πEG2，由于这个关系对于垂直于轴的任何截面都成立，所以根据卡瓦列里原理，圆柱的体积等于半球与圆锥的体积之和，即πOH3=V半球+ πOH3，所以，V半球= πOH3.因此，球的体积为 πR3（R是球半径）.这里的“不可分量”和定积分应用中的微元法类似，虽然卡瓦列里的不可分量并不严谨，但是将线作为面的微元，将面作为体的微元的思想有利于学生理解定积分的概念.

三、用极限证明双曲线的渐近线

双曲线 - =1有两条渐近线 ± =0，教材中这样描述双曲线的渐近线：双曲线与两条渐近线无限接近，但永不相交.爱思考的学生可能会有疑问，为什么双曲线的渐近线是这两条直线？真的是永不相交吗？用极限思想就能清楚地回答这两个问题.以第一象限为例，无限接近，但永不相交，用数学语言表示为：设点P（x，y）是双曲线上的动点，要证明点P到直线 - =0的距离|PN|随着点P远离原点而越来越小最终趋于0.由下图知，|PN|=|PMcosα|= （x- ）. = （x- ）= · = · ，P点无限地远离原点等价于P点的横坐标x趋于正无穷大，因此 · = =0.当x逐渐增大，x+ 也随着增大，而 越来越小.当x趋向于无穷大， 就趋近于0.点P与直线 - =0的距离也趋近于0，但无论x有多大，这个距离也不可能为0.

极限思想还贯穿了导数和积分的内容，新课程标准删去了极限的概念，但是课本上仍然出现了极限符号和极限的简单运算.因此，在实际教学中，教师应适当地增加极限的教学.在解题教学中，引导学生使用极限思想，开阔解题思路，为学习高等数学打下良好的基础.

参考文献：

[1]袁小明.数学思想史导论[M].广西教育出版社，1991.

[2]普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1（A版）[M].人民教育出版社，2010.endprint

摘要：极限思想是重要的数学思想，高中学习极限思想一方面能锻炼学生的思维能力，提高解题水平，另一方面对高等数学的学习做铺垫.本文介绍了极限思想在高中数学的几个应用.

关键词：极限思想；高中数学；应用

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）35-0103-02

“极限”一词的汉语意思是“最大限度”，在数学中的含义是：如果变量x按照某一规律变化，无限地接近于一个常数c，则称c为x的极限，记作limx=c或x→c.极限思想是微积分学的基本思想，它将有限与无限、常量和变量、近似与精确统一起来.对于高中生来讲，极限的严格定义并不易理解.本文将列举极限思想在高中数学的一些应用.

一、用极限思想解释为什么指数函数的定义域包括无理数

指数函数是高中生必须掌握的基本初等函数之一，其基本形式是y=ax（a>0，a≠1），定义域为R.在学习指数函数前，学生已经掌握了幂运算以及分数指数与根式的互化，因此，学生很容易理解指数函数的定义域从整数扩充到有理数.例如，函数f（x）=2x，当x为任意有理数时，因有理数可化为分数，我们能理解分数指数幂的含义，因而能求出对应的函数值.但是，当x为无理数，比方说x= 时，2 有意义吗？它的值可求吗？事实上，指数函数的定义域也包括无理数，用极限思想来解释就很容易理解了.对于任意有理数x，x的值越大，2x的值也越大，即当x< 时，2 >2x，当x> 时，2 <2x.由此我们可以得出下表.

随着 的不足近似值和过剩近似值分别从两边无限地逼近 ，2 的值也无限地逼近一个确定的实数.用实数理论来解释无理指数幂太过深奥，不利于学生理解，而用极限思想中无限逼近的方法说明无理指数幂存在的合理性，按照高中生的认知水平足以理解.这样就将指数函数的定义域从有理数扩充到实数，进而可以解释用描点法作指数函数图像时要用光滑的曲线连接了.

二、用祖暅原理求球的体积

用“无限分割，近似求和，取极限”的思想方法求球的体积.将球分割为无数个“薄圆片”，表示出任意一个“薄圆片”的体积表达式，然后求代数式的和式，最后取极限.这是定积分的基本思想，也是极限思想的重要运用.求球的体积的另一个方法是运用“祖暅原理”或“卡瓦列里原理”：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.意大利数学家卡瓦列里认为线是由无限多个点组成，面是由无限多平行线组成，立体则是由无限多个平行平面组成.他分别把这些元素叫作线、面和体的“不可分量”（indivisible）.利用祖暅原理和“不可分量”，可以求出球的体积.设曲线DHC是以为O圆心的半圆，ABCD是它的外切矩形，以OH为旋转轴，则正方形OHBC画出圆柱，三角形OHB画出圆锥， 的圆OHKC画出半球.如上图，在与底面平行的任何地方去截这些立体的截面，得到以G为中心，半径分RG，FG，EG的圆，它们分别是圆柱、圆锥和半球的不可分量，这些不可分量存在关系：OE2=GO2+EG2，OE2=RG2=FG2+EG2.所以，πRG2=πFG2+πEG2，由于这个关系对于垂直于轴的任何截面都成立，所以根据卡瓦列里原理，圆柱的体积等于半球与圆锥的体积之和，即πOH3=V半球+ πOH3，所以，V半球= πOH3.因此，球的体积为 πR3（R是球半径）.这里的“不可分量”和定积分应用中的微元法类似，虽然卡瓦列里的不可分量并不严谨，但是将线作为面的微元，将面作为体的微元的思想有利于学生理解定积分的概念.

三、用极限证明双曲线的渐近线

双曲线 - =1有两条渐近线 ± =0，教材中这样描述双曲线的渐近线：双曲线与两条渐近线无限接近，但永不相交.爱思考的学生可能会有疑问，为什么双曲线的渐近线是这两条直线？真的是永不相交吗？用极限思想就能清楚地回答这两个问题.以第一象限为例，无限接近，但永不相交，用数学语言表示为：设点P（x，y）是双曲线上的动点，要证明点P到直线 - =0的距离|PN|随着点P远离原点而越来越小最终趋于0.由下图知，|PN|=|PMcosα|= （x- ）. = （x- ）= · = · ，P点无限地远离原点等价于P点的横坐标x趋于正无穷大，因此 · = =0.当x逐渐增大，x+ 也随着增大，而 越来越小.当x趋向于无穷大， 就趋近于0.点P与直线 - =0的距离也趋近于0，但无论x有多大，这个距离也不可能为0.

极限思想还贯穿了导数和积分的内容，新课程标准删去了极限的概念，但是课本上仍然出现了极限符号和极限的简单运算.因此，在实际教学中，教师应适当地增加极限的教学.在解题教学中，引导学生使用极限思想，开阔解题思路，为学习高等数学打下良好的基础.

参考文献：

[1]袁小明.数学思想史导论[M].广西教育出版社，1991.

[2]普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1（A版）[M].人民教育出版社，2010.endprint