学习函数奇偶性应注意的几个问题

李海燕

摘 要：函数奇偶性是函数的重要性质之一。主要以技工院校的数学教学大纲为依据，分别对函数奇偶性的定义、性质、函数奇偶性的判别方法及函数奇偶性的应用四方面进行探讨。

关键词：奇函数；偶函数；函数的奇偶性

函数是技工院校公共基础课《数学》的核心内容之一，而函数的奇偶性则是函数的一大特性。学好函数的奇偶性，可用它简化作图，而且在后续学习的《高等数学》中也有广泛应用。因此，笔者认为有必要对此性质进行探讨。

二、关于函数奇偶性的性质问题

根据函数奇偶性定义，可总结函数奇偶性几个重要性质。①对称性。奇（偶）函数的定义域关于原点对称。定义域没有限定是什么，它可以是关于原点对称的区间，也可以是关于原点对称的离散的点集。②整体性：函数的奇偶性是整体性质，对定义域内任一个x都必须成立。仅在定义域内的一个真子集中讨论函数的奇偶性是没有意义的。③可逆性：f（-x）=-f（x）?f（x）是奇函数，f（-x）= f（x）?f（x）是偶函数 函数是技工院校公共基础课《数学》的核心内容之一，而函数的奇偶性则是函数的一大特性。学好函数的奇偶性，可用它简化作图，而且在后续学习的《高等数学》中也有广泛应用。因此，笔者认为有必要对此性质进行探讨。

一、关于函数奇偶性的定义问题

（1）如何定义函数奇偶性。①一般地，如果对于函数f（x）在定义域M内的任一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）叫偶函数。②一般地，如果对于函数f（x）在定义域M内的任一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）叫奇函数。

（2）学习函数奇偶性的定义应注意如下几点。①x∈M，且为任意实数，而不是某一个。不少同学常用具体某一个数代入计算来判断函数奇偶性，这是对函数奇偶性定义的片面理解造成的。②-x必须在定义域M内。③f（-x）与f（x）有且只有两种情况：相反或相等。

二、关于函数奇偶性的性质问题

根据函数奇偶性定义，可总结函数奇偶性几个重要性质。①对称性。奇（偶）函数的定义域关于原点对称。定义域没有限定是什么，它可以是关于原点对称的区间，也可以是关于原点对称的离散的点集。②整体性：函数的奇偶性是整体性质，对定义域内任一个x都必须成立。仅在定义域内的一个真子集中讨论函数的奇偶性是没有意义的。③可逆性：f（-x）=-f（x）?f（x）是奇函数，f（-x）= f（x）?f（x）是偶函数。④等价性：f（-x）=-f（x）?f（-x）+ f（x）=0， f（-x）=f（x）?f（-x）- f（x）=0. ⑤图像的对称性：1）奇函数的图像关于原点对称。2）偶函数的图像关于y轴对称。但如果反过来说还成立吗？3）关于原点对称的图像是奇函数。4）关于y轴对称的图像是偶函数。显然，这样的说法是错误的，例如以原点为圆心的单位圆x2+y2=1，它的图像关于原点对称也关于y轴对称，而它的图像却是由两个偶函数的图像拼接而成，可见x2+y2=1并不具有奇偶性。然而，这样的两个结论也是正确的：5）如果一个函数的图像关于原点对称，则这个函数是奇函数。6）如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数。因为这两点说明了所论的曲线为某函数的图像，由函数定义知道，它与平行y轴的直线只有一个公共点，即有唯一的值。

三、关于函数奇偶性的判别方法问题

如何判断一个函数的奇偶性？其实，函数奇偶性的判别方法有很多种，下面笔者将以定义判定法为例进行分析。判断函数的奇偶性有两个重要的步骤：①先看定义域是否关于原点对称；②当定义域关于原点对称时，再验证f（-x）=-f（x）或f（-x）= f（x）对于定义域中的任意x是否成立。两个步骤中，第一步最重要，如果不能满足第一条件，即使第二条件成立也不能判断函数的奇偶性。在平时的学习中，很多学生只利用第二步来判断函数的奇偶性，这是错误的做法。根据上述步骤，我们可以把函数按奇偶性分为：奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数四种类型。

总之，函数奇偶性是函数的重要性质之一，学生在学习函数奇偶性的过程中，应深刻理解函数奇偶性的概念，灵活运用函数奇偶性的判断方法，在应用上才能得心应手，运用自如。

参考文献：

[1]张淼.函数奇偶性的判定方法[J].数理化学习，2012（9）.

[2]王赛.函数奇偶性的判定及其应用[J].教育界，2013（27）.

（广东湛江市技师学院）

总之，函数奇偶性是函数的重要性质之一，学生在学习函数奇偶性的过程中，应深刻理解函数奇偶性的概念，灵活运用函数奇偶性的判断方法，在应用上才能得心应手，运用自如。

参考文献：

[1]张淼.函数奇偶性的判定方法[J].数理化学习，2012（9）.

[2]王赛.函数奇偶性的判定及其应用[J].教育界，2013（27）.

（广东湛江市技师学院）