教给学习方法 学会数学学习

邱廷建 福建省上杭县教师进修学校小学教研室副主任，中学高级教师，福建省特级教师，福建省优秀教研员，福建省中小学百名名师培养对象，龙岩市小学数学名师工作室领衔人，龙岩市小学数学名师。

潜心教研，善于思考，勤于笔耕。在30多种教育教学类刊物上发表教学文章340多篇。主编或参与编写了《新课程小学数学名师同步教学设计丛书》《名师名课》《小学数学课课通》等师生用书29部，曾应邀到福州、厦门、龙岩、杭州等地作专题讲座或评课20多场次，主持或参与指导国家、省、市级课题研究20多个，指导50多位教师参加市、省、全国教学比赛获奖。

《数学课程标准》（2011年版）提出：“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。”古人云：“授人以鱼，只供一餐之需；授人以渔，则终身受用无穷。”教给学生学习方法犹如交给学生打开知识大门的钥匙，让学生真正掌握学习的主动权，灵活地、智慧地学习数学，不断增长聪明才智、提高学习能力。因此，教给学生学习方法、让学生学会数学学习是数学教学的重要任务。

一、引导类比推理，学会迁移知识和方法

《数学课程标准》（2011年版）提出：“合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果。”类比推理是从特殊到特殊的推理，是根据两个对象有一部分属性相类似，推出这两个对象的其他属性也相类似的一种推理。数学知识的系统性较强，后继学习的知识有不少是先前学习知识的变形、概括、发展和加深。因此，类比推理在数学教学中有着广泛的应用，教师要重视教给学生类比推理的方法，引导学生从已有的知识和经验出发，运用知识的迁移规律，由旧知到新知，促进知识、技能和方法的迁移，让学生学会数学学习。

例如，教学“推导三角形的面积计算公式”时，由于学生有了“推导平行四边形的面积计算公式”的知识和经验，推导过程具有相似性，因此可以利用类比推理的方法引导学生推导三角形的面积计算公式。先启发学生想一想：怎样把三角形转化成学过的图形来计算它的面积？思考转化过程要注意的问题，如：怎样剪？怎样通过平移和旋转得到？然后放手让学生用“割补法”把三角形转化成学过的长方形或平行四边形，并想一想：什么变了？什么没有变？最后引导学生归纳、推导出三角形的面积计算公式。同样，在教学“推导梯形的面积计算公式”时，也可以利用类比推理的方法，先启发学生想一想：怎样用“割补法”把梯形转化成学过的图形？然后放手让学生动手操作和自主探索，归纳、推导出梯形的面积计算公式。再如，“除法、分数和比”都具有相除的意思，根据这种相似性，教师在教学“分数的基本性质”时，可以根据商不变性质：“在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。”放手让学生自主探索，利用类比推理得出：“分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，叫作分数的基本性质。”同样，在教学“比的基本性质”时，也可以让学生利用类比推理得出：“比的前项和后项同时乘和除以相同的数（0除外），比值不变。”这样的教学过程，运用迁移规律，将新知纳入学生原有的认知结构中，引导学生迁移、类推，实现新知同化，是一种高效的数学学习方式。

需要注意的是，类比推理不是论证，用类比推理得出的结论不一定正确，但它在科学假设、猜想中有着重要的作用。

二、引导求异创新，学会转换角度思考

《数学课程标准》（2011年版）提出：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面不可替代的作用。”创新离不开思维，没有思维就不可能有创新。创新思维具有的发散性、广阔性、灵活性和敏捷性等特点，是提高创新能力的核心能量。求异不应满足于已有的思维成果，而应向新的角度思考和探索。求异创新就是要沿着不同的方向、不同的途径，去探索、思考和分析，创造性地解决问题。因此在教学中，教师要引导学生不拘泥于狭隘的解题思路，突破单一的思维模式，鼓励学生敢于打破常规，不断地调整思维方式，转换角度思考，沿着不同方向，选择不同方法，对同一问题从多方位、多层次、多侧面加以解决。

例如，教学“一个圆和一个长方形，它们的面积相等，圆的半径等于长方形的宽。已知圆的周长是31.4厘米，求长方形的长”这道题时，学生一般会按常规思路解答，先求出圆的半径（即长方形的宽），然后求出圆的面积（即长方形的面积），最后求出长方形的长。即：①31.4÷3.14÷2=5（厘米）；②3.14×5×5=78.5（平方厘米），78.5÷5=15.7（厘米）。为了让学生跳出常规思维，教师还可以呈现直观图形，给学生提供台阶，引导学生借助直观图形联想圆面积计算公式的推导过程。由于学生会再现先前学习圆面积计算公式推导过程时的表象，脑中闪现出把圆剪拼成长方形的图像，明白圆周长的一半就是长方形的长，于是便能巧妙地一步解答出来：31.4÷2=15.7（厘米）。这种解答方法太简捷了，促使学生改变已经习惯了的思维定势，打破常规思维，充分发挥想象力，最终使学生的创新思维火花得到迸发。

学会转换角度思考，是培养学生求异创新思维的重要途径。由于人的思维过程不是直线上升，而是螺旋式上升，犹如爬楼梯的台阶一样，所以学生在某一点上可能会遇到一些困难，仅靠他们自身的力量和现有的水平，往往是无法跨越或上升的。此时，教师就要充分发挥引领作用，进行启发和点拨，为学生提供进一步上升的台阶，或者说脚手架，让学生继续攀登。只有这样，才能有效促进学生创新思维的发展。

三、引导质疑问难，学会提出和解决问题

《数学课程标准》（2011年版）提出：“养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯。”古人云：“学起于思，思源于疑。”疑是思之始，学之端。问题的发现是引起思维的第一步，思维是从问题开始的，有问题才有思考，有思考才有发展。质疑是思维的导火线，是学习的内驱力。在教学中，教师要给学生提供质疑的时间和机会，新授后一般应安排学生质疑问题。教师应抓住质疑这个环节，倡导教学民主，鼓励学生大胆质疑，敢于发问，提出富有思考性和挑战性的问难。同时，教师要对学生提出的问题加以整理、概括和选择，并把必须在课堂上解决的问题交给学生思考、讨论，引导学生进行析疑、解疑，使问题得到解决。

例如，在教学完《3的倍数的特征》后，可设计下面的判断题：13、19、26、45、87、89、97、323、867、6825934674，这些数是不是3的倍数？对于前面9个较小的数，学生一般都能根据“一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”这个特征进行快速口算并作出判断，但对于6825934674这个大数，学生就可能需要先动笔计算然后进行判断了，这样判断速度也就慢多了。此时教师可引导学生质疑问难，鼓励学生提出问题。学生可能提出：“用一般的方法判断这个大数是不是3的倍数比较麻烦，有没有比较简捷的方法呢？”要解决学生提出的这个问题有一定的难度，教师应先引导学生讨论交流，充分发挥小组合作学习的作用，尽量让学生自己找到比较简捷的判断方法。如果学生无法找到解决这个问题的策略，教师再给予启发和点拨，帮助学生释疑和解疑。如教师启发、指导：先把这个大数分成几个“小节”，把各“小节”各数位上的数字加起来并组成一个新的数；又把新的数分成几个“小节”， 把各“小节”各数位上的数字加起来并组成一个新的数，直到能直接判断为止。教师还可以进一步引导：按从左到右的顺序，各个数位上的数只要碰到是3的倍数的就不用加，不是3的倍数的几个数字相加得到3的倍数后又可以不加，再重新加别的数字，最后加出来的数是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。如6825934674这个数：从高位到低位的顺序，6是3的倍数不用加，8+2+5=15，15是3的倍数，又可以不用再加了，9、3都是3的倍数不用加，4（后面的6不用加）+7+4=15，最后结果是15，而15是3的倍数，所以6825934674是3的倍数。这个过程不仅是质疑问难的过程，更是解决问题的过程。问题是数学的心脏，没有问题就不会有解决问题的数学思想、方法和知识。因此在数学教学中，一方面，要把数学问题看作学习的动力、起点和贯穿数学学习的主线；另一方面，要通过学习来生成问题，把数学学习过程看成发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程。

四、引导比较辨析，学会沟通联系和区别

《数学课程标准》（2011年版）提出：“教师还应揭示知识的数学实质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系等。”教育家乌申斯基说过：“比较方法乃是各种认识和各种思维的基础。”“没有比较就没有鉴别。”帮助学生掌握比较辨析的思维方法，沟通知识之间的联系和区别，是数学教学的重要任务。学生学习数学要经历一系列的条件反射过程，在这个条件反射形成的过程中，由于神经兴奋过程的扩散，学生对一些数学概念、解题方法的掌握往往容易引起“泛化”现象。这种“泛化”现象，主要表现在学生或者只注意与自己生活比较密切的属性而忽略其他本质属性，或者误把非本质属性当作本质属性，或者把表面相似而本质不同的数学问题混为一谈。为了使“泛化”变为“分化”，这就需要教师教给学生比较辨析的方法，学会沟通联系和区别。

例如，教学完“工程问题”后，教师可出示“东西两地相距400千米，甲车自东向西行驶要4小时，乙车自西向东行驶要5小时。甲、乙两车同时从两地相向而行，多少小时后相遇？”“一批零件200个，甲单独做4小时完成，乙单独做5小时完成。甲、乙合做，几小时可以完成任务？”这两道题，组织学生比较辨析，让学生进行联系和区别。首先，引导学生比较题目的特征。让学生理清一道题是相遇问题，另一道题是生产问题，它们的情境不同，问题不同，而数量既有相同又有不同。其次，引导学生比较解题思路，让学生说一说这两道题的解题思路，先算什么，再算什么，最后算什么，掌握一般应用问题的解答思路，感悟这两道题的条件和解题思路是相同的。最后，引导学生将这两道题与“工程问题”进行比较。把两道题中“全程400千米”和“一批零件200个”的条件去掉，就变成了另外两道工程问题的题目。这两道工程问题与前面两道题相比较，解法迥然不同。这样，相遇问题、生产问题与工程问题的区别，就会给学生留下深刻印象。如果一段路程的全长或一批零件的总数量不知道，我们可以把它看作单位“1”，进而转化为分数来解答。如把“全程400千米” 或“一批零件200个”看作单位“1”，这两道“工程问题”的解答算式相同：1÷（+）=（小时）。这样通过比较，不仅沟通了“工程问题”的解题思路与学过的整数应用问题的解题思路的联系与区别，而且使学生掌握了“工程问题”的结构特征和解题规律，提高了学生灵活解决问题的能力。

总之，学生学习数学的方法很多，除了上面类比推理、求异创新、质疑问难、比较辨析这些方法应让学生掌握外，也要注意教给学生其他的数学学习方法，让学生在获取数学知识的同时，掌握多样化的数学学习方法，逐步形成会学的技能，达到“教是为了不教”的效果。?