让数学概念教学更精彩

谢志华

数学概念是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学研究对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而形成的。它是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。人教版《数学》八年级上册《一次函数》第一节 “变量与函数”就是一节概念课课型。函数是数学中最重要的基本概念之一，它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，是初中数学函数入门。如何让枯燥的概念课生动有趣呢？我们一起来欣赏课堂的几个优秀片段：

概念的引入——借助具体事例

师：同学们，很高兴今天跟同学们一起探讨数学问题，一起攀登数学的高峰，说起高峰，世界上最高的山峰是哪一座？

生：珠穆朗玛峰。

师：我国是第一个让奥运圣火照亮世界之巅的国家，请看这历史性的一刻（出示视频）。

师：老师截取了其中两张图片，请看一看运动员衣着有什么不同？

生：山顶上的运动员穿的是厚厚地棉袄，山脚下的运动员穿的是薄薄的运动服。

师：为什么会有衣着差异？

生：气温不同，山顶的气温低，山脚下气温更高一些。

师：海拔高度变化了，气温也随着改变。我们就说气温随海拔高度的变化而变化。

师：看一个视频——加油机给汽车加油（课件出示视频）。

师：这是什么？

生：加油机显示屏。

师：加油机在加油过程中，总金额随什么的变化而变化。

生：加油量的变化而变化。

师：单价一定时，总金额随加油量的变化而变化。

师：上述两个问题有什么共同特点？

生：第一个情境中有两个量，第二个情境中有3个量。

师：我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。

师：第一个情境中的两个量是变量还是常量？（两个变量），第二个情境中3个量呢？（两个变量与一个常量）。

师：两个情境中的变量有什么共同特点？

生：一个量随另一个量的变化而变化。

师：两个变量之间存在怎样的联系呢？那么这节课我们就一起来研究两个变量之间的关系。（板书课题：变量与函数）

教师从学生熟悉的、具有生活意义的情境入手， 体会数学与生活的密切联系；让学生发现两个变量之间存在着相互依存关系，直观感知上述每一问题中都存在两个变量，并且一个量会随另一个量的变化而变化，从而引出本节课课题——变量与函数。

概念的明确——下定义

师：同学们，下面我们一起来尝试一个活动，我这里有两个显示屏，左边的为输入屏，右边为显示屏，老师随意地在左屏幕中输入一个数，请看右边屏幕输出一个什么数？假如设左边输入数为x，右边输出数为y。（请同学进行现场电脑操作）

师：在这个变化过程中，有几个变量？分别是x与y，哪个量会随哪个量的变化而变化？

生1：y随x的变化而变化

生2：每输入一个值，右边就会显示一个值。

生3：也就是说x每取定一个值，y都有唯一的确定值与其对应。

师：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x叫做自变量，y是x的函数。

利用课件让学生在输入屏中任意输入数字，观察显示屏中的数据并用表格记录数据，直观体会到两个变量之间的“单值对应”关系。学生合作交流探究，师生共同归纳出函数的概念。通过让学生动手操作，感知函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和规律，领会和理解函数基本概念中所包含的三个要素：（1）一个变化过程；（2）两个变量；（3）一种单值对应关系。在教学过程中，教师引导学生认真思考，“思”有所“得”，“思”有所“悟”，不仅使学生认识到引进常量、变量、函数概念的必要性，而且感悟并逐步学会如何给数学概念下定义的方法。

概念的辨析——恰当使用反例

师：生活中大量存在函数的例子，你能不能举出生活中一些有关函数的例子吗？

生：当单价一定时，总价与数量有函数关系。

数学活动：（1）学生动手操作并观察：弹簧测力计的弹簧伸长长度与所挂钩码质量的变化过程。（2）教师再演示一个实验——往量筒加水的变化过程，请观察并说出存在的函数。（学生回答，师生共同判断）

师：同学们多观察生活中的数学问题，你会发现函数关系无处不在。

师：老师再举一个例子，你们看看是不是函数关系？

生1：从1984年～2010年，人口数变化虽然是逐年增加，但是增加的数量不一样，所以y不是x的函数。

生2：我也赞同y不是x函数关系，有两个变量，但它们之间不能用关系式来表示。

生3：我认为是，因为每年都对应着一个确定的人口数，应该是吧。

师：y到底是不是x的函数呢？我们回到函数中定义中，看一看这个问题是否符合函数定义。

在这个变化过程中，有几个变量？（两个），这两个变量是否相关联？（是），当对于每一个年份x确定一个值时，人口数y都有唯一个确定的值与其对应，对吧？你们说说y是不是x的函数。

生：是（齐声）。

学生试着列举出生活中一些有关函数的例子，师生共同分析、判断，再通过实验来加深认识，让学生动手操作并观察弹簧测力计的弹簧伸长长度与所挂钩码质量的变化过程。师生共同体验函数的存在， 培养学生的发散思维，加强学科间的渗透与知识间的联系，同时增强学生学数学、用数学的意识。让学生进一步认识函数的概念，体会变量间“单值对应”的不同形式，即函数的表示方法通常有三种形式：图像法、列表法、解析式法，从而反复加深对函数概念的理解。endprint

概念的应用——纳入概念系统

函数在生活中也有广泛的应用。请看课本P74练习，哪个是自变量，哪个是自变量的函数？（请同学们上黑板前板演）

再看一个例题：一辆汽车的油箱中现有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km。

（1）写出表示y与x的函数关系的式子；

（2）指出自变量x的取值范围；

（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？

……

练习：情境1中，珠穆朗玛峰的气温T（℃）与高度d（m）的关系可以近似的用T=来表示。请你根据这个关系式回答下列问题：

（1）填写下表：

（2）由上你能算出奥运火炬手登珠峰至8 000 m处气温是多少？

问：当登山队员登珠峰至8 000 m时，气温是多少摄氏度？-18摄氏度的含义是零下18摄氏度，那同学们说说登山要不要穿棉袄？

……

讲解例题时教师采用了启发诱导、合作探究、反思小结的方式进行教学，同时从问题（1）中牵引出新知识点：函数关系式也可以叫做函数解析式，进一步巩固所学函数的概念，体会数学的应用价值。从问题（2）引出确定自变量的取值范围还要注意问题的实际意义，问题（3）强化函数关系式的运用，即自变量在取值范围内取值时，可根据函数解析式求出对应的函数值，练习一方面是呼应视频情境中的问题，使整堂课成为一个有机整体，另一方面是为了让学生通过经历运算、观察、猜想、验证这一过程，体验数学充满着探索与创造，感受数学的严谨性及数学结论的确定性，此环节精心设计，独具匠心。

综观本节课，教师灵活地整合教材资源，各教学片段都力求通过实践与探索，让学生参与函数概念的形成过程。基本环节“概念的引入—概念的明确—概念的辨析—概念的应用”，遵循从特殊到一般，具体到抽象，由浅入深，由易到难的认识规律，强化数学的应用与建模意识，提高学生分析问题和解决问题的能力。问题设置巧妙，层层递进，情境选择恰当，充分发挥多媒体的声、像、动画特征，使抽象问题形象化，静态问题动态化，直观、深刻地揭示函数概念的本质。整个教学过程特点突出：创设情境，引人入胜，过程凸现，紧扣重点，动态显现，化难为易，例子展现，多方渗透。整个概念课堂因片段而丰富，因主线而美丽，因生动而精彩。（作者单位： 江西省赣州市文清实验学校）

□责任编辑 周瑜芽

E-mail：jxjyjxsxl@126.comendprint