Hilbert空间上两个幂等算子组合的Drazin逆

周建新， 汪金汉，陈敬华

(湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 435002)

Hilbert空间上两个幂等算子组合的Drazin逆

周建新， 汪金汉，陈敬华

(湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 435002)

讨论了Hilbert空间上的两个不同的幂等算子P、Q的组合aP+bQ-cPQ的Drazin可逆性问题，利用幂等算子的性质和空间分解的技巧证明了aP+bQ-cPQ的Drazin逆在条件PQP=0 下是存在的，并且给出了其逆的计算公式，其中a,b,c∈,ab≠0 .

幂等算子；Drazin逆；幂等算子的组合

0 引言

设H是一个复数域上的Hilbert空间，Γ(H)表示H上的所有有界线性算子构成的集合. 若P∈Γ(H)且满足P2=P，则称P是一个幂等算子. 若P∈Γ(H) 且满足P2=P=P*，则称P是一个正交幂等算子，其中P*是P的共轭元. 用P(H)表示Γ(H)中所有幂等算子构成的集合，则P(H)在相似变换下保持不变，即若P∈P(H)，则对任意的可逆算子S∈Γ(H)，都有S-1PS∈P(H) .

若对于A∈Γ(H) ，存在B∈Γ(H) 使得

BAB=B,AB=BA,Ak+1B=Ak

(1)

都成立，其中k是非负整数，则称B是A的一个Drazin逆. 若A∈Γ(H) 存在Drazin逆，则其Drazin逆一定是唯一的，记为AD，并且称使得(1)成立的最小的非负整数k为A的指数，记为 ind(A). 容易证明：当 ind(A)=0时，A为通常的可逆算子，此时AD=A-1；当 ind(A)≤1，A是群逆存在的[1]. 关于算子广义逆的基础知识可参考文献[1～2]. 文献[2]证明了A的Drazin逆存在的充要条件是ind(A)<∞，此时0是预解算子Rλ=(λI-I)-1的有限阶极点. 另外，Γ(H)中算子的Drazin逆也具有相似不变性，即如果A是Drazin可逆，S∈Γ(H) 是任意的可逆算子，则S-1AS仍Drazin可逆，并且(S-1AS)D=S-1ADS.

Drazin逆的概念最早由Drazin于1958年在他的一篇论文中提出[3]，随后发现在许多其它的应用数学分支中有重要的应用，可见文献[1，2，4～8] 在文献[3]中，Drazin首先考虑了当P和Q是两个幂等算子时，(P+Q)D的存在性问题，他证明了：若PQ=QP=0，则(P+Q)D存在，且(P+Q)D=PD+QD. 在不添加其它的条件下探讨(P+Q)D的存在性并且将其表示成P，Q，PD，QD的函数是一个非常困难的问题，而且至今仍是一个公开问题[9].

文献[4]分别在三个条件：(i)PQP=0；(ii)PQP=P；(iii)PQP=PQ下探讨了P+Q的Drazin逆的存在性及其计算公式.

文献[10]考虑了复数域上一个特殊的组合aP+bQ-cPQ，其中P,Q是复数域上的非零幂等矩阵，a,b,c是复数且a,b≠0，则

其中r(A) 表示矩阵A的秩.随后，文献[11]发现：只要ab≠0 且a+b+c≠0，aP+bQ+cPQ的Fredholm性、零度、指数与系数a,b,c的选取无关.

文献[13]在上述的三个条件下讨论了Banach空间上两个幂等元的线性组合的Drazin逆的存在性、Drazin逆的表达式及指数.

设P，Q是Hilbert空间上两个不同的幂等算子，受到上述工作的启发，我们利用幂等算子的性质和空间分解的技巧证明了aP+bQ-cPQ的Drazin逆在条件PQP=0 下是存在的，并且给出了其逆的计算公式，其中a,b,c∈,ab≠0 .

1 预备引理

为了证明本文的主要结果，我们需要以下引理：

引理1[8]设A，B,C∈Γ(H),若A,B是Drazin可逆的， 则

也是Drazin可逆的并且

当引理1中的A是可逆的且B是幂零的，则M的Drazin逆有如下结论：

引理2[8]设A,B,C∈Γ(H)，若A,B是Drazin可逆的， 若A是可逆的且存在正整数k使得Bk=0，则

是Drazin可逆的并且

对于算子A∈Γ(H) ，用R(A) 表示A的值域，N(A) 表示A的核空间，则Γ(H) 上的任意两个算子值域的包含关系与它们的运算之间有如下结果：

引理 3[11]设A,B∈Γ(H)，则以下两条等价

(i)R(B)⊆R(A)；

(ii)存在D∈Γ(H)，使得B=AD.

2 主要结果及证明

设P，Q是Hilbert空间上两个不同的幂等算子，本节将利用幂等算子的性质和空间分解的技巧证明aP+bQ-cPQ的Drazin逆在条件PQP=0 下是存在的，并且给出了其逆的计算公式，其中a,b,c∈,ab≠0.

定理1 设P，Q∈P(H)，a,b,c∈且ab≠0. 若PQP=0，则aP+bQ-cPQ的Drazin逆是存在的，且

证 设P,Q∈P(H)，则组合aP+bQ-cPQ是Drazin可逆的当且仅当

aS-1PS+bS-1QS-c(S-1PS)(S-1QS)

是Drazin可逆的，其中S∈Γ(H) 是任意的可逆算子. 因此不失一般性，可以设P是正交幂等算子.

由引理 3 及条件PQP=0 可知R(QP)⊆N(P) 和R(QP)⊆R(Q) 成立. 注意到

则有如下的空间分解

另外，因为Q是幂等算子，所以由Q2=Q可得

则，H可进一步分解为

在上述空间分解下，算子P,Q的矩阵形式进一步可以表成

由Q2=Q可知

对于a,b,c∈，且ab≠0，算子P,Q的组合aP+bQ+cPQ有如下的矩阵形式

注意到ab≠0 意味着上述矩阵的子矩阵

另外，

由引理2中令B=0，则

这样就证明了aP+bQ+cPQ在条件PQP=0下的Drazin逆是存在的. 下面将其表成P，Q，PQ，QP，QPQ的组合(由于PQP=0，aP+bQ+cPQ只能由这些算子线性表出).

经过计算可得

从而通过求解方程组，可求出表出系数，得到aP+bQ+cPQ的Drazin逆为

由定理1， 令a=1,b=1,c=0 与a=1,b=-1,c=0 则可以得到两个幂等算子P，Q和与差的Drazin逆在条件PQP=0下是存在的，且其表达式也可以给出.

推论1[13]设P,Q∈P(H)，则以下两条成立：

1)(P+Q)D=P+Q-2(PQ+QP)+3QPQ.

2)(P-Q)D=P-Q-QPQ.

由于条件PQ=0 或者QP=0 能够推出PQP=0，于是可得如下结论：

推论2 设P,Q∈P(H) ，则以下两条成立：

1)若QP=0，则对于任意的a,b∈，a,b≠0有 (aP+bQ)D=P+Q-(+)PQ.

2)若PQ=0，则对于任意的a,b∈，a,b≠0有 (aP+bQ)D=P+Q-(+)QP.

[1]Wang Guorong, Wei Yiming, QIAO S. Generalized inverse: theory and computations[M]. Graduates Series in Mathematics, Beijing: Science Press, 2004.

[2]Campbell S L, Meyer C D. Generalized inverse of linear transformations[M]. London: Pitman Press, 1979.

[3]Drazin M P. Pseudo inverse in associative rings and semigroups[J]. American Mathematical Monthly, 1958,65:506～514.

[4]Djordjrvic D S, Stanimirovic P S. On the generalized Drazin inverse and generalized resolvent[J]. Czechoslovak Mathematical Journal, 2001, 126:617～634.

[5]Douglas R G. On majorization factorization and range inclusion of operators in Hilbert space[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 1966, 17: 413～416.

[6]Hartwig R E, Levine J. Applications of the Drazin inverse to the Hill cryptographic system[J]. Crytologia, 1981, 5:67～77.

[7]Meyer C D. The condition number of a finite Markov chains and perturbation bounds for the limiting probabilities[J]. SIMA Journal on Algebraic Discrete Methods, 1980, 1:273～283.

[8]Simeon B, Fuhrer C, Rentrop P. The Drazin inverse in multibody system dynamics[J]. Numerische Mathematik, 1993, 64:521～536.

[9]Hartwig R E, Wang Guorong, Wei Yiming. Some additive results on the Drazin inverse[J]. Linear Algebra and its Applications, 2001, 322:207～217.

[10]Zuo Kezheng. Nonsingularity of the difference and the sum of two idempotent matrices[J]. Linear Algebra and its Applications, 2010, 433:476～482.

[11]Xie Tao, Zuo Kezheng. Fredholmness of combinations of two idempotents[J]. European Journal of Pure and Applied Mathematics, 2010, 3(4):678～685.

[12]Liu Xiaoji, Wu Lingling, Yu Yaoming.The group inverse of the combinations of two idempotent matrices[J], Linear and Multilinear Algebra, 2011:59:101～115.

[13]Deng Chunyuan. The Drazin inverses of sum and difference of idempotents[J]. Linear Algebra and its Applications, 2009, 430:1282～1291.

TheDrazininvertibilityofcombinationsoftwoidempotentoperatorsoveraHilbertspace

ZHOU Jian-xin, WANG Jin-han, CHEN Jing-hua

(College of Mathematical and Stastical, Hubei Normal University, Huangshi 435002, China)

Discussed the problem of Drazin invertibility of combinations of two idempotent operatorsP、Qon a Hilbert space. By using the properties of idempotent operators and the techniques of space decomposition, prove the existance of Drazin invertibility of the combinationsaP+bQ-cPQand its expression is also obtained, wherea,b,c∈,ab≠0.

Idempotent operator; Drazin invertibility; combinations of idempotent operators

2014-02-22；

湖北省教育厅重点项目(D20122202)，湖北省教育厅青年项目(B20122203)

周建新(1955— )，男，湖北黄石人，研究方向为数学教育.

O177.2

A

1009-2714(2014)02- 0023- 05

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.02.006