基于Matlab的数字图像直方图均衡教学实验

许 可，罗鹏飞，万建伟

(国防科技大学电子科学与工程学院，湖南长沙 410073)

随机过程的基本概念作为“随机信号分析与处理”课程最基本的内容，是后续各章节学习的基础。为让学生更加深入地理解随机过程的定义和性质，我们把“数字图像的直方图均衡”实验引入教学［1］。

我们通过这个信号处理实例可以合理地讲授两个知识点:①通过该实验加强学生对随机过程性质的理解，让学生认识到随机过程不仅可以随时间变化，也可随空间位置变化;②启发学生运用随机过程的理论来解决实际问题，认识到反函数法定理的逆过程从理论上支持直方图均衡实验，正过程则给出了产生任意分布随机数的方法。

对图像的灰度直方图进行均衡处理，能够在整个灰度范围内对数字图像进行自动调整，改善视觉效果。尤其是当图像有用数据的对比度相当接近的时候，这个方法可有效增强图像局部的对比度而不影响整体的对比度，是一个典型而有效的图像处理方法。直方图均衡在医学图像增强和遥感图像处理等方面已有广泛的应用，在著名的图像处理软件Photoshop和ACDSee中也有相应的功能［2-5］。

1 数字图像实验原理

随机过程既可以是随时间变化的过程，也可以是随空间位置变化的过程。一幅图像可以定义为一个二维函数g(x，y)，函数值g表示在坐标(x，y)处该点图像的强度或灰度值，当x，y以及g的取值都是有限的离散数据时，该图像为数字图像。图像上某一点的灰度值可以看作一个随机变量，因此一幅图像可以看作是随空间位置变化的随机序列。

所谓图像的灰度直方图，即反映一副图像中灰度值与出现这种灰度概率之间关系的图形。在此设变量R代表图像中像素的灰度级，R的取值范围为［0，L－1］，L为总的灰度级数(本实验中设 L为256)，具有L个灰度级的数字图像直方图是一个离散函数:

式中，rk是第k个灰度级，rk=0表示黑色，rk=L－1表示白色。nk表示图像中具有灰度级rk的像素数目。对直方图归一化处理得到

式中，N表示该图像总的像素数目，f(rk)是灰度级rk出现的频率，是对rk出现概率的估计。

根据反函数法定理，若随机变量X具有连续分布函数FX(x)，而r是(0，1)间均匀分布的随机变量，则有

通过该定理可知:若要产生服从分布FX(x)的随机数，可先产生(0，1)区间均匀分布的随机数r，然后再通过逆映射F-1(r)得到随机数x。反过来，随机数x经过映射F(x)变换后也可以得到均匀分布的随机数r。这就是反函数法的正反两个过程，如图1所示。

图1 反函数法的正反映射过程

由于数字图像的像素灰度值是离散值，因此需要用概率求和取代概率积分。同时，图像像素灰度值的概率分布函数是未知的，在本实验中用灰度出现的频率f(rk)来代替它的概率。直方图均衡的具体变换为

通过上式变换，原始像素rk变成了sk。由于s服从均匀分布，因此该变换实现了数字图像的直方图均衡。

2 数字图像实验设计

为了加强学生对随机过程、概率、频率和直方图等基本性质的理解，提高学生运用随机过程的理论来解决实际问题的能力，本实验要求学生自行寻找图像资源，利用Matlab编程语言画出该图像的灰度直方图，并对该图像的灰度直方图进行均衡处理，最后画出均衡后的图像及其灰度直方图。

我们在实验中引导学生一边实验一边思考问题，可以增强他们的实验兴趣和动手能力。教师在实验中应当注意引导学生思考以下两个问题。

1)引导学生寻找合适的图像

在Matlab图像处理工具箱中有丰富的图像资源可用于本实验。尤其是一组名称为“office”的图片(office_1.jpg，office_2.jpg 等)，直观展示了同一场景从暗到亮的变化，可要求学生对这组图像进行均衡处理后分析比较实验结果。在本实验中，也可要求学生用数码相机来自行制作合适的图像。比如灰度直方图集中在低端的图像(曝光不足)，可采取在室内不开闪光灯的模式，或者在室外背着太阳光来拍摄;灰度直方图集中在高端的图像(过曝光)，可在室外迎着太阳光拍摄。数码相机拍摄出来的图像一般是彩色的，可先用图像处理软件(如ACDSee)将其转换为256级灰度图像后再处理。

2)评价直方图均衡处理后图像的效果

在实验前，学生通常认为均衡后图像效果肯定会变好。我们可让学生先带着思考问题完成实验，然后观察实验结果得到结论。一般来说，学生往往会觉得均衡后图像变差了。此时应引导学生理解直方图均衡并不以图像保真为准则，其本质是有选择的增强图像中占有较多像素的灰度值，抑制占有较少像素的灰度值，通过减少灰度等级来换取对比度的加大。由于直方图均衡并不区分有用信号和噪声，因此均衡后并不意味着图像就一定会变清晰或者质量提高。我们还建议那些学有余力的学生进一步阅读数字图像处理方面的文献。

3 实验结果

在此仅给出Matlab图像处理工具箱中“cameraman.tif”图像文件的实验结果。图2给出均衡前后的图像，图3是比较均衡前后的灰度直方图。通过该实验结果，学生可以得到两个较为直观的认识:①均衡处理后，该男子大衣和草地的纹理较为清晰地显现了出来。实际上这些纹理特征本来就存在于图像中，只不过和相邻像素的灰度值过于接近而导致肉眼无法将其识别出来;②该图像背景本来是较为均匀和柔和的，均衡处理后似乎变得刺眼了。实际上均衡处理后把天空中太阳光晕显现出来了，均衡后的图像虽然没有均衡前美观，但我们获得了更加丰富的图像信息。

图2 均衡前后的图像(cameraman.tif)

图3 均衡前后的灰度直方图(cameraman.tif)

此外，在实验中还需要注意图像灰度值的数据格式。Matlab中imread函数读取出来的数据格式为unit8，在程序中使用的数据类型一般为double，用imshow函数将均衡后的灰度值进行显示所需要的格式为unit8。因此，在数据读入、数据处理以及图像显示的操作中需要注意uint8和double这两种数据类型的转换［6］。

4 结语

本文详细讨论了数字图像直方图均衡实验的原理和流程，并以Matlab图像工具箱中Cameraman图像为例，实现了对该图像灰度直方图的均衡处理，并对实验结果作了较为深入的比较和分析。我们将数字图像的直方图均衡实验引入教学，既可以加深学生对随机过程定义和性质的理解，增强学生Matlab编程能力，还可让学生更加全面的理解反函数法定理，认识到直方图均衡和任意随机数产生这两个知识点的是如何巧妙结合起来的。

［1］ 罗鹏飞，张文明.随机信号分析与处理［M］.北京:清华大学出版社，2006.

［2］ 王龙.基于灰度直方图均衡的超声医学图象增强方法［J］.成都:四川大学学报(工程科学版).2002，34(1):105-108.

［3］ 邢永康，雷群英.保持B超图像灰度级的改进直方图均衡化算法［J］.重庆:重庆大学学报.2011，34(6):123-126.

［4］ 岳昔娟，张勇，黄国满.改进的直方图均衡化在遥感图像分类中的应用［J］.成都:四川测绘.2008，31(4):158-161.

［5］ 黄昆，陈登胜，余国忠.直方图均衡化在遥感图像彩色合成中的应用［J］.合肥:安徽农业科学.2010，38(16):8818-8821.

［6］ 张志涌.精通MATLAB6.5版［M］.北京:北京航空航天大学出版社，2003.