四元数的共轭数和乘法运算的有条件交换性

丁光涛

(安徽师范大学 物理与电子信息学院，安徽 芜湖 241000)

四元数的共轭数和乘法运算的有条件交换性

丁光涛

(安徽师范大学 物理与电子信息学院，安徽 芜湖 241000)

本文研究四元数的共轭运算和乘法有条件交换性.引入了几种新的四元数共轭数，给出了若干共轭运算的四元数代数表示式.在四元数矩阵乘法有条件的交换性的基础上，导出了一种与四元数新型相关数——蜕变四元数；利用解析形式重新表述了四元数乘法的有条件交换性.

四元数；共轭运算；乘法的交换律；矩阵

引 言

Hamilton经过十年的研究，在1843年提出了四元数概念以推广平面问题中的复数方法来解决三维空间中的问题，一百七十年来，对它的研究经历由热到冷再由冷到热的过程.早期在刚体运动学、结晶学中四元数得到简单应用，也曾应用于初期电磁理论，然而并未得到普遍的重视.近几十年来，在现代物理学的许多学科，如经典力学、相对论、量子理论、电磁理论和引力理论等，四元数形式的理论一直在发展中[1-9]，四元数的多种共轭运算常常出现在一些物理理论表述中.另一方面，由于20世纪中叶以来现代科学技术，如现代控制理论、计算机科学、高速交通工具、复杂机械制造等工业技术的发展，使得四元数在许多领域，特别是航天技术和机器人制造等领域中应用越来越广[10-12].四元数将实数、复数、矢量作为它的特殊情况，在四元数代数中乘法运算占据着特殊的重要位置，这种乘法包括了数与数的乘法、数与矢量的乘法、矢量间的标积和矢积于一身的乘法，但是，由于在一般情况下，四元数乘积的因子是不能交换的，给四元数的应用带来一定的困难.1970年，B.P.Ickes提出一种四元数矩阵乘法，引入四元数的蜕变矩阵概念，从形式上给出乘积因子的可交换性，或者说，有条件的交换性，使得四元数的实际运算得以简化[10-11].本文首先列出了四元数的多种共轭数，其中有些是新引入的；然后进一步研究四元数乘法运算的有条件的交换性，通过引入与四元数虚单位对应的新的虚单位，给出有条件的交换性的解析表达式，并指出新的虚单位的引入相当于引入了新的与四元数相关联的数，但是它们不能归结为通常的共轭四元数.

1 四元数及其共轭运算

1.1四元数的共轭数

四元数是由实单位1，三个虚单位e1、e2、e3，和四个数元a0,a1，a2，a3组成的超复数

A=a0+a1e1+a2e2+a3e3

(1)

1和e1、e2、e3通常称为四元数的基.数元可以是实数或复数，前者通常称为实四元数(四元数)，后者通常称为双四元数，前者是后者的特殊情况，以下以讨论双四元数为主.四元数单位1和ek的乘积法则为

1ek=ek1=ek,ejek=-δjk+εjklel,(j,k,l=1,2,3)

(2)

双四元数A的共轭数有很多种，例如，四元数(转置)共轭

AT=a0-a1e1-a2e2-a3e3

(3)

还可以引入A的其他类型的共轭数[10-11]，例如，复数共轭

(4)

厄米(转置复数复合)共轭

(5)

由于四元数有三个虚单位，故还可以引入以下六种转置共轭

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

应当指出，在不同的文献中共轭数的名称并没有统一的规定.

上述共轭运算之间存在下列关系：

A+=(A*)T=(AT)*

(13)

此外，还可以写成

(14)

等等.应当指出，四元数的四元数(转置)共轭对应的是基的变换，而复数共轭是数元的变换，只有厄米共轭才是基和数元的共同变换.

1.2四元数的乘积及其与共轭运算的关系

根据式(1)和(2)，两个四元数的乘积为

Q=AB=q0+q1e1+q2e2+q3e3=(a0b0-a1b1-a2b2-a3b3)+(a0b1+a1b0+a2b3-a3b2)e1+(a0b2+a2b0+a3b1-a1b3)e2+(a0b3+a3b0+a1b2-a2b1)e3

(15)

四元数的模定义为

(16)

模等于1的四元数称为单位四元数.双四元数的模可能为正数、负数或零.当模不等于零时，定义四元数的逆(四元数)为

(17)

AA-1=A-1A=1

(18)

双四元数的共轭运算和乘法运算之间的规律是

(AB)*=A*B*，

(AB)T=BTAT，

(AB)+=B+A+，

(19)

此外，还有

(20)

等等，由此可见，引入式(12)类型的共轭数是有意义的，这两种共轭数的乘积直接等于乘积的共轭数，不必改变乘积因子的次序.

1.3四元数共轭运算的解析表达式

利用四元数乘积能够将四元数的四元数共轭数写成解析式，为此首先写出如下关系式：

e1Ae1=-a0-a1e1+a2e2+a3e3，

e2Ae2=-a0+a1e1-a2e2+a3e3，

(21)

e3Ae3=-a0+a1e1+a1e2-a3e3.

上述关系式是容易证明的.由此能够将四元数共轭数写成

(22)

式(6)-(11)中六种共轭数也能够写成类似的表达式，下面仅以两种为例

(23)

(24)

应用上述类型解析式表示的共轭运算是基的变换，而不是数元的变换.

2 四元数矩阵乘法有条件交换性

2.1四元数的矩阵表示

四元数的基1和e1、e2、e3可以分别用四个的矩阵表示，例如

(25)

由此，式(1)中四元数可以用一个2×2的复矩阵表示为

(26)

各种共轭四元数也可以表示2×2为的复矩阵.

四元数的基1和e1、e2、e3也可以分别用四个4×4的矩阵表示为

(27)

下面我们只研究四元数基的上述4×4矩阵表示，这种表示有特点，对应的四元数可以表示成列阵或方阵形式，即

{A=[a0,a1,a2,a3]T

(28)

(29)

列阵(24)是方阵(25)的第一列.下面以{}表示列阵，[]表示方阵.应当指出的是，四元数基的矩阵表示，不是唯一确定的，不同的文献给出的表示可能不同，我们上面给出的只是一种.

2.2四元数矩阵乘法的有条件交换性

两个四元数A和B的乘积(15)可以表示成下列两种矩阵形式

{Q}=[A]{B},[Q]=[A][B]

(30)

一般情况下四元数乘法是不可交换的，对应的矩阵乘积也是不可对易的，即

AB≠BA,[A]{B}≠[B]{A},[A][B]≠[B][A]

(31)

然而，引入蜕变矩阵后，四元数矩阵乘法能够实现一种有条件的交换性[10,11]，这是矩阵表示(28)和(29)的一个重要特点和优势.

定义A的蜕变矩阵为

(32)

式(29)和(32)表明四元数的矩阵和蜕变矩阵之间存在简单而又明确的对应关系，只需要将矩阵(29)的第一元素的三阶子式加以转置，就得到矩阵(32).类似地，各种共轭四元数同样可以表示成方阵或列阵形式，也同样能引入对应的蜕变矩阵.直接计算可以验证，矩阵乘积(30)能够改写成

{Q}=[B]∧{A},[Q]=[B]∧[A]

(33)

(34)

(35)

(36)

第三步将四元数矩阵乘法的有条件交换性形式上写成

(37)

上述四元数矩阵乘法的有条件交换性的解析表达式方便于理论推导，在具体计算时仍应回到矩阵形式.

3 结论

3.1本文拓展了四元数的共轭运算，引入了多种新的四元数的共轭数，并利用四元数的代数运算定义了几种转置(四元数)共轭运算，为在物理学中应用四元数提供了新的途径.

3.2本文指出四元数矩阵表示的多样性，并在一种4×4矩阵表示基础上建立起矩阵乘法有条件交换性，并由此引入新的一种与四元数相关联的数——蜕变四元数，给出了它的解析表达式，为在理论中表述和利用这种有条件交换性提供便利.

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Quaternion’sConjugateNumbersandConditionalCommutativityofQuaternionMatrixMultiplication

DING Guang-tao

(College of Physics and Electronic Information, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

In this paper, the conjugate operations of quaternion and the conditional commutativity of quaternion multiplication are studied. Some new types of conjugate numbers of quaternion are introduced, and some algebraic expressions of quaternion conjugate operations are given. Based on the conditional commutative law of quaternion matrix multiplication, a new kind of number related to quaternion—transmutation quaternion is introduced. The conditional commutative law of quaternion multiplication is re-expressed in analytical form.

quaternion； conjugate operations； commutative law of multiplication； matrix

2013-08-15

丁光涛(1941-)，男，安徽枞阳人，教授，主要研究方向为理论力学.

丁光涛.四元数的共轭数和乘法运算的有条件交换性J.安徽师范大学学报：自然科学版，2014，37(1)：1-5.

O411

A

1001-2443(2014)01-0001-05