两种功率倒置阵列天线调零模型的等效性分析

石 荣,邓 科,李 洲,张 伟

(电子信息控制重点实验室,四川 成都 610036)

0 引 言

在卫星导航系统中,导航卫星发射信号的功率低,传输距离大,到达地面导航接收机的信号十分微弱,非常容易被干扰，鉴于此,各种卫星导航抗干扰手段的研究一直没有间断,除了时域和频域所采取的抗干扰方法之外,采用阵列天线来接收卫星导航信号,并根据干扰来波方向调整天线中各个阵元的加权系数,在干扰来波方向上自动形成零陷,从而达到在空域上抑制并滤除干扰的目的,这一措施进一步增强了卫星导航接收系统抵御外界干扰的能力。

虽然自适应天线抗干扰调零在雷达、通信、声纳等各个领域都得到了广泛的研究,但是在卫星导航系统中这一阵列天线调零有其特殊性。因为导航信号是一个扩频信号,天线接收到的导航信号一般在接收机的噪声基底之下,而外界的干扰信号往往在噪声基底之上,所以卫星导航阵列接收天线通常采用功率倒置的方法来形成针对干扰的零陷,且干扰信号越强,天线在干扰来波方向的零陷就越深。目前已经有大量的文献对卫星导航阵列接收天线的功率倒置调零问题进行了研究,所采用的分析模型主要有两种:一种是基于参考信号的最小均方误差模型[1-5],另一种是线性约束条件下的最小功率模型[5-8]。本文在对上述两种模型简要分析的基础上,利用分块矩阵求逆的相关特性,从理论上证明了上述两种模型之间的等效性,也就是说,在这两种模型中依据任一种模型所计算出的天线阵元的加权系数都是一样的，所以可以根据不同的实际应用场合和不同的研究关注重点,分别采用不同的模型。

1 两种功率倒置调零模型

在采用功率倒置调零的卫星导航接收系统中,以M+1个天线阵元组成的接收阵列天线，如图1所示。

图1 功率倒置调零阵列天线示意图

图中：X=[x0,x1,x2,…,xM]T表示输入信号向量；W=[w0,w1,w2,…,wM]T表示加权向量,整个天线阵列的输出记为y,于是有

y=WHX，

(1)

式中：上标H表示共轭转置。通过不同的方法来求解式(1)获得最优的加权系数Wopt,从而在干扰来波方向形成阵列天线波束方向图的零点,由此起到在空域上抑制和滤除干扰的作用。

1.1 基于参考信号的最小均方误差模型

功率倒置调零的第一种常见模型是“基于参考信号的最小均方误差模型LMS”,在该模型中将第0号阵元接收的信号x0作为参考信号,剩余的M个阵元接收信号在经过加权合成后的信号要求与参考信号之间的均方误差最小。记这M个阵元的输入信号为XL=[x1,x2,…,xM]T,与之对应的M个可调加权系数组成的向量为WL=[w1,w2,…,wM]T,于是系统输出yL可以表示为

(2)

按照最小均方误差准则,M维的最优加权系数WL,opt可表示为

(3)

将式(2)代入式(3),通过求导运算,并令导数为零,可求得最优加权系数为

(4)

(5)

1.2 线性约束条件下的最小功率模型

功率倒置调零的第二种常见模型是“线性约束条件下的最小功率模型LCMP”,在很多文献中也将其称之为“线性约束最小方差LCMV 模型”[5-9]。在该模型中,所附加的无畸变约束条件为

WH·C=1,

(6)

其中,C=[1,0,0,…,0]T为M+1维的约束向量。

根据拉格朗日乘子法,M+1维的最优加权系数Wopt,2可表示为

(7)

式中:λ为拉格朗日乘子;*为共轭运算，于是通过式(7)可求得

(8)

式中：Rxx=E[X·XH]为所有M+1个天线阵元接收信号的自相关矩阵。

2 两种模型的等效性分析

由上可见,在卫星导航中阵列接收天线的功率倒置抗干扰调零有两种模型,并且这两种模型在已经公开发表的文献中都得到了应用。实际上这两种模型相互之间是等效的,具体证明如下。

在“线性约束条件下的最小功率模型”所导出的式(8)中,Rxx为(M+1)×(M+1)维的自相关矩阵;而在“基于参考信号的最小均方误差模型”所导出的式(4)中,RL,xx为M×M维的自相关矩阵,它们都是埃尔米特矩阵,并且相互之间的关系可由下面的分块矩阵来表示

(9)

(10)

式中:GM×M表示M×M维的矩阵;gM×1表示M维的列向量;α0,0为一个数,由于

(11)

式中,I(M+1)×(M+1)表示(M+1)×(M+1)维的单位矩阵,将式(9)(10)代入式(11)得

α0,0rL,x0+RL,xxgM×1=0M×1，

(12)

式中,0M×1表示M维的零向量,由此可解得

(13)

(14)

(15)

对比式(5)与式(15)有下式成立

Wopt,1=Wopt,2.

(16)

由上可见,由两种模型计算出的阵列天线的最优加权系数是完全相同的,这也说明两种模型是完全等效的。

3 两种模型的不同应用场合

以上理论上证明了两种模型的等效性,但是这两种模型的应用场合是有所不同的,这也是目前两种模型在各种文献中都有应用的重要原因之一,简要分析如下。

对于“基于参考信号的最小均方误差模型”,式(4)表示了一个典型的平稳状态下的维纳解,但是当外界的干扰并不平稳时,就需要采用自适应的调零解算跟踪干扰的来波方向、强度等各个方面的变化,所以式(4)所表示的模型通常用于自适应调零算法的工程实现。常用的两种自适应算法分别为LMS最小均方自适应算法与RLS递归最小二乘自适应算法。

如果采用LMS算法进行阵列天线的自适应调零,其加权系数的迭代求解为

WL,opt(n)=WL,opt(n-1)+μXL(n-

1)XL(n-1)]*，

(17)

式中:WL,opt(n)为第n次迭代所产生的加权向量;μ为步长参数;x0(n)为第0号阵元的第n次采样数据;XL(n)为剩余M个阵元的第n次采样数据所形成的列向量。

如果采用RLS算法来进行阵列天线的自适应调零,其加权系数的迭代求解为[10]

WL,opt(n)=WL,opt(n-1)+K(n)[x0(n)-

(18)

式中,K(n)为增益向量,且由下式决定:

(19)

式中:γ是一个接近于1,但又小于1的正常数;P(n)表示逆相关矩阵,可以由下式进行迭代计算:

P(n)=γ-1P(n-1)-γ-1

(20)

通过式(17)或式(18)所迭代计算出的阵列天线加权系数,都可以在卫星导航工程应用中实现对干扰来波方向的自适应调零。

对于“线性约束条件下的最小功率模型”来说,式(8)表示的是一个独立的矩阵形式,常常用于理论上的分析与相关矩阵的特征分析。由于Rxx是一个埃尔米特矩阵,所以可以对其进行特征分解为

(21)

式中:λi为矩阵Rxx的第i个特征值;qi为该特征值对应的特征向量,且各个特征向量相互正交;λi,J为与干扰相关的特征值,上式中总共包含了J+1个干扰,而σ2表示阵列天线中噪声的方差，于是有:

(22)

4 仿真验证

以卫星导航接收系统中常用的4元圆阵天线进行仿真,其中第0号阵元位于圆心处,第1至3号阵元的相位中心均匀分布于圆周上,整个圆形区域的半径为λ/2.以圆心为坐标原点,从圆心到第1号阵元所在方向为X轴的正向,圆所在平面为XY平面,建立XYZ三维直角坐标系如图2所示。

如图2所示,干扰来波方向的方位角φ=20°,俯仰角θ=30°,干扰信号的强度比接收机的噪底高30 dB.由此计算得到的所有阵元的相关矩阵Rxx,除第0号阵元之外的相关矩阵RL,xx,以及第0号阵元与其它阵元的互相关向量rL,x0分别为

图2 卫星导航4元圆阵天线

于是由第一种“基于参考信号的最小均方误差模型”式(4)和(5)计算出的最优加权系数

Wopt,1=[1.0000,-0.1189-0.3055i,

-0.2014-0.2666i,0.1773+

0.2879i]T.

由第二种“线性约束条件下的最小功率模型”式(8)计算出的最优加权系数

Wopt,2=[1.0000,-0.1189-0.3055i,

-0.2014-0.2666i,0.1773+

0.2879i]T.

由上可见,两种模型计算得到的最优加权系数是完全一样的,这也同时说明了两种模型之间的等效性。

5 结束语

从理论上证明了卫星导航自适应阵列接收天线系统中两种功率倒置调零模型的等效性，即分别根据“基于参考信号的最小均方误差模型”与“线性约束条件下的最小功率模型”所计算出的阵列天线的加权系数是完全一样的。这说明在卫星导航自适应阵列接收天线的理论分析、仿真模拟、系统设计和调试应用中,可以根据所要解决问题的特点和方便性,采用其中任意一种模型,所得到的结果都是一致的，这一结论也为卫星导航信号接收系统中空域抗干扰研究提供了新的参考。

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