矩阵的等价关系与分类

2014-08-21谢晓华

科技视界 2014年21期

关键词：根数方阵全系

谢晓华

(河南林业职业学院基础部，河南洛阳471002）

1 预备知识

定义1.2：集合S 的一个二元关系“～” 称为等价关系，若满足ⅰ）反身性：x～xⅱ）对称性：若x～y 则y～xⅲ）传递性：若x～y，y～z 则z～x。

定理1.1：集合S 的一个分类必决定S 的一个等价关系。

定理1.2：集合S 的一个等价关系必决定S 的一个分类。

（2）只需证：若Sx∩Sy≠Ø 则Sx=Sy，设z∈Sx∩Sy，则z～x，z～y 由等价关系的对称性和传递性得x～y，所以对任意的a∈Sx，a～x，x～y 所以a～y 即a∈Sy所以Sx⊆Sy，同理可证Sy⊆Sx所以Sx=Sy。

2 矩阵的等价关系

2.1 矩阵的相抵关系

定义2.1：如果矩阵A 经过有限次的初等变换后得到矩阵B，那么称A 与B 是相抵的。

定理2.1：任意两个矩阵A、B 相抵的充分必要条件是：1）A、B 同型且秩相等；2）存在可逆阵P 和Q 使得PAQ=B。

也就是说，任意一个秩为r 的m×n 矩阵A 都相抵与形如的矩阵，这种结构简单的矩阵称为A 的相抵标准型，秩r 为相抵关系下的全系不变量。即两个同型矩阵相抵的本质是具有相同的秩。

2.2 矩阵的相似关系

定义2.2：对于n 阶方阵A、B，若存在一个可逆阵P,使得P-1AP=B，则称A 与B 相似。

由定义可得A 通过相似变换变为B 需要很强的约束条件：两边乘的矩阵要互逆，所以要通过引入λ-矩阵除去其约束条件，将A 与B的相似转换为λI-A 与λI-B 的相抵来研究，即通过相抵标准型来研究数字矩阵A 与B 的相似。

定理2.2

（1）A 与B 相似⇔矩阵A 能够经过相似变换变成矩阵B

⇔,A 与B 是同阶方阵且它们有相同的不变因子组

即矩阵相似关系下的全系不变量是不变因子组。

也就是说秩相等是矩阵相似的必要条件，两个同阶方阵相似的本质是它们有相同的不变因子组。

相似矩阵的性质：矩阵相似，则它们的秩相等，迹相等，行列式相等，特征值相等，特征多项式也相等；它们还有相同的可逆性，且可逆时它们的逆矩阵也相似。

注意，两个同阶方阵如果它们可以对角化（例如实对称矩阵），则它们相似就等价于它们有完全相同的特征值（或特征多项式相等）；否则，同阶方阵的特征值完全相同只是它们相似的必要条件。

2.3 矩阵的合同关系

定义2.3：对于n 阶方阵A、B，若存在可逆阵P,使得PTAP=B，则称A 与B 合同。

两个矩阵合同的概念是不需要矩阵必须是实对称矩阵的。如果A是实对称矩阵，则它一定能与对角矩阵合同。但合同一般是对于对称矩阵来说的，n 阶对称矩阵必然有n 个实特征根。如果两对称矩阵的不为零的特征根数相同，并且正特征根数也相同，那么两矩阵是合同的。反之，如果两矩阵合同的话，那么这两个矩阵不为零的特征根数相同，并且正特征根数也相同。

定理2.3：在复数域上，n 阶对称阵在合同关系下的全系不变量是矩阵的秩r。

定理2.4：在实数域上，n 阶对称阵在合同关系下的全系不变量是矩阵的秩r、正惯性指数p、负惯性指数q 和符号差s 中的任意两个。

注意：合同与二次型有关，同一数域上的二次型与对称矩阵之间一一对应，因此矩阵合同一般针对的是对称矩阵。