从二次函数谈初高中数学教学衔接

徐艳丽

【内容摘要】初高中数学教学衔接不顺畅是新课标下普遍存在的问题，其中函数的概念的衔接是必须要解决的，二次函数是初高中函数的重点内容之一，也是解决函数概念衔接的入口和突破口。

【关键词】衔接 二次函数 教学设计

高中数学教学衔接是我校的研究课题之一，有很多专家学者和普通教师都很关注并积极进行这方面的研究，其中最为突出的就是关于初高中函数概念的衔接问题，与具体函数相关的内容中，二次函数最为基础且出现频率最高。在最近初高中数学教学衔接的课题研究与高考的联系中，笔者发现函数知识在高考中占有很大的比例，分值是总分的30%左右，其中二次函数又是“龙头”，所以，在教学衔接中做好二次函数的教学衔接是学好函数的基础，为此，课题组专门组织了二次函数教学的同课异构活动。

二次函数的同课异构中，两位老师均从二次函数的表达式入手，展示了二次函数的表达式和二次函数的性质及二次函数和二次不等式之间的联系。如在第一节公开课《二次函数的图象及其性质》中，教师从二次函数的解析式入手，利用函数的对称性解决函数值的大小问题，接着由二次函数的性质联系到2013年高考题，已知f（x）=x2-2ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）

先来看看二次函数在初等数学中的地位。大家知道，二次函数是初等数学中最适合强化学生对于函数概念的理解的函数模型，也是最适合训练学生处理函数相关问题的能力的模型，这些源自于在实际生活与生产实践中有很多能够用初等数学方法处理的非线性问题（一元线性相对简单、直接，三次及以上又过于复杂），除此以外，高中数学中涉及到的二次曲线、二次不等式，甚至三角函数、解三角形、导数、统计等，都需要二次函数相关的处理方法。当然，它也是高考的重点内容。

我们知道，初中学生正处在由形象思维向抽象思维过度的关键时期，他们善于从具体事物中学习，不善于学习抽象的内容。因此，初中的数学教学要采用大量学生已具有的感性知识，以帮助学生思维由低水平向高水平转化。作为高中数学教师，在数学教学中，要使学生的数学思维能力逐步由低层次向高层次发展，即由直观形象思维发展到具体形象思维，再发展到抽象逻辑思维。要尊重学生思维能力的发展特点，为此，在了解学生心理特征和思维特点的前提下，还要做以下几个方面的工作。

一、了解初高中二次函数的差异

初中对二次函数的研究比较简单，只要求学生从图像入手，并根据图像观察，求一个已知二次函数的对称轴，求最值，顶点坐标，能够简单粗略的画出二次函数的图象就可以了。进入高中后需要学生在给定的区间上求最值，实际上是要求学生了解二次函数各个部分的单调性及最值极值等，从以前的简单函数到抽象函数，同时又增加了一些含有字母的讨论，使得函数图像的开口方向（或大小）以及对称轴发生变化，或者是让区间产生变化，使得问题变得更加抽象，所需要的思维量和想象力更强，在学习了函数的奇偶性和单调性等函数性质以后，若在此环节衔接不顺利，会使部分学生一时难以接受，从而失去了学习数学的信心。

二、初中知识对高中知识影响的分析

由于初中学生处在以形象思维为主的阶段，所以对函数的认识大部分是针对整个函数的图像，对于其局部细微处所涉甚少，所以在进入高一阶段，不能让学生停留在初中对二次函数在形象上的认识，高中函数要求结合定义域解决问题，当然，他们在形象上的认识也正好是高中进一步学习的有利条件和基础。

三、完成衔接的对策

首先，我们仍要遵循循序渐进的原则，开始时，仍要在学生已有的形象思维的基础上设置问题。顺序是，借助图像在简单表达式下求不同区间的最值或值域；变换函数表达式，在前一问题的各个区间上求最值或值域；固定函数表达式，求动区间上函数的最值或值域（在区间上引入参变量）；求含参变量的函数在固定的多个区间上的最值或值域。如结合二次函数的图象求函数f（x）=2x2-4x+1在区间[-3，-1][-3，2]上的最值，接着借助图象求函数在区间[1，t]上值域，最后研究函数在区间[t，t+2]上的值域，借助图象让学生感受从整体到局部，从具体到抽象，通过这些研究，学生就会对所学的知识在头脑中进行加工，通过自己的学习体验，对函数的理解更加深刻，为以后学习其它函数的性质打下基础。

其次，我们要完成从单一目标到多重目标的过渡，即由单纯的求最值或值域过渡到函数的其他特定取值问题的处理，其中包括零点、最值、极值点以及简单的不等式。函数的零点可以转化为求方程的根，二次不等式的解可以转化为函数值的正负对应的自变量的取值，求函数的最值可以通过求函数的极值然后和端点值比较大小。

第三我们要完成从孤立问题到系列问题的过渡，这一环节大多在高二高三阶段实施。即由单纯的二次函数逐步推进，向运用方面发展，正如前面提到的，在三角函数、解三角形、向量问题、三次函数的导数等方面加以运用。例题

（1）求函数f（x）=cos2x+2sinx 的值域；

（2）已知向量 满足

=4，求 的取值范围。

最后，我们要完成能让学生自觉实现二次函数相关方法的运用，即能够将表面上不是二次函数的问题转化或化归为二次函数来处理，或者是在学习中能够使用二次函数的相关知识与方法，如已知函数f（x）=x2-mx+m+1，①若函数y=|f（x）|在区间[2，4]上单调递增，求m的取值范围；②求函数y=f（2x），x∈[0，1]的最大值关于m的表达式。此题属于难题，但化归为二次函数后就很简单了①可以先转化为f（x）在[2，4]单增且恒非负或单减且恒非正解决②可以采用换元转化为二次函数的问题。

以上所述二次函数衔接只是一个侧面，要做好初高中数学教学的衔接，既要关注高中数学课程的教学要求，又要关注初中数学课程的教学要求。为此，我们学校专门组织高一教师到临近的初中与初中教师交流，通过听课、座谈、研讨，走访初中学生，较为全面地了解初中数学教学过程及学生学习数学的感受，初步掌握了学生的学习习惯和教师课堂教学习惯，拟定初步衔接计划，其中同课异构活动是在课堂教学方面实施的具体实践。通过这个活动，使全年级数学教师积极参与教学研讨，并尽可能地开设公开课，进行反复研摩，在教学设计和教学过程方面达成共识。

（作者单位：江苏省张家港市沙洲中学）

【内容摘要】初高中数学教学衔接不顺畅是新课标下普遍存在的问题，其中函数的概念的衔接是必须要解决的，二次函数是初高中函数的重点内容之一，也是解决函数概念衔接的入口和突破口。

【关键词】衔接 二次函数 教学设计

高中数学教学衔接是我校的研究课题之一，有很多专家学者和普通教师都很关注并积极进行这方面的研究，其中最为突出的就是关于初高中函数概念的衔接问题，与具体函数相关的内容中，二次函数最为基础且出现频率最高。在最近初高中数学教学衔接的课题研究与高考的联系中，笔者发现函数知识在高考中占有很大的比例，分值是总分的30%左右，其中二次函数又是“龙头”，所以，在教学衔接中做好二次函数的教学衔接是学好函数的基础，为此，课题组专门组织了二次函数教学的同课异构活动。

二次函数的同课异构中，两位老师均从二次函数的表达式入手，展示了二次函数的表达式和二次函数的性质及二次函数和二次不等式之间的联系。如在第一节公开课《二次函数的图象及其性质》中，教师从二次函数的解析式入手，利用函数的对称性解决函数值的大小问题，接着由二次函数的性质联系到2013年高考题，已知f（x）=x2-2ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）

先来看看二次函数在初等数学中的地位。大家知道，二次函数是初等数学中最适合强化学生对于函数概念的理解的函数模型，也是最适合训练学生处理函数相关问题的能力的模型，这些源自于在实际生活与生产实践中有很多能够用初等数学方法处理的非线性问题（一元线性相对简单、直接，三次及以上又过于复杂），除此以外，高中数学中涉及到的二次曲线、二次不等式，甚至三角函数、解三角形、导数、统计等，都需要二次函数相关的处理方法。当然，它也是高考的重点内容。

我们知道，初中学生正处在由形象思维向抽象思维过度的关键时期，他们善于从具体事物中学习，不善于学习抽象的内容。因此，初中的数学教学要采用大量学生已具有的感性知识，以帮助学生思维由低水平向高水平转化。作为高中数学教师，在数学教学中，要使学生的数学思维能力逐步由低层次向高层次发展，即由直观形象思维发展到具体形象思维，再发展到抽象逻辑思维。要尊重学生思维能力的发展特点，为此，在了解学生心理特征和思维特点的前提下，还要做以下几个方面的工作。

一、了解初高中二次函数的差异

初中对二次函数的研究比较简单，只要求学生从图像入手，并根据图像观察，求一个已知二次函数的对称轴，求最值，顶点坐标，能够简单粗略的画出二次函数的图象就可以了。进入高中后需要学生在给定的区间上求最值，实际上是要求学生了解二次函数各个部分的单调性及最值极值等，从以前的简单函数到抽象函数，同时又增加了一些含有字母的讨论，使得函数图像的开口方向（或大小）以及对称轴发生变化，或者是让区间产生变化，使得问题变得更加抽象，所需要的思维量和想象力更强，在学习了函数的奇偶性和单调性等函数性质以后，若在此环节衔接不顺利，会使部分学生一时难以接受，从而失去了学习数学的信心。

二、初中知识对高中知识影响的分析

由于初中学生处在以形象思维为主的阶段，所以对函数的认识大部分是针对整个函数的图像，对于其局部细微处所涉甚少，所以在进入高一阶段，不能让学生停留在初中对二次函数在形象上的认识，高中函数要求结合定义域解决问题，当然，他们在形象上的认识也正好是高中进一步学习的有利条件和基础。

三、完成衔接的对策

首先，我们仍要遵循循序渐进的原则，开始时，仍要在学生已有的形象思维的基础上设置问题。顺序是，借助图像在简单表达式下求不同区间的最值或值域；变换函数表达式，在前一问题的各个区间上求最值或值域；固定函数表达式，求动区间上函数的最值或值域（在区间上引入参变量）；求含参变量的函数在固定的多个区间上的最值或值域。如结合二次函数的图象求函数f（x）=2x2-4x+1在区间[-3，-1][-3，2]上的最值，接着借助图象求函数在区间[1，t]上值域，最后研究函数在区间[t，t+2]上的值域，借助图象让学生感受从整体到局部，从具体到抽象，通过这些研究，学生就会对所学的知识在头脑中进行加工，通过自己的学习体验，对函数的理解更加深刻，为以后学习其它函数的性质打下基础。

其次，我们要完成从单一目标到多重目标的过渡，即由单纯的求最值或值域过渡到函数的其他特定取值问题的处理，其中包括零点、最值、极值点以及简单的不等式。函数的零点可以转化为求方程的根，二次不等式的解可以转化为函数值的正负对应的自变量的取值，求函数的最值可以通过求函数的极值然后和端点值比较大小。

第三我们要完成从孤立问题到系列问题的过渡，这一环节大多在高二高三阶段实施。即由单纯的二次函数逐步推进，向运用方面发展，正如前面提到的，在三角函数、解三角形、向量问题、三次函数的导数等方面加以运用。例题

（1）求函数f（x）=cos2x+2sinx 的值域；

（2）已知向量 满足

=4，求 的取值范围。

最后，我们要完成能让学生自觉实现二次函数相关方法的运用，即能够将表面上不是二次函数的问题转化或化归为二次函数来处理，或者是在学习中能够使用二次函数的相关知识与方法，如已知函数f（x）=x2-mx+m+1，①若函数y=|f（x）|在区间[2，4]上单调递增，求m的取值范围；②求函数y=f（2x），x∈[0，1]的最大值关于m的表达式。此题属于难题，但化归为二次函数后就很简单了①可以先转化为f（x）在[2，4]单增且恒非负或单减且恒非正解决②可以采用换元转化为二次函数的问题。

以上所述二次函数衔接只是一个侧面，要做好初高中数学教学的衔接，既要关注高中数学课程的教学要求，又要关注初中数学课程的教学要求。为此，我们学校专门组织高一教师到临近的初中与初中教师交流，通过听课、座谈、研讨，走访初中学生，较为全面地了解初中数学教学过程及学生学习数学的感受，初步掌握了学生的学习习惯和教师课堂教学习惯，拟定初步衔接计划，其中同课异构活动是在课堂教学方面实施的具体实践。通过这个活动，使全年级数学教师积极参与教学研讨，并尽可能地开设公开课，进行反复研摩，在教学设计和教学过程方面达成共识。

（作者单位：江苏省张家港市沙洲中学）

【内容摘要】初高中数学教学衔接不顺畅是新课标下普遍存在的问题，其中函数的概念的衔接是必须要解决的，二次函数是初高中函数的重点内容之一，也是解决函数概念衔接的入口和突破口。

【关键词】衔接 二次函数 教学设计

高中数学教学衔接是我校的研究课题之一，有很多专家学者和普通教师都很关注并积极进行这方面的研究，其中最为突出的就是关于初高中函数概念的衔接问题，与具体函数相关的内容中，二次函数最为基础且出现频率最高。在最近初高中数学教学衔接的课题研究与高考的联系中，笔者发现函数知识在高考中占有很大的比例，分值是总分的30%左右，其中二次函数又是“龙头”，所以，在教学衔接中做好二次函数的教学衔接是学好函数的基础，为此，课题组专门组织了二次函数教学的同课异构活动。

二次函数的同课异构中，两位老师均从二次函数的表达式入手，展示了二次函数的表达式和二次函数的性质及二次函数和二次不等式之间的联系。如在第一节公开课《二次函数的图象及其性质》中，教师从二次函数的解析式入手，利用函数的对称性解决函数值的大小问题，接着由二次函数的性质联系到2013年高考题，已知f（x）=x2-2ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）

先来看看二次函数在初等数学中的地位。大家知道，二次函数是初等数学中最适合强化学生对于函数概念的理解的函数模型，也是最适合训练学生处理函数相关问题的能力的模型，这些源自于在实际生活与生产实践中有很多能够用初等数学方法处理的非线性问题（一元线性相对简单、直接，三次及以上又过于复杂），除此以外，高中数学中涉及到的二次曲线、二次不等式，甚至三角函数、解三角形、导数、统计等，都需要二次函数相关的处理方法。当然，它也是高考的重点内容。

我们知道，初中学生正处在由形象思维向抽象思维过度的关键时期，他们善于从具体事物中学习，不善于学习抽象的内容。因此，初中的数学教学要采用大量学生已具有的感性知识，以帮助学生思维由低水平向高水平转化。作为高中数学教师，在数学教学中，要使学生的数学思维能力逐步由低层次向高层次发展，即由直观形象思维发展到具体形象思维，再发展到抽象逻辑思维。要尊重学生思维能力的发展特点，为此，在了解学生心理特征和思维特点的前提下，还要做以下几个方面的工作。

一、了解初高中二次函数的差异

初中对二次函数的研究比较简单，只要求学生从图像入手，并根据图像观察，求一个已知二次函数的对称轴，求最值，顶点坐标，能够简单粗略的画出二次函数的图象就可以了。进入高中后需要学生在给定的区间上求最值，实际上是要求学生了解二次函数各个部分的单调性及最值极值等，从以前的简单函数到抽象函数，同时又增加了一些含有字母的讨论，使得函数图像的开口方向（或大小）以及对称轴发生变化，或者是让区间产生变化，使得问题变得更加抽象，所需要的思维量和想象力更强，在学习了函数的奇偶性和单调性等函数性质以后，若在此环节衔接不顺利，会使部分学生一时难以接受，从而失去了学习数学的信心。

二、初中知识对高中知识影响的分析

由于初中学生处在以形象思维为主的阶段，所以对函数的认识大部分是针对整个函数的图像，对于其局部细微处所涉甚少，所以在进入高一阶段，不能让学生停留在初中对二次函数在形象上的认识，高中函数要求结合定义域解决问题，当然，他们在形象上的认识也正好是高中进一步学习的有利条件和基础。

三、完成衔接的对策

首先，我们仍要遵循循序渐进的原则，开始时，仍要在学生已有的形象思维的基础上设置问题。顺序是，借助图像在简单表达式下求不同区间的最值或值域；变换函数表达式，在前一问题的各个区间上求最值或值域；固定函数表达式，求动区间上函数的最值或值域（在区间上引入参变量）；求含参变量的函数在固定的多个区间上的最值或值域。如结合二次函数的图象求函数f（x）=2x2-4x+1在区间[-3，-1][-3，2]上的最值，接着借助图象求函数在区间[1，t]上值域，最后研究函数在区间[t，t+2]上的值域，借助图象让学生感受从整体到局部，从具体到抽象，通过这些研究，学生就会对所学的知识在头脑中进行加工，通过自己的学习体验，对函数的理解更加深刻，为以后学习其它函数的性质打下基础。

其次，我们要完成从单一目标到多重目标的过渡，即由单纯的求最值或值域过渡到函数的其他特定取值问题的处理，其中包括零点、最值、极值点以及简单的不等式。函数的零点可以转化为求方程的根，二次不等式的解可以转化为函数值的正负对应的自变量的取值，求函数的最值可以通过求函数的极值然后和端点值比较大小。

第三我们要完成从孤立问题到系列问题的过渡，这一环节大多在高二高三阶段实施。即由单纯的二次函数逐步推进，向运用方面发展，正如前面提到的，在三角函数、解三角形、向量问题、三次函数的导数等方面加以运用。例题

（1）求函数f（x）=cos2x+2sinx 的值域；

（2）已知向量 满足

=4，求 的取值范围。

最后，我们要完成能让学生自觉实现二次函数相关方法的运用，即能够将表面上不是二次函数的问题转化或化归为二次函数来处理，或者是在学习中能够使用二次函数的相关知识与方法，如已知函数f（x）=x2-mx+m+1，①若函数y=|f（x）|在区间[2，4]上单调递增，求m的取值范围；②求函数y=f（2x），x∈[0，1]的最大值关于m的表达式。此题属于难题，但化归为二次函数后就很简单了①可以先转化为f（x）在[2，4]单增且恒非负或单减且恒非正解决②可以采用换元转化为二次函数的问题。

以上所述二次函数衔接只是一个侧面，要做好初高中数学教学的衔接，既要关注高中数学课程的教学要求，又要关注初中数学课程的教学要求。为此，我们学校专门组织高一教师到临近的初中与初中教师交流，通过听课、座谈、研讨，走访初中学生，较为全面地了解初中数学教学过程及学生学习数学的感受，初步掌握了学生的学习习惯和教师课堂教学习惯，拟定初步衔接计划，其中同课异构活动是在课堂教学方面实施的具体实践。通过这个活动，使全年级数学教师积极参与教学研讨，并尽可能地开设公开课，进行反复研摩，在教学设计和教学过程方面达成共识。

（作者单位：江苏省张家港市沙洲中学）