某类正项级数收敛性的判别法

耿青松

（武汉城市职业学院基础部，湖北 武汉430064）

1 定理及证明

在一定范围内，用D′Alembert判别法进行正项级数的收敛性判别，方法比较简单，计算也容易，但对于如下的正项级数

用D′Alembert判别法是不可行的.若采用应用范围更广的拉贝判别法，虽然有效，但是计算过程比较繁琐.本文中针对这类正项级数，引入两个简便而有效的判别方法.

定理1的证明 1）取n＝2k（k＝1，2，3…），则

当l＜1时由D′Alembert比值判别知收敛，即收敛.

由un＞0可知：数列｝均为单调递增数列，

考虑到数列｛un｝的单调递减性，有

2）当l＞1时根据D′Alembert判别法有必发散，否则若收敛，不妨设发散，则因数列｛un｝单调递减，有

则收敛，矛盾.证毕.

进一步有：

故当l＜1时由D′Alembert比值判别知收敛，故级数收敛.当l＞1时则级数发散，故级数发散.证毕.

2 几个实例

因

应用定理1知，原级数收敛.

例2 讨论p-级数的收敛性.

解 当p＞0时单调递减，

因

应用定理2知：，当p＞1时，p-级数收敛；当0＜p≤1时，p-级数发散.

可见，由定理1不能确定原级数的敛散性.考虑：

根据定理2，原数列收敛.可见定理2比定理1精细，应用范围更广.

［1］刘玉琏.数学分析讲义［M］.5版.北京：高等教育出版社，2008.

［2］吴传生.经济数学——微积分［M］.2版.北京：高等教育出版社，2009.

［3］同济大学数学教研室.高等数学［M］.5版.北京：高等教育出版社，2002.