单元体弹性模量分布对岩石单轴抗压强度影响数值模拟

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(同济大学 土木工程学院，上海 200092)

1 研究背景

试样在单轴压缩时所能承受的最大压应力称为单轴抗压强度(简称为抗压强度)。单轴抗压强度是说明岩石一般力学性质最简单的指标。由于获得这个试验指标比较简单，计算方便，因而单轴压缩试验被广泛地运用于岩土工程领域。

尤明庆等[1]通过对不同高径比的大理岩试样进行单轴压缩试验，研究了试样长度对岩石抗压强度的影响；郭中华等[2]通过工程实地试验，研究了岩体含水量对于单轴压缩试验的影响；陈新等[3]对含一组张开预置裂隙的模拟材料试样开展了单轴压缩试验，研究了节理连通率对于岩石抗压强度的影响。岩石本身是一种复杂的自然地质体，某些岩石材料，尽管从宏观上看似非常均匀，但从微观来看却是很不均匀的。岩石物理性质的非均匀性是造成岩石强度差异的主要原因。

弹性模量是岩石最重要的材料参数之一。一般情况往往选择某一参考值作为整块岩体的弹性模量值。实际上，岩石试样的不同部分弹性模量是各不相同的。而这种差异往往很难把握。本文利用FLAC3D建立单轴压缩试验数值模型，与文献[1]的试验结果进行比较以验证数值模型的可靠性。在控制其他参数的前提下，改变岩体模型各单元体的弹性模量，使各单元体弹性模量在一定区间内分别按均匀变化规律取值、随机取值以及按正态分布规律取值，研究单元体弹性模量分布规律对岩石单轴抗压强度的影响。

2 数值模型建立

试样为圆柱形大理岩(矿物成分较复杂)，直径D=49 mm，长径比L/D=2。为了更好地模拟破坏后情况，本构模型采用应变软化模型。受条件所限，模型的相关参数取工程常用经验值[4]，详细参数值见表1。

表1 模型参数

除了正交各向异性弹性模型和横向同性弹性模型，FLAC3D其它本构模型在弹性范围内都由2个弹性常量进行描述，即体积模量K和切变模量G。在FLAC3D中，常用K和G，而不是弹性模量E和泊松比ν。它们之间的关系如下[5]：

(1)

(2)

由式(1)和式(2)计算得岩体模型体积模量K=0.6 GPa，切变模量G=0.4 GPa。为模型材料参数赋值并进行加载。加载速率为0.002 mm/s，持续加载直到岩体破坏，计算得到岩石抗压强度σ1=87.46 MPa。数值模拟得到的应力-应变曲线与文献[1]试验得到的应力-应变曲线比较见图1，试样剪切波图见图2。

图1 数值模拟与文献[1]试验应力-应变曲线比较

图2 岩石试样的剪切波图

从图1可以看出，利用FLAC3D建立的数值模型基本上能反映单轴压缩试验的实际情况。文献[1]中尤明庆等的试验得到的岩石抗压强度σ=82.5 MPa，数值模拟的结果与该值已非常接近。图2显示了岩石剪切破坏的情况。当轴向压应力达到岩石抗压强度时，岩石将近似沿着45°角方向发生剪切破坏。

3 单元体弹性模量E在一定区间内按均匀变化规律取值

实际情况岩石试样各部分的弹性模量并非一个固定值。一般而言，某一个岩石试样各个部分弹性模量在一定范围内取值不尽相同，这取决于岩石的均匀性。假设弹性模量沿着试样长度方向均匀递增，其它条件不变。试样的弹性模量E在参考值±10%，±20%及±30%区间范围内变化。把试样沿着长度方向划分为5段、10段及20段，相邻两段间弹性模量递增。划分的段数越多，则弹性模量变化的均匀性越好。参考值±30%区间分10段情况下弹性模量的均匀递增图见图3。数值模拟得到的试样抗压强度见表2。

图3 弹性模量E在参考值±30%区间均匀递增图(分10段)

表2 弹性模量E沿试样长度方向均匀递增时试样抗压强度

从表2可以看出，随着划分段数增加，试样弹性模量变化均匀性越来越好，试样抗压强度越来越大。可以预见的是随着划分段数进一步增加，试样抗压强度将越来越接近于原来的计算结果σ1。整个岩体模型的弹性模量取某同一个参考值的情况实际上是岩石各部分弹性模量变化极端均匀的情况，即：σ1≥σE均匀分布。

4 单元体弹性模量E在一定区间内随机取值

假设岩体模型各单元体的弹性模量在参考值±10%,±20%及±30%三个区间内随机取值，其它条件不变。由于弹性模量在区间内随机取值，为确保结果的准确性，在每个区间内进行10次加载，取10次加载得到岩石抗压强度的平均值。数值计算结果见表3，弹性模量在上述3个区间内随机取值时的应力-应变曲线与原数值模拟应力-应变曲线比较见图4。

表3 弹性模量E在3个区间内随机取值时试样抗压强度

图4 弹性模量E在3个区间内随机取值与原应力-应变曲线比较

从表3及图4可以看出，弹性模量E在上述3个区间内随机取值时，岩石抗压强度明显减小。与原计算得到的岩石抗压强度σ1相比，当弹性模量E盘区划分及回采步骤示意图在参考值±10%，±20%,±30%区间内随机取值时，岩石抗压强度分别减小了12.2%，14.4%,16.7%。随着弹性模量随机取值区间增大，岩石抗压强度减小。这表明岩石各部分弹性模量取值的随机性越大，岩石的抗压强度越小。这是由于岩石内部性质的差异会影响岩石的整体抗压强度。其他材料参数不变的情况下，随着弹性模量取值区间增大，岩石内部性质的差异性变大，则岩石的整体抗压强度减小。

5 单元体弹性模量E在一定区间内按正态分布规律取值

假设岩体模型各单元体弹性模量E在参考值±30%的区间内按正态分布规律取值，其它条件不变，即要求每个单元体的弹性模量在参考值附近取值的概率最大，在偏离参考值越远处取值的概率越小。正态分布密度函数如下[6]：

(3)

式中μ取弹性模量参考值1,单位为GPa。选定区间为参考值±30%,要求弹性模量E在该区间外取值的概率接近于0，即

(4)

利用Matlab计算软件对上述式子求解，得σ=0.1。此时可以保证弹性模量在该区间外取值的概率几乎为0。此时的应力-应变曲线与原来数值模拟得到的应力-应变曲线以及E在相同区间内随机取值时的应力-应变曲线比较见图5。数值计算得到岩石抗压强度σ=82.33 MPa。这个值比相同区间内弹性模量随机取值时岩石的抗压强度大，比σ1小。表明在相同取值区间上，弹性模量按正态分布规律取值时岩石抗压强度大于E随机取值时岩石的抗压强度。但两者都小于整个岩体模型弹性模量取相同的参考值时的抗压强度，即

σ1≥σE正态分布≥σE随机分布。

图5 弹性模量E按正态分布规律取值与原应力-应变曲线及相同区间上E随机取值时应力-应变曲线比较(参考值±30%区间)

从岩石内部性质均匀性的角度来说，岩石均匀性越好，它的抗压强度越大。岩体模型各单元体弹性模量E在一定区间内按正态分布规律取值时岩石的均匀性必然比E随机取值时的情况要好，比整个岩体模型弹性模量取相同参考值时的情况要差。均匀性的差异决定了岩石抗压强度的不同。

6 结 论

本文利用FLAC3D建立单轴压缩试验数值模型。通过实际试验数据验证数值模型可靠性。控制其它材料参数，改变岩石弹性模量，使岩体模型各单元体弹性模量在一定区间内分别按均匀变化规律取值、随机取值以及按正态分布规律取值，研究单元体弹性模量分布规律对岩石单轴抗压强度的影响。主要结论如下：

(1) 在控制其它参数的前提下，岩体模型各单元体弹性模量分布的均匀性越好，岩石抗压强度越大，最大值等于整个岩体模型弹性模量取相同参考值时的计算结果，即

σ1≥σE均匀分布。

(2) 岩体模型各单元体弹性模量在一定区间内随机取值时，岩石抗压强度减小。与原计算得到的岩石抗压强度σ1相比，当弹性模量在参考值±10%，±20%,±30%的区间内随机取值时，岩石抗压强度分别减小了12.2%，14.4%,16.7%。且弹性模量随机取值区间越大，岩石的抗压强度越小。这是由于内部性质的差异会影响岩石的整体抗压强度。其他材料参数不变的情况下，随着弹性模量随机取值区间增大，岩石内部性质的差异性变大，则岩石的整体抗压强度减小。

(3) 在相同取值区间上(本研究中为参考值±30%)，岩体模型各单元体弹性模量按正态分布规律取值时岩石抗压强度大于E随机取值时岩石的抗压强度。但两者都小于整个岩体弹性模量取相同参考值时岩石的抗压强度，即

σ1≥σE正态分布≥σE随机分布。

参考文献：

[1] 尤明庆，苏承东.大理岩试样的长度对单轴压缩试验的影响[J].岩石力学与工程学报，2004,23(22)：3754-3760 .(YOU Ming-qing, SU Cheng-dong.Effect of Length of Fine and Coarse Crystal Marble Specimens on Uniaxial Compression Tests[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2004, 23(22)：3754-3760 .(in Chinese))

[2] 郭中华，朱珍德，杨志祥，等.岩石强度特征的单轴压缩试验研究[J].河海大学学报，2002,30(2):93-96.(GUO Zhong-hua, ZHU Zhen-de, YANG Zhi-xiang，etal.Study on Rock Strength Characteristics Based on Uniaxial Compression Tests[J].Journal of Hohai University,2002,30(2):93-96.(in Chinese))

[3] 陈 新，廖志红，李德建.节理倾角及连通率对岩体强度、变形影响的单轴压缩试验研究[J].岩石力学与工程学报，2011, 30 (4)：781-789.(CHEN Xin, LIAO ZHI-hong, LI De-jian.Experimental Study of Effects of Joint Inclination Angle and Connectivity Rate on Strength and Deformation Properties of Rock Masses under Uniaxial Compression[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2011, 30 (4)：781-789.(in Chinese))

[4] 孙书伟，林 杭，任连伟.FLAC3D在岩土工程中的应用[M].北京：中国水利水电出版社，2011.(SUN Shu-wei, LIN Hang, REN Lian-wei.The Use of FLAC3Din Geotechnical Engineering[M].Beijing: China Water Power Press, 2011.(in Chinese))

[5] 彭文斌.FLAC3D实用教程[M].北京：机械工业出版社，2007.(PENG Wen-bin.The Practice of FLAC3D[M].Beijing: China Machine Press, 2007.(in Chinese))

[6] 吴小夏，许 芳，朱家砚.概率论与数理统计[M].武汉：华中科技大学出版社，2013.(WU Xiao-xia, XU Fang, ZHU Jia-yan.Probability and Statistics[M].Wuhan: Huazhong University of Science and Technology Press,2013.(in Chinese))