基于非线性破坏准则的浅埋偏压隧道稳定性分析*

张佳华 杨小礼 张标 许敬叔 杨子汉

(中南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410075)

由于受地形条件或者经济成本的限制以及避免生态环境被破坏等原因，山岭隧道通常沿河傍山修建，则浅埋和偏压成为了影响隧道工程安全的重要因素.隧道埋深较浅则围岩的自稳能力较差，地形不对称就会引起隧道支护结构受力不对称而形成偏压，这两种情况通常都会造成重大的工程安全事故［1-2］.因此，对浅埋偏压隧道稳定性的研究具有非常重要的科研价值和现实意义.

而关于浅埋偏压隧道的稳定性问题，基于理论分析的研究成果大多数都是采用极限平衡法，即铁路隧道设计规范或者公路隧道设计规范等［3-4］.如:杨小礼等［5］采用极限平衡法研究了水平地震力对浅埋偏压隧道围岩稳定性的影响，并且求出了围岩压力和破裂角的解析解，有力地对公路隧道设计规范进行了完善和补充.安永林［6］采用公路隧道设计规范中浅埋偏压隧道围岩压力的公式，研究了地表倾角、隧道埋深以及围岩参数等对围岩压力和破裂角的影响.Yang 等［7-8］采用极限平衡法推导出三孔浅埋偏压隧道围岩压力的解析解，并且分析了净距对水平方向围岩压力和竖直方向围岩压力的影响.

虽然极限平衡法在隧道工程中得到了推广和应用，而且优势也比较明显，但是仍然存在很多不足，尤其是在计算过程中忽略了土体应力与应变的关系.而极限分析法却正好弥补了这个缺点，它用一种理想的方式考虑了土体的本构关系，即流动法则，从而在计算中能够得到更准确的解［9］.所以，目前国内外的一部分学者都开始采用极限分析法来研究浅埋隧道的稳定性.Atkinson 等［10］基于假定的破坏模式采用极限分析法推导了浅埋隧道支护力的解析解.Davis 等［11］假定了浅埋隧道的4 种破坏模式，并且利用极限分析法研究了隧道围岩的稳定性.杨峰等［12］提出了浅埋隧道的两种平动破坏模式，并且运用极限分析法求解了围岩压力的上限解.

但是，上述研究都只是针对浅埋隧道，对于浅埋偏压隧道，绝大多数研究都还是基于极限平衡理论.换言之，即采用极限分析法对浅埋偏压隧道进行的研究非常少.所以，为了更准确地得到浅埋偏压隧道的解析解，更真实地了解浅埋偏压隧道的稳定性，文中基于非线性Mohr-Coulomb 破坏准则，采用极限分析法对浅埋偏压隧道稳定性系数、支护力的大小以及破坏面的位置进行研究，为今后浅埋偏压隧道的支护设计提供理论依据和参考价值.

1 定义与定理

1.1 非线性Mohr-Coulomb 破坏准则

国内外众多研究表明，土体破坏时剪应力和正应力呈非线性关系，线性关系仅仅是其中一个特例.在应力空间σn-τ 中，非线性Mohr-Coulomb 破坏准则可表述为

式中:τ 为剪应力;σn为正应力;c0为初始粘聚力;σt为轴向拉应力;m 为非线性系数，且m=1 时，剪应力与正应力的非线性关系就退化成了线性关系.

在应力空间σn-τ 中，非线性破坏准则表现为一条曲线，如果作一条直线与该曲线相切，则切线的表达式为

式中，ct、tan φt分别表示切线的截距与斜率.

由式(1)和式(2)可得非线性破坏准则下土体参数的表达式:

在应力空间σn-τ 中，当横坐标一定时，切线上的纵坐标始终大于或者等于曲线上的纵坐标，故采用式(3)所计算出的解必定是真实值的一个上限解［13-17］.

1.2 上限定理

对于极限分析上限定理，Chen［9］认为，在运动许可的速度场中，根据外力做的功率与内部能量耗散功率相等所确定的荷载一定不小于破坏状态下的真实荷载，其表达式为

式中:Fi为极限状态下的荷载;为速度矢量;S 为破坏面长度;A 为塑性区面积;γi为土体容重;σij和分别为土体的应力与应变;τ、σn分别为破坏面上的剪应力与正应力.

2 破坏模式

运用极限分析上限定理来研究浅埋偏压隧道的稳定性，必须先构建合适的破坏模式.针对不排水黏土层(φ=0°)，Davis 等［11］构建了浅埋隧道的4 种破坏模式，并且对这4 种破坏模式进行了对比和分析.文中选取其中一种较优的破坏模式，结合实际工程情况得到了一般岩土材料(c-φ 材料)的破坏模式，并且将其应用于浅埋偏压隧道中，则浅埋偏压隧道的破坏模式和速度场如图1 所示.此外，在浅埋偏压隧道的破坏模式中，为了体现出浅埋、偏压的特点，破坏面延伸至地表，而且决定破坏面位置的破裂角不相等，即θ1≠θ2，则2θ1与2θ2所对应的边墙长度也不相等，围岩压力σT假设为径向均布荷载，故左右两边墙上围岩压力的合力也不相等.换言之，左右两边墙的合力不相等体现了偏压对围岩压力的影响，而破裂角不相等则体现了偏压对破坏面的影响.

图1 浅埋偏压隧道的破坏模式和速度场Fig.1 Collapse mechanism and velocity field of shallow bias tunnel

3 计算过程

把浅埋偏压隧道的破坏模式看作平面应变二维问题来进行处理时，根据极限分析上限定理的要求，在计算中还做了以下假设:①围岩(土体)服从相关联流动规则;②在破坏过程中滑块体积不变.

3.1 速度

围岩(土体)服从非线性破坏准则和相关联流动规则，则在破坏模式中速度与间断线之间的夹角为φt;在运动许可的速度场中，速度又满足闭合条件，如图1(b)所示，则破坏模式中的各项速度分别为

3.2 外力做的功率和内部能量耗散功率

在浅埋偏压隧道中，外力做的功率有土重做的功率Pγ、地表荷载做的功率Ps、孔隙水压力做的功率Pu和支护力做的功率PT;内部能量耗散功率PV为各间断线耗散功率的总和.图2 为浅埋偏压隧道破坏模式示意图.

图2 浅埋偏压隧道破坏模式的示意图Fig.2 Schematic diagram of collapse mechanism of shallow bias tunnel

由图2 可得，破坏模式中MG、ME 等间断线长度和S1、S2等滑块面积分别表示为

1)重力做功功率

2)地表荷载做的功率

3)孔隙水压力做的功率

由图2 可得，辅助线长度与多边形面积的计算公式如下

根据Bishop［18］的观点，可以将孔隙水压力看作是土体自重应力的一部分，则

式中:u 为孔隙水压力;ru为孔隙水压力系数;γ 为土体容重;z 为土体任意一点到地表面的竖直距离.

此外，Viratjandr 等［19］认为孔隙水压力做的功率等于孔隙水使土颗粒膨胀做的功率与孔隙水在边界上做的功率的总和，其表达式为

由于在破坏过程中假定土体的体积不发生变化，即应变率˙ε=0，故孔隙水压力做的功率就只等于孔隙水在边界上做的功率，其表达式为

4)支护力做的功率

5)内部能量耗散功率

3.3 支护力与稳定性系数

根据极限分析上限定理，由式(19)、(20)、(34)、(35)、(36)可得，浅埋偏压隧道支护力的解析解为

Broms 等［20］评价浅埋隧道的稳定性时提出了稳定性系数N 的概念，并且认为N≤6 时浅埋隧道处于稳定状态，N＞6 时浅埋隧道处于不稳定状态.具体表达式为

式中:σs为地表荷载;σT为支护力;γ 为土体容重;cu为土体不排水时的抗剪强度.

由式(37)可得，围岩压力(支护力)σT是关于θ1、θ2和φt的函数，如果要求解围岩压力σT为最大值，则可以将其计算转化成为一个求最大值的数学模型.约束条件为

换言之，在满足式(39)的约束条件下，寻找目标函数σT=f(θ1，θ2，φt)的最大值，该最大值即为围岩压力的最优解，将围岩压力的最优解代入式(38)则可得到稳定性系数的最优解，此过程可通过Matlab 软件中的序列二次迭代算法来实现.

4 结果分析

4.1 对比分析

基于线性破坏准则，Davis 等［11］针对不排水黏土层(φ=0°)得到了浅埋隧道稳定性系数的上限解.为了验证文中方法的正确性，在计算过程中，首先令非线性系数m=1、内摩擦角φ=0°、地面坡角α=0°、地表荷载σs=0 kPa、孔隙水压力系数ru=0、土体容重γ=20 kN/m3，即将岩土材料的非线性破坏准则退化成线性破坏准则，并且把文中其他条件简化相同，然后再将文中稳定性系数的计算结果与Davis 等［11］研究成果进行对比，如表1 所示.由表1 可得，在无土重和有土重的情况下，文中稳定性系数的计算结果与文献［11］基本一致，且最大误差小于10%，故验证了文中方法的正确性.

表1 稳定性系数计算结果对比Table 1 Comparison of stability number calculated results

4.2 参数分析

基于图1 构建的浅埋偏压隧道的破坏模式(两边墙合力的不相等体现了偏压对围岩压力的影响，破裂角的不相等体现了偏压对破坏面的影响)，在非线性破坏准则下研究各参数对围岩压力以及破坏面的影响.

4.2.1 非线性系数的影响

在非线性破坏准则下，研究岩土材料的非线性系数对浅埋偏压隧道支护力和破坏模式的影响.当非线性系数m=1.1～1.5，洞径D=10 m，土体容重γ=20kN/m3，初始黏聚力c0=10 kPa，轴向拉应力σt=24.73 kPa，地表荷载σs=150 kPa，孔隙水压力系数ru=0.3，地面坡角α=30°时，由文中方法计算得到非线性系数对浅埋偏压隧道支护力σT和破坏模式的影响分别如图3、图4 所示.

图3 非线性系数对支护力的影响Fig.3 Influence of nonlinear coefficient on supporting force

图4 非线性系数对破坏模式的影响(C=15 m)Fig.4 Influence of nonlinear coefficient on collapse mechanism(C=15 m)

由图3 可得，当埋深C 一定时，支护力σT随非线性系数m 的增大呈明显增大的趋势;当非线性系数m 一定时，支护力σT随埋深C 的增大而增大.由此可见，在围岩较差或埋深较大的情况下，浅埋偏压隧道所需的支护力较大，因此在开挖过程中应加强支护措施.由图4 可得，非线性系数m 对浅埋偏压隧道破坏面的位置也有较大的影响，即随着非线性系数m 的增大，浅埋偏压隧道的破坏面呈向外扩展的趋势.这表明围岩越差，在开挖过程中形成的塑性区范围越大，故对于较差的围岩应加强支护措施，防止发生垮塌事故.

4.2.2 地表荷载的影响

在非线性破坏准则下，研究地表荷载对浅埋偏压隧道支护力和破坏模式的影响.当埋深C=15m，洞径D=10 m，土体容重γ=20 kN/m3，初始黏聚力c0=10 kPa，轴向拉应力σt=24.73 kPa，地表荷载σs=50～250 kPa，孔隙水压力系数ru=0.3，地面坡角α=30°时，由文中方法计算得到地表荷载对浅埋偏压隧道支护力和破坏模式的影响分别如图5、图6 所示.

图5 地表荷载对支护力的影响Fig.5 Influence of ground load on supporting force

图6 地表荷载对破坏模式的影响(m=1.3)Fig.6 Influence of ground load on collapse mechanism(m=1.3)

由图5 可得，当非线性系数m 一定时，支护力σT随地表荷载σs的增大呈明显增大的趋势.因此，在地表荷载较大的情况下，浅埋偏压隧道所需的支护力较大，故在开挖过程中应加强支护措施.由图6可得，地表荷载σs对浅埋偏压隧道破坏面的位置也有较大的影响，即随着地表荷载σs的增大，浅埋偏压隧道的破坏面呈向外扩展的趋势.这表明地表荷载较大，在开挖过程中形成的塑性区范围较大，故对于地表荷载较大的地段应加强支护措施.

4.2.3 孔隙水压力系数的影响

在非线性破坏准则下，研究孔隙水压力系数对浅埋偏压隧道支护力和破坏模式的影响.当埋深C=15 m，洞径D=10 m，土体容重γ=20 kN/m3，初始黏聚力c0=10 kPa，轴向拉应力σt=24.73 kPa，地表荷载σs=150 kPa，孔隙水压力系数ru=0.1～0.5，地面坡角α=30°时，由文中方法计算得到孔隙水压力系数对浅埋偏压隧道支护力和破坏模式的影响如图7、图8 所示.

由图7 可得，当非线性系数m 一定时，支护力σT随孔隙水压力系数ru的增大呈明显增大的趋势.因此，在围岩赋存较丰富孔隙水的情况下，浅埋偏压隧道所需的支护力较大，故在开挖过程中应做好支护措施，避免发生垮塌事故.由图8 可得，孔隙水压力系数ru对浅埋偏压隧道破坏面的位置也有较大的影响，即随着孔隙水压力系数ru的增大，浅埋偏压隧道的破坏面呈向外扩展的趋势.这表明围岩中赋存的孔隙水越丰富，在开挖过程中产生的塑性区范围越大，所以孔隙水较丰富的地段应该加强支护措施和防水措施，以防止发生突泥涌水甚至垮塌事故.

图7 孔隙水压力系数对支护力的影响Fig.7 Influence of coefficient of pore water pressure on sup porting force

图8 孔隙水压力系数对破坏模式的影响(m=1.3)Fig.8 Influence of coefficient of pore water pressure on collapse mechanism(m=1.3)

4.2.4 地面坡角的影响

在非线性破坏准则下，研究地面坡角对浅埋偏压隧道支护力和破坏模式的影响.当埋深C=15 m，洞径D=10 m，土体容重γ=20 kN/m3，初始黏聚力c0=10 kPa，轴向拉应力σt=24.73 kPa，地表荷载σs=150 kPa，孔隙水压力系数ru=0.3，地面坡角α=10°～50°时，由文中方法计算得到地面坡角对浅埋偏压隧道支护力和破坏模式的影响如图9、图10所示.

图9 地面坡角对支护力的影响Fig.9 Influence of ground slope angle on supporting force

图10 地面坡角对破坏模式的影响(m=1.3)Fig.10 Influence of ground slope angle on collapse mechanism(m=1.3)

由图9 可知，当非线性系数m 一定时，支护力σT随地面坡角α 的增大呈明显增大的趋势;且非线性系数m 越大，支护力σT所增加的效果越明显.因此，在地面坡角较大或围岩较差的情况下，浅埋偏压隧道所需的支护力较大，在开挖过程中一定要注意加强支护措施，防止发生垮塌事故.由图10 可得，地面坡角α 对浅埋偏压隧道破坏面的位置也有较大的影响，即随着地面坡角α 的增大，浅埋偏压隧道的破坏面呈向外扩展的趋势.这表明地面坡角α 较大，在开挖过程中由偏压引起的塑性区范围较大，故为了防止因偏压引起的垮塌事故，对地面坡角较大的浅埋偏压隧道应注意加强支护措施.

5 结论

(1)运用极限分析上限定理推导出非线性破坏准则下浅埋偏压隧道稳定性系数和支护力的解析解，并且采用序列二次迭代算法得到了稳定性系数和支护力的优化解.

(2)令非线性系数m=1，即非线性破坏准则退化成线性破坏准则，且其他条件简化相同后，将用文中方法计算得到稳定性系数的上限解与Davis 等［11］研究成果进行了对比，其结果基本一致，且最大误差小于10%，验证了文中方法的正确性.

(3)在非线性破坏准则下，随着非线性系数、埋深、地表荷载、孔隙水压力系数和地面坡角的增加，浅埋偏压隧道的支护力增大，且塑性区范围也相应增大，破坏面呈向外扩展的趋势.因此，对于浅埋偏压隧道，在围岩较差、埋深较大、地表荷载较大、孔隙水较丰富以及地面坡角较大的地段应加强支护措施，防止发生突泥涌水甚至垮塌事故.

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