对数感特点及其教学的思考

马 玲，张玉成

(海南师范大学初等教育学院，海南海口571158)

2001年出版的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称《实验稿》)第一次提出“数感”这一概念，随后引起了学者广泛关注与探讨。2012年，《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《标准》)明确给出了数感的确切含义。本文对《标准》中数感的内涵进行了解读，并对数感的特点及其教学进行探讨。

一 数感的内涵

(一)《实验稿》和《标准》对数感的阐述

2001年7月，我国新一轮基础教育数学课程改革颁布的《实验稿》，在总体目标中提出要使学生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维”①中华人民共和国教育部，全日制义务教育数学课程标准(实验稿)，北京:北京师范大学出版社，2001.7。。在内容标准三个学段都分别阐述了培养和发展学生数感的问题。但是，《实验稿》中对“数感”这一概念并未给出确切定义。

经过10年课程改革与实践，关于数感，研究者们在理论和实践上都进行了一定探索和有益尝试。在认真听取各方意见，吸纳前期实验研究成果基础上，2012年1月出版发行的《标准》不仅将数感作为核心概念提出，而且对数感内涵及功能作了表述。《标准》指出:“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”②中华人民共和国教育部，义务教育数学课程标准(2011版)，北京:北京师范大学出版社，2012，5。

(二)数感内涵解读

《标准》将数感定义为一种感悟，感悟一词出自《后汉书·丁鸿传》:“鸿感悟，垂涕叹息。”从工具书中查询，主要有几种解释:《现代汉语词典》(新版410页):“有所感触而领悟”;《辞源》(缩印新版622页):“有所感而觉悟”。这几种解释都侧重于有感有悟，由感而悟。因此，将数感表述为感悟，也使得数感具有两重属性:既有“感”，如感受、感觉、感知，又有“悟”，如悟性、领悟，即既有感性认识又有理性思维。

数感将感悟主要集中于数与数量、数量关系和运算结果估计这三方面，不仅将数感“细致化”，而且有利于教师在教学中更好地把握数感培养的几条内容主线。史宁中教授在《数学思想概论——数与数量关系的抽象》一书中系统全面阐述了数的表示，他认为:数来源于对数量本质的抽象。数与数量，实际上就是建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系，包括数的认识、数的意义、数的表示。数量之间关系包括数的大小关系及其所对应的数量之间的多少关系，也包括变化的量之间函数关系等。对运算结果估计的感悟也是数感的重要方面。

二 数感的特点

(一)基础性

《标准》将数感放在数学课程10个核心概念首位，一方面突出了数感培养的重要性，另一方面也说明了数感的基础性。从认知心理学角度来讲，不可否认，数感的产生首先依赖于数学知识的内化。数与数量、数量关系等数学知识是数学知识体系的基础。在小学阶段学习的整数、小数、分数、百分数的认识、加减乘除的计算都是最基础知识，它们不仅是进一步学习所必备，而且在小学阶段学习其他领域内容时也要经常用到。因此，数感具有基础性。

(二)直觉性

数感能凭借感知对象、语言、动作等经验直接地对数与数量、数量关系和运算结果估计作出敏锐判定，表现为瞬时性理解和记忆。美藉匈牙利数学家乔治·波利亚在论述直觉时说过，“它是任性的、固执的，它们可能出乎意料地闪在我们的面前”。数学史上有一个非常有名的故事:印度数学奇才拉马努金在听到英国数学家哈代提到1729这个数字时，立刻就知道这个数字能用两种不同方式表示为两个正立方数之和的最小的数，1729=13+123=93+103。拉马努金在学术上的成就一定程度上和数感有关，但不能否认，数感的获得并不是完全依靠天赋，而是需要后天的训练和积累。对数字或数学的敏感反应，很大程度上依赖于人们经过长期积累而形成的数字或数学网络结构。

(三)抽象性

数感主要是对数与数量、数量关系和运算结果估计的感悟。感悟对象方面，以数与数量为例，它们并不是对客观世界量性规律性的直接反映，而是抽象思维的产物。正如我们不曾见到作为数学研究对象的真正的“一”，只能见到某一个人、某一棵树、某一间房等。从感悟本身来讲，个体受到客观事物刺激，由直接感知到理性思维，通过逻辑思维的渗透和数学语言的铺垫，再由理性到感性。经过不断实践检验，个体感悟由感性到理性、再由理性到感性，循环往复、逐步上升，就能抽象出客观事物本质属性。所以，数学阅历丰富的人才能够从普遍事物中发现数学规律，感悟到数学思想方法、数学观念等抽象概念。

(四)层次性

从心理学角度来讲，数感首先是从感官接触客观事物开始，通过神经介质传递到大脑，激活先前储存在大脑中的相应知识模块，形成感觉和知觉，进而通过思维逻辑和数学语言活化，融会贯通，最终形成或重构新的知识模块。这跟皮亚杰儿童的认知发展“同化－顺应－平衡”是一个道理，是一个由感性到理性、由形象到抽象、由浅入深、由低级到高级，层层递进的认识过程。史宁中认为学生数感的发展是个循序渐进过程，需要经历感悟多少、用数表示多少、建立数之间关联、对数进行运算、形成数系概念等过程。国内外研究表明，随着年级升高，学生的数感表现呈现上升趋势。因此，数感具有层次性。

(五)差异性

每个人对数学知识的接受能力，对数与数量、数量关系和运算结果估计的“悟”因个体生理和心理差异，以及所处语言文化背景不同而表现出差异性。因此，数感是有个体差异的。《标准》的基本理念是:使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。我们没有必要让人人都成为数学家，但至少应当使每一个公民都能获得良好的数学教育。因此，在数感教学中要注意学生数感发展的差异性，以使每个学生都能获得良好发展。

三 对数感教学的思考

认识和理解数感的目的就在于培养学生的数感，然而，数感的建立并不是一蹴而就，而是在学习和生活过程中逐步体验和建立起来的。教学过程应当结合具体学习内容，以数感特点为指导，加强学生数感培养。

(一)结合具体内容，培养学生数感

《标准》将课程内容分为“数与代数”、“图形与几何”、“概率与统计”和“综合与实践”四个部分，而数感主要体现在“数与代数”部分。“综合与实践”部分设置对于培养学生问题意识、应用意识和创新意识十分有利，同时还可以积累学生活动经验，提高学生解决实际问题能力。它与其他三个部分紧密联系在一起，从一定程度上来说，它是使其他三个部分在数学思考、问题解决、情感态度这三方面目标上得以实现的有效途径。因此，数感教学应体现在“数与代数”和“综合与实践”部分。

通过对《标准》中数感内涵的解读，结合《标准》中“数与代数”和“综合与实践”部分主要内容，可以将数与数量、数量关系和运算结果估计这三个方面感悟细化为数的意义、数的表示、数量关系，数的运算、数量的估计和数的问题解决这六个方面。教师对数感教学应从这六个方面入手，深入钻研教材和数学课程标准，有意识地设计具体目标，提供有助于培养学生数感的情景，探索与之相适应的教学方法，把数感培养任务落实到具体教学过程。

(二)数感培养要从小开始，从基础开始

数与数量、数量关系与运算结果估计主要分布在小学第一学段和第二学段。这部分内容是日后学习的基础。史宁中教授就曾指出:“数感发展的关键期是小学低年级。”因此，数感培养要从小开始，从基础开始。在小学甚至学前时期就要将学生数感培养渗透到教学中。

(三)数感培养要联系生活实际

数学家弗赖登塔尔认为:“数学源于现实，寓于现实，用于现实。”数感具有抽象性，学生在小学阶段要认识数，学习整数、分数、小数等抽象概念。如果像传统教学那样，由教师用“填鸭式”教学方式告诉学生这是什么，应该怎么样，答案是什么，就完全割裂了知识与生活之间联系，这些概念在学生头脑中就只是一些符号，毫无实际意义。因此，在教学中要注意知识与生活实际联系，让学生接触现实社会，紧密联系日常生活，从而感受到数学无处不在。比如在认识10以内数时，可以让学生通过观察图片，以及生活中像这些数字的实物来认识这些数，可以让学生来联想这些数还像什么，还可以让学生用自己喜欢的方式表示这些数。

(四)在问题解决中培养数感

学习数学的最终目的在于应用数学解决实际问题，而且只有将知识运用于解决现实生活问题，才能真正理解它。因此，在数感教学中要让学生更多地接触和理解实际问题，要使学生学会从复杂的实际情境中发现问题，提出问题，并尝试去解决问题。教师要将《标准》认真贯彻落实，设计一些综合实践活动帮助学生解决实际生活问题，进而培养学生数感。

另外，数感具有层次性和差异性特点。因此，在数感教学过程中，要遵循学生数感发展普遍规律，循序渐进进行数感教学，同时，还要遵循学生数感发展个体差异，因材施教。

“冰冻三尺非一日之寒，水滴石穿非一日之功”，学生数感培养不是一蹴而就的。教师在培养学生数感时既要结合具体教学内容，设计教学目标，又要以数感特点为指导，注重联系生活实际。

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