具有随机供需特征的物流超网络优化模型研究

彭永涛，张 锦，王 坤

（西南交通大学 交通运输与物流学院，成都610031）

具有随机供需特征的物流超网络优化模型研究

彭永涛，张 锦＊，王 坤

（西南交通大学 交通运输与物流学院，成都610031）

为了能向日益复杂的物流需求提供针对性的物流服务，本文构造了物流供需超网络，分析了其结构特征，考虑需求网络中的随机需求特性和供给网络中的供给能力随机变化特点，以及物流活动带来的货损情况，运用供需匹配思想，以商品的需求和供给为变量，货损及供给能力为约束条件，建立随机供需特征的超网络模型.将模型转换为变分不等式，并设计了基于改进的欧拉算法的求解方法.算例计算分析表明，以需求网络中每条通道的物流广义费用去优化设计物流供给方案，可提高物流服务质量，降低物流运作成本，而供给能力不确定与货损直接影响了供给网络与需求网络之间的匹配程度.

物流工程；超网络；供需匹配；随机性；变分不等式；

1 引 言

近年来，物流业正在逐渐形成一个网络化的综合服务体系，物流网络化是现代物流发展的必然趋势[1].将物流网络分为需求网络和供给网络，需求网络指的是在一定范围内由生产、流通、消费等活动所引发物流需求的起止点及物品位移线路构成的网络，供给网络是由物流基础设施及物流活动所构成的网络，为需求网络中节点和线路提供运输、库存、包装及装卸等物流服务.随着社会发展，需求网络呈现不同的状态，供给网络在实际运作中通常受到资源供给能力限制，从而不能为需求网络提供高效的服务.因此深入分析需求网络的特性，建立与之相匹配的服务供给网络，可有效地解决复杂的物流需求问题，提高经济效益和社会效益.

目前，学者们大都仅从供给的角度对物流网络进行了探讨研究，例如建立及设计物流服务网络[2,3]，考虑节点选址及库存决策[4,5]，优化路径选择[6,7]等，以求得物流成本最小或收益最大.将需求与供给作为研究视角，在物流领域中并不多见，部分学者主要从宏观角度分析了物流需求与供给之间的关系，相互影响因素等，其中王之泰[8]研究了物流供给与需求之间的矛盾及双边关系.李佳成等[9]将物流需求方看作用户网络，应用自适应运作机制研究物流网络如何满足用户网络需求的问题.在微观层面上，张锦[10,11]定义了包含需求网络与供给网络的流线网络，构建了供给与需求的匹配度函数，建立了流线优化模型，归纳了实际物流活动的一般规律，但没有深入剖析需求网络的需求特性和供给网络的运作特征.

本文将通过考虑需求网络的随机需求、供给网络的随机供给状态，以及服务过程的货损等条件，构建以物流供需广义费用匹配期望值最大化为目标的优化模型，然后将模型转换为等价的变分不等式，设计改进的欧拉算法对模型进行求解和分析.

2 问题描述

超网络是高于而又超于现存网络的网络，广泛存在于供应链、交通、物流等网络中[12-14].本部分构建了物流供需超网络结构，其包含需求网络及供给网络，如图1所示，网络中实线表示的是商品的流动通道，虚线表示的是供需匹配关系.在需求网络中，终端客户对商品的具体需求表现为对商品数量和到达时间上的要求，网络向上游传输物流需求信息，将终端需求映射到网络中每个节点和线路上，节点和线路上反应出此时此刻对商品在数量和时间具体要求.根据需求网络的需求信息，供给网络将商品向下游传输，使得两个网络中对应节点和线路上需求与供给的物流广义费用匹配，具体匹配应包括数量上匹配及时间上的匹配.本文问题可以描述为：在随机需求及随机供给能力的状态下，以供需匹配期望值最大为目标，建立物流超网络模型，求得最佳的物流服务供给方案，来满足需求网络中每个节点和线路的具体要求.

描述网络结构，G=[N,L]，其中N表示网络中的节点集合，L表示网络的连线集合，a,∀a∈L表示网络中任意相邻节点间的连线，称为物流通道，wk表示连接(Oi,Rk)i=1,…,I, k=1,…,K的物流序对,h表示连接货源地Oi到需求点Rk的线路,称为物流链，Hwk连接物流序对(Oi,Rk)i=1…,I, k=1,…K的所有物流链集合.

图1 物流供需超网络结构Fig.1 Logistics supply-demand supernetwork

3 供需匹配超网络优化模型

3.1 模型假设

（1）用户对商品的需求会考虑品牌和产地的差异性，使得需求带有随机性，终端的随机需求折射到网络中每个节点和线路上，需求网络整体表现为随机性.

（2）物流供给网络中每条通道供给能力受到设施设备和运载工具状态影响而表示为随机性.

（3）在物流供给服务中，由于人为因素及外在条件等原因，使得商品在运输及储存过程中受到某种程度损坏.

（4）物流需求广义费用函数及供给广义费用函数均为连续可导和二阶导数有界凸函数.

3.2 变量定义

Dk,k=1,…,K——需求网络中终端客户的商品需求数量，为随机变量.

Dk=E(Dk), k=1,…,K——每个终端客户的商品需求量期望值.

Yh,∀h∈Hwk——需求网络中物流链上的商品需求数量.

Qa, ∀a∈L——需求网络中每条物流通道上的商品需求数量，为随机变量，Q为商品需求量集合.

E(Qa)=Qa, ∀a∈L——需求网络中每条物流通道上的商品需求期望数量，E(Q)为商品需求期望集合.

δah={0,1},∀a∈L,h∈Hwk——需求网络中物流链上的商品需求因子.

Ca(Qa), ∀a∈L——需求网络中每条通道上的商品需求费用，包括运输需求费用、仓储需求费用及配送需求费用.

Ta(Qa), ∀a∈L——需求网络中每条通道上的商品需求时间，包括运输需求时间、储存需求时间及配送需求时间.

dk, k=1,…,K——供给网络中供给终端客户的商品数量.

yh,∀h∈Hwk——供给网络中物流链上的商品供给数量.

qa, ∀a∈L——货损前，供给网络中每条通道上的商品供给数量，q为商品供给量集合.

q', ∀a∈L——货损后，供给网络中每条通道

a上的商品供给数量.

βa,∀a∈L,βa∈[0,1)——供给网络中物流通道上的货损参数.

βah,∀a∈L,h∈Hwk——供给网络中物流链上的商品供给因子.

μh,∀h∈Hwk——供给网络中终端客户的商品供给因子.

ua,∀a∈L——供给网络中物流通道的供给能力，为随机变量.

ua=E(ua) ,∀a∈L——每条物流通道上的供给能力期望值.

ca(qa),∀a∈L——供给网络中每条通道上的商品实际供给服务费用，包括运输供给费用、仓储供给费用及配送供给费用.

ta(qa),∀a∈L——供给网络中每条通道上的商品实际供给时间，包括实际运输时间、实际储存时间及实际的配送时间.

πa(βa,qa) ,∀a∈L——供给网络中通道上货物损失费用函数.

3.3 目标函数

以供给满足需求为目标，使得物流服务的供给广义费用最大匹配客户要求的物流需求广义费用，考虑到需求随机变量和供给能力随机特性，建立超网络供需匹配期望值最大化目标，目标函数如下：

Fa(Qa)为需求网络中任意物流通道上的需求广义费用，由需求时间及物流需求费用组成：

式中 χ1,χ2表示需求时间和需求费用的权重.

Φa(qa)为供给网络中任意物流通道上的供给广义费用，由供给时间、实际消耗费用及货损费用组成：

式中 ω1,ω2,ω3为供给费用、供给时间及损失费用所占的权重.

3.4 约束条件

约束式（4）表示需求网络中客户对商品需求量Dk服从概率密度函数 fk(x)的随机变量；式（5）表示终端客户商品需求量等于连接所有客户的物流链上需求量之和；式（6）表示需求网络中物流通道上商品需求量等于包括所有此通道的物流链上需求量之和；式（7）表示供给网络中物流链与物流通道的商品供给因子之间关系，当此物流链包含具有货损的通道时，物流链供给因子为,否则为δah；式（8）表示供给网络中物流链与终端客户商品供给因子之间关系；式（9）表示供给网络中物流通道上货损前与货损后的商品供给数量关系；式（10）表示货损后，物流链上实际供给数量与物流通道实际供给数量关系；式（11）表示货损后，物流链上实际供给数量与终端客户实际供给数量关系；式（12）表示物流通道供给能力ua服从概率密度函数ϕa(x)的随机变量；式（13）表示物流通道商品实际供给量小于供给能力；式（14）表示自变量取值范围.

4 模型转化及算法设计

定理1由供需匹配期望值最大化函数式（1）及约束式（2）-式（14）构成的随机规划模型为凸规划模型.

证明由假设条件可知，物流需求广义费用函数及供给广义费用函数均为连续可微和二阶导数有界凸函数，可知供需匹配期望值最大化目标式（1）为凸函数，又因等式约束式（5）-式（11）均为线性约束，不等式约束式（13）为凸式，则根据文献[15]定理4.1，当含有随机变量的目标函数和不等式约束式为凸函数，含随机变量的等式约束为线性函数，则随机规划模型为凸规划模型，因此本文所建随机规划模型为凸规划模型，由于篇幅原因，具体证明过程不再给出.

又根据文献[12]中的定理，凸规划求解过程可以转换为等价的变分不等式求解问题.首先将供需匹配期望值最大化目标转换为

通过以上模型转换，现证明上述变分不等式的解存在且唯一.

定理2如果变分不等式（16）中的函数是单调的且为Lipschitz连续，则变分不等式解存在且唯一.

证明

先前假设了目标中的所有函数为凸的和连续可微，由此得到式（17）中两式均大于等于零，则变分不等式中的函数为单调的.因为目标中函数为二阶导数有界函数，根据微分中值定理下式成立：

由上式可得到变分不等式为Lipschitz连续，故变分不等式（16）解存在且唯一.

求解算法本文通过改进欧拉算法对变分不等式(16)进行求解，欧拉算法是由Nagurney提出一种求解变分不等式的算法，具有良好的收敛性，并成功得到应用[14]，其数学表达式为

式中 Pκ是投影在可行集κ的投影算子；F是变分不等式中的函数；τ为迭代的次序；{ατ} 是一个收 敛 的 序 列 ，即，当

本文对式(19)进行修正改进，下式为改进的欧拉算法：

采用改进的欧拉算法对变分不等式（16）进行求解计算，具体步骤如下：

步骤1初始化.

设 (Q0,q0,λ0)∈K,设 0≤ατ≤1 L，L是 Lipschitz常数.

步骤2计算.计算(Qτ,qτ,λτ)∈K,求解

步骤3修正，改进.

步骤4收敛验证.如果∀aτ∈L,ε＞0,停止计算，否则转入第二步继续计算，τ=τ+1.

5 算例求解和分析

为了便于分析，考虑简单的一般性的物流网络，如图2所示，包括3个货源供应点、3个配送中心、3个需求终端.事实上，货源供应点、配送中心、终端客户的个数可不受限制地被扩展至多个的情形，即本文所构模型能支持复杂的物流网络场景.图2中每个网络中有21条物流通道，连接每个终端客户各有9条物流链，共27条物流链.

图2 供需超网络示例图Fig.2 Supply and demand supernetwork network topology

假设需求网络中的终端客户的产品需求量在一段时间内服从均匀分布X～U(a,b)，分布区间为[0，40]、[0，30]、[0，35].供给网络中供给能力服从正态分布X～N(μ,σ2)，通道1-9的 μ的取值范围为[5,14],σ2取值范围为[1,4]，通道10-12的μ的取值范围为[15,25],σ2取值范围为[2,5]，通道13-21的μ的取值范围为[6,12],σ2取值范围为[3,6]，计算过程随机选取 μ,δ2值.为保证参数设置的一般性意义，不考虑相关参量的单位.

为论述简单，对物流需求费用函数Ca(Qa)、需求时间函数Ta(Qa)，供给物流费用ca(qa)，供给时间ta(qa)，损失函数 μa(βa,qa)不进行具体设置，而直接给出广义费用函数Fa(Qa),Φa(qa)的表达式，如表1所示.

首先假设在供给网络的供给活动中，不存在货品的损失，即βa=0,∀a∈L，供给广义函数中损失费用为0，此时，需求网络的广义费用函数与供给网络的供给函数表达式相同，设f={Q,q}（见表1）.

应用matlab2011（a）设计改进的Euler算法，在CPU2.53G，内存2G的环境下进行计算，令，收敛精度为ε=0.000 1，经过10 948次迭代，得出供给网络与需求网络的物流广义费用匹配度为93%，每条线路上的广义费用及匹配程度如图3所示.需求网络与服务供给网络中每条物流通道的商品流量如表2所示.

表1 供需网络中的广义费用函数TTaabbllee 11 The total cost in the Supply-demand network

图3 通道上物流广义费用值及匹配程度Fig.3 Logistics total cost and matching degree of the links

表2 需求网络与供给网络中通道的商品流量TTaabbllee 22 The flow of product of the links

图3中灰色代表需求广义费用，其费用为2 262.93，黑色代表供给广义费用，其费用为2 263.45，比需求费用增加了 0.52，从图中可以看出通道11、16上的供需广义费差值较大.从表2的数据上可以看出，通道11、16的商品需求量为20.01、8.17，供给量为18.89、7.00，由计算可得第11、16条通道随机生成的供给能力为19、7.可见，供给网络中物流通道上随机生成的供给能力影响了商品供给量的分配，当随机生成的供给能力较小时，某些通道上的商品供给量就不能满足通道上的需求量，当随机生成的供给能力较大时，某些通道上的商品供给量满足了需求量，但广义费用就会升高，因此应尽量控制好通道上供给能力，使其很好地服务于需求，而又不产生浪费.表3为供给网络中物流链的商品流量.

表3 服务供给网络中物流链上的商品流量TTaabbllee 33 The flow of product of the paths in the supply netwwoorrkk

进一步假设供给网络中商品会受到某种程度的损坏，部分通道的损失因子为βb={0.02,0.01,0.03,0.04,0.03,0.02,0.02}, b={2,6,9,14,15,21}

供给网络通道2、6、9、14、15、21的广义费用函数将增加商品损失费用，增加后的广义费用函数如表4

所示.

表4 某些通道上供给广义成本函数改变值TTaabbllee 44 The total cost of change of the some links

供给能力同样随机生成，经过10 799次迭代，得出供给网络与需求网络的物流广义费用匹配度为89%，明显低于没有货损时的匹配值.每条线路的广义费用及匹配度如图4所示.

从图4中明显可以看出，产生货损的物流通道上供给广义费用要明显高于需求广义费用，其因为供给广义费用增加了货损费用，这些通道的匹配程度较低.此时商品通道的供给量如表5所示.

图4 通道上物流广义费用及匹配度Fig 4 Logistics total cost and matching degree of the links

由于通道上商品的损失，导致供给网络的终端供给量不能满足客户的需求，终端客户供给量分别为19.5、14.6、16.9，减少了0.5、0.4及0.6.

表5 物流服务供给网络供给量TTaabbllee 55 The flow of product of the links in the supply netwwoorrkk

综上分析，匹配物流需求网络中通道上的广义费用，可以优化减少物流供给方案的运作成本，而资源能力的随机生成使得物流供给方案并不能达到最优效果，商品损失则会导致终端客户需求量得不到满足.因此在实际物流操作中，应充分掌握物流基础设施的供给能力，避免运输过程中对商品带来的损失，制定高效的运作方案，以充分满足物流的需求.

表6 两个优化算法性能对比Table 6 Peerrformance comparison of two optimization algorithms

为了说明改进的欧拉算法的有效性，将改进的欧拉算法与欧拉算法对上述算例进行计算并比较分析，表6显示了两个算法性能和计算结果.从表中可以看出，无论是带有货损还是无货损的算例，改进的欧拉算法在计算时间上都要快于欧拉算法，迭代次数上要少于欧拉算法.同时计算结果表明，改进的欧拉算法计算出的物流需求广义费用与供给广义费用值较贴近，供需匹配度较大.由此说明改进的欧拉算法在计算效率和效果上要好于欧拉算法.

6 研究结论

本文以供需广义费用匹配期望最大为目标，随机的供给能力及货损为约束条件，建立了供需超网络模型.通过算例计算分析得到，从供需的视角研究物流网络问题可以有效地指导物流的全局运作，掌握经济领域中不同环节、不同层次、不同对象的具体供给和需求关系，最终满足社会上的物流需要，同时达到降低物流成本的目的.未来研究中，将要考虑多品类的商品物流供需问题，以及针对具体的商品特性，如农产品、血液及时尚服装等，建立物流供需网络模型，还将研究动态需求下的物流供需关系.

[1]鞠颂东,徐杰.物流网络理论及其研究意义和方法[J].中国流通经济,2007,8:10-13.[JU S D,XU J.The logis⁃tics network theory and its significance&research meth⁃od[J].China Business and Market,2007,8:10-13.]

[2]NAGURNEY A.Optimal supply chain network design and redesign at minimal total cost and with demand sat⁃isfaction[J].Int.J.Production Economics.2010,128(1): 200-208.

[3]秦进，史峰，缪立新，等.考虑随机需求和库存决策的多商品物流网络设计的优化模型与算法[J].系统工程理论与实践,2009,29(4):176-183.[QING J,SHI F, MIAO L X,et al.Optimal model and algorithm for multi-commodity logistics network design considering stochastic demand and inventory control[J].Systems En⁃gineering-Theory&Practice,2009,29(4):176-183.]

[4]KLOSE A,DREXL A.Facility location models for distri⁃bution system design[J].European Journal of Operation⁃al Research,2005,162(1):4-29.

[5]王保华，何世伟.不确定环境下物流中心选址鲁棒优化模型及其算法[J].交通运输系统工程与信息,2009,9 (2):69-74.[WANG B H,HE S W.Robust optimization model and algorithm for logistics center location and al⁃location under uncertain environment[J].Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology,2009,9(2):69-74.]

[6]郎茂祥.动态车辆配送优化调度问题的两阶段算法[J].交通运输系统工程与信息,2009,9(4):140-141. [LANG M X.Two-phase a lgorithm for dynamic distribu⁃tion vehicle scheduling problem[J].Journal of Transpor⁃tation Systems Engineering and Information Technology, 2009,9(4):140-141]

[7]SHEN Z J,QI L.Incorporating inventory and routing costs in strategic location models[J].European Journal of Operational Research,2007,179(2):372-389.

[8]王之泰,物流服务供给与需求研究[J].物流技术,2009 (7):1-8.[WANG ZT.Study on logistics service supply and demand[J]Logistics Technology,2009(7):1-8.]

[9]李佳成,鞠颂东,陈默涵,面向用户网络的物流网络自适应运作初探[J].北京交通大学学报（社会科学版）, 2010,9(4):24-30.[LI J CH,JU S D,CHEN M H.Pre⁃liminary study on adaptive operation of user-networkoriented logistics network[J].Journal of Beijing Jiaotong University(Social Sciences Edition),2010,9(4):24-30.]

[10]张锦,王坤,以物流供需匹配度为目标的流线优化模型[J].西南交通大学学报,2010.45(2):324-330. [ZHANG J,WANG K.Stream line optimization model with matching degree between logistics supply and de⁃mand as objective function[J].Journal of Southwest Jiao⁃tong Univesity,2010,45(2):324-330.]

[11]张锦,王坤,流线网络优化的变分不等式模型与算法研究[J].西南交通大学学报,2011.46(3):481-487. [ZHANG J,WANG K.Variational inequality model and algorithm for stream line network optimization[J].Jour⁃nal of Southwest Jiaotong Univesity,2011,46(3):481-487.]

[12]NAGURNGY A.Supernetworks:The science of complexi⁃ty[J].University of Shanghai for science and Technolo⁃gy,2011.33(3):205-227.

[13]NAGURNGY A.On the relationship between supply chain and transportation network equilibria:A supernet⁃work equivalence with computations[J].Transportation Research E，2006,42：293-316.

[14]NAGURNGY A,Masoumi A H.Supply chain network design of a sustainable blood banking system[J].Interna⁃tional Series in Operations Research&Management Sci⁃ence，2012，174(1):49-72.

[15]刘宝碇，赵瑞清.随机规划与模糊规划[M].北京：清华大学出版社,1998:66-70.[LIU B D,ZHAO R Q.Sto⁃chastic programming and fuzz programming[M].Beijing: Tsinghua University Press,1998:66-70.]

Logistics Supernetwork Optimization Model with Stochastic Supply and Demand Characteristics

PENG Yong-tao,ZHANG Jin,WANG Kun
(School of Transportation and Logistics,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,china)

For providing increasingly complex logistics demand with specific logistics services,the structure characteristic of logistics superntwork is analyzed.The stochastic characteristics of demand network,stochastically changed of supply capacities under different conditions of facilities,and damage of product by operating on the supply network is considered.Using the idea of matching supply and demand,the supply and demand characteristics of the supernetwork model is established with the commodity supply and demand as variables,while damage and supply capacity as constraint conditions.The model is converted into a variational inequality,and design a solving method based on the modified euler algorithm.Though the numerical example,logistics supply program is optimized according to logistics demand of the links in the demand network,then it should provide quality of service and reduce cost of operation,as well as the uncertainty of supply capacity and the damage directly influence degree of match between supply and demand network.

logistics engineering;supernetwork;supply-demand matching;stochastic;variational inequalities

1009-6744（2014）02-0184-08

U11;F253

A

2013-9-26

2013-12-06录用日期：2013-12-13

国家社科基金资助项目（11BJL054）.

彭永涛（1986-），男，河北邯郸人，博士生.*通讯作者：zhjswjtu@swjtu.cn