分别含左右手材料的三层平板波导中光导模的比较研究

唐裕霞， 罗 成， 彭家华， 王湘玲

(重庆工商大学 计算机科学与信息工程学院，重庆 400067)

光波导是由光透明介质(如石英玻璃)构成的传输光频电磁波的导行结构。光波导的传输原理是在不同折射率的介质分界面上，电磁波的全反射现象使光波局限在波导及其周围有限区域内传播。早期人们在大量的实验与理论分析中已经得知了光在传统介质光波导(包括理想平板介质光波导、光纤)中传播，其模式受到介质参数如材质芯层厚度、材质折射率及入射光频率等的影响。1964年物理学家V.G.Veselago最早提出左手介质的概念，他从麦克斯韦方程出发，分析了电磁波在电导率和磁导率同时为负的介质里传播情况，从理论指出这种介质的存在是不违反物理学定律的，并且指出应用这种物质将会出现一系列异常的电磁特性，比如具有反向多普勒效应，平板聚焦，凹透镜汇聚等奇异现象。此后，这类人工介质就一直成为国际物理学和电磁学的研究热点。将左手材料引入三层平板波导中，研究了TE波在由左手材料与右手材料填充的非对称三层平板波导中的传播模式，对其进行了详细的比较研究，并从数理上对三层波导中的导模数进行了定性分析。

1 模型分析

图1 理想三层平板波导的结构

由麦克斯韦方程：

(1)

当略去因子exp(-iωt+iβz)时可以得到TE波的方程组：

(2)

遵守的波动方程：

(3)

对于传导模式(即导模)，光场的能量被限制在波导的芯区内，在衬底和覆盖层内远离场区处的场应为零。因此，光场在芯区是振荡场，在包层和衬底为衰减场，平板波导中的电场分布为

(4)

式(4)中

考虑到Ey(x)、Hy在x=-d，0处连续的条件可得：

(5)

(6)

(7)

又Hz在x=-d，0处连续，并代入式(6)可得：

(8)

消去φ可得：

(9)

两边取正切得

(10)

对于芯层为传统的右手材料三层平面波导，取μr1=μr2=μr3=1，则波导中的模式场的特征方程为

(11)

根据上两种波导的特征方程，做出函数tanx和F(x)的曲线，得到它们交点对应的横坐标就能够求出特征方程的对应解，这就是利用直接图解法对来分析光波导中的模式。

2 模拟计算分析

2.1 芯层厚度对波导模式的影响

取入射光波波长λ=1.55e-6m。对于右手材料波导，取芯层材料折射率n1=1.56；对于含左手材料的波导，芯层材料相对介电常数为εr1=-1.562，相对磁导率为μr1=-1，以保证左右手波导芯层折射率只相差一个负号。包层和衬底层分别与右手材料波导的包层和衬底层相同，取n2=1.2，n3=1；μr2=μr3=-1。芯层厚度d分别取0.2e-6、2e-6、4e-6、6e-6m，可分别得出这两种波导的导模图解，如图2(a)、图2(b)所示。

图2 不同芯层厚度的含左手材料与传统右手材料三层平板波导中的导模图解

由图2可看出，当厚度为0.2e-6m时，左、右手材料波导中没有导模；当厚度为2e-6m时，左手材料波导中有1个导模，右手材料中有2个导模；当厚度为4e-6m时，左手材料波导中有3个导模，右手材料中有4个导模；当厚度为6e-6m时，左手材料波导中有5个导模，右手材料中有6个导模可见，不管是哪种材料，波导中导模的数目将随着d的增大而增多，而当厚度d=0.2e-6m时，没有发现导模，说明厚度在很小时，也没有导模存在，除这种情况外左手材料中导模数比右手材料少。

图3 不同芯层厚度的含左手材料的三层平板波导中导模的模式分布图

图4 不同芯层厚度的传统右手材料三层平板波导中的模式分布图

图3和图4为图2中各模式的模场分布图。图3(a)～(c)分别对应图2(a)中d分别取2e-6、4e-6、6e-6m时的模式分布图；图4(a)～(c)分别对应图2(b)中d分别取2e-6、4e-6、6e-6m时的模式分布图。当d=0.2e-6m时，不存在导模。由图3(a)可看出，当d为2e-6m时，含左手材料的波导中有1种导模，为TE1模，与图2(a)所分析的结果一致，而该厚度下，右手材料的三层波导中有基模TE0、TE1模存在(如图4(a))。由图3(b)和图4(b)比较，当波导芯层厚度d为4e-6m时，含左手材料的波导中的导模有TE1、TE2、TE33种模，不存在TE0、TE4模，而右手材料波导中存在4种导模，分别为TE0、TE1、TE2、TE4模，TE3模缺失；当d为6e-6m时，右手材料波导中存在6种导模，分别为TE0、TE1、TE2、TE3、TE4、TE6，TE5模缺失，而含左手材料的波导中的导模有TE1、TE2、TE3、TE4、TE55种波导，TE0、TE6模缺失。可见，左手材料波导中都不存在TE0模式，而右手材料都有TE0模式，含左手材料波导中的模式缺失数比右手材料要多。利用这种模式缺失性质， 有望实现按不同需求选择相应的导波模式传输。

2.2 入射波频率对波导模式的影响

现取波导芯层厚度d=4e-6m，其他参数不变，改变入射波的波长，即改变入射波频率，分析两种波导中的电磁波模式如图5(a)、(b)所示。

图5 不同入射波长下含左手材料与传统的右手材料三层平板波导中的导模图解

由图5可看出，当波长为9e-6m时，左、右手材料波导中都没有导模存在；当波长为2.2e-6m时，左手材料波导中有2个导模，右手材料中有3个导模；当波长为1.55e-6m时，左手材料波导中有3个导模，右手材料中有4个导模；当波长为1.2e-6m时，左手材料波导中有4个导模，右手材料中有5个导模可见，不管是哪种材料，波导中导模的数目将随着波长λ的增加而减少，即随着频率的减小而减小；而当频率很小时，模式不存在，除此情况外左手材料导模数小于右手材料。

图6和图7分别为图5中各模式的模场分布图。图6(a)-(c)分别对应图5(a)中λ取1.2、1.55、2.2μm的导模的模式分布图。图7(a)-(c)分别对应图5(b)中λ取1.2、1.55、2.2μm的导模的模式分布图。λ取9μm时，模场不存在。通过对图6和图7的比较可看出，当λ为1.2e-6m时， 左手材料有TE1、TE2、TE3、TE44种导模，TE0、TE5模式缺失；右手材料为TE0、TE1、TE2、TE3、TE5模，TE4模式缺失。当λ为1.55e-6m时，左手材料波导中的导模分别为TE1、TE2、TE3模，有3种，TE0、TE4模式缺失；右手材料有TE0、TE1、TE2、TE44种导模，TE3模缺失。当λ为2.2e-6m时，左手材料波导中的导模有TE1、TE22种导模，TE0模式缺失；右手材料波导中存在3种导模，分别为TE0、TE1、TE2模。可见，不管入射波频率如何，在含左手材料的波导中始终不存在TE0模式，且存在高阶模缺失的现象。而右手材料波导中都存在TE0模式，在频率高时也存在模式缺失的现象。

2.3 波导中导模数的数理分析

由前面的模拟分析可以看出，对于三层波导，波导中导模数目随光波频率的减小而减少、随芯层厚度变小而减少。对此，对特征方程进行了定性分析。

图6 不同入射波长下含左手材料的三层平板波导中导模的模式分布图

图7 不同入射波长下右手材料的三层平板波导中导模的模式分布图

因此，在非对称情况下，不论是左手材料波导还是右手材料波导，模式数N随λ的变大即光波频率的减小而变小、随d的减小而变小。当d减少到一定程度或波长λ的变大到一定程度，将没有导模。并且当左手材料μr1=-1，μr2=μr3=1时，N1≥N2，即右手材料波导导模数不少于左手材料波导导模数，这与图像反映出的规律相一致。

3 结 论

研究了中间芯层分别为左手材料和右手材料层，衬底层和包层为两种不同右手材料的三层理想平板波导结构，重点分析了TE偏振波在这种结构中的传播特性，应用图解法分析了分别在含左手材料和右手材料的两种波导中的导模数及其模式分布。研究表明，随着芯层厚度的减小，光波导能同时存在多种模式的可能性越小；随着入射波频率的减小，光波导能同时存在的导模数也减少，且当厚度d或入射波频率减少到一定值时，导模将不存在。研究还表明，即使芯层厚度、入射波频率改变，非对称光波导中，含左手材料的三层波导中始终不存在TE0模，同时存在高阶模缺失的现象；而传统的右手材料三层波导中始终有TE0模，也存在模式缺失现象。根据这一性质，有望按不同需求选择相应的导波模式传输。还从数理上对两种波导中的导模数加以了分析，发现当左手材料μr1=-1，μr2=μr3=1、右手材料μr1=μr2=μr3=1时，其他参数相同情况下，右手材料导模数不少于左手材料导模数。

参考文献：

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