忆阻器模拟电路及其低通滤波电路研究
2014-08-08贺少斌陆益民
贺少斌+陆益民
收稿日期：2013-05-20
基金项目：国家自然科学基金项目（51167002）
作者简介：贺少斌(1985—) , 男, 湖南娄底人, 硕士研究生, 研究方向: 复杂系统控制理论及应用。
文章编号：1003-6199(2014)02-0057-07
摘 要：设计一个具有斜8字型伏安特性的忆阻器模拟电路模型，并将此模型应用于构建低通滤波电路。进行Multisim仿真并制作了相应的实物电路，仿真和实验结果表明该电路模型可以正确模拟忆阻器的特性，由其构建的忆阻低通滤波电路具有时变特性。
关键词：忆阻器; 模拟电路模型;低通滤波电路
中图分类号：TM546文献标识码：A
Analog Circuit Based Memristor Model and Its Application in Lowpass Filter Circuit
HE Shaobin, LU Yimin
(College of Electrical Engineering, Guangxi University, Nanning,Guangxi 530004,China)
Abstract:An analog circuit based memristor model is developed using conventional circuit elements and is applied to a MC lowpass filter. Simulation and experimental results show that the proposed model has a hysteretic voltampere characteristic and the corresponding lowpass filter exhibits timevarying characteristics.
Key words:memristor; analog circuit model; lowpass filter circuit
1 引 言
忆阻器［1-5］是一种具有可变电阻的二端口无源器件。早在1971年蔡少棠就假设存在缺失的第四种无源基本元件——忆阻器，但直到2008年惠普实验室的研究人员才宣布实现了一种固态的忆阻器［2］。当有电压作用于忆阻器两端时，忆阻器的阻值会发生变化。惠普忆阻器有两个重要的电路特性：一是忆阻器具有斜8字型的伏安特性曲线；二是对忆阻器对频率具有敏感性，即偏置电压的频率越高伏安特性曲线越窄，越接近于一个线性的电阻。忆阻器在计算机、神经网络、模拟电路等方面都具有潜在的应用价值［6-8］，它将会同晶体管一样，给电子行业带来巨大的变革。本文研究了基于忆阻原理的滤波电路特性。
2 忆阻器的电路模型
忆阻器的应用潜力是巨大的，但目前市场上还购买不到现成的忆阻器，本文利用现有的有源和无源器件来模拟忆阻器特性。忆阻器的电路模型如图1。
图1 忆阻器的电路模型
在图1中，电压V1是忆阻器两端的电压，电流i1即流过忆阻器的电流。运算放大器U1组成的是一个电压跟随器，其作用是为了防止负载效应。运算放大器U2及电阻R1和电容C1组成一个积分器，其输出端电位V4与忆阻器的磁通量φ成正比。AD633JN是一个四象限模拟乘法器，它用来实现忆阻器两端电压V1与V4相乘。通过分析我们可以得到以下的方程组：
V2=V1V4=－1R1C1∫t0V2dtV5=V1•V410(1)
从而得到忆阻器的电流
i1=iR2=V1－V5R2=V1R2(1+110R1C1∫t0V1dt)(2)
将式(2)两边同时对时间t积分，得到
q=φR2(1+120R1C1φ)=αφ+12βφ2 (3)
其中α=1R2，β=110R1R2C1，q为流过忆阻器的电荷量，φ为通过忆阻器的磁通量。
由式(2)两边同时除以V1可得忆导
计算技术与自动化2014年6月
第33卷第2期贺少斌等：忆阻器模拟电路及其低通滤波电路研究
W=1R2+110R1R2C1∫t0V1dt=α+β∫t0V1dt (4)
由式(4)可知，忆导W与通过忆阻器的磁通量φ是线性关系。当V1=Asinωt时，W(t)=α+β∫t0Asin ωtdt=α+βAω(1－cos ωt)。当角频率ω固定时，忆导W是一个以ω为周期变化的值，其最大值为α+2βA/ω，最小值为α。而忆阻值M=1/W，因此忆阻M也是一个以ω为周期变化的值，其最大值为1/α即R2，最小值为1/(α+2βA/ω)。
惠普忆阻器的一个显著特征便是在正弦信号的激励下其伏安特性曲线是一个斜8字型，为了说明本文中的忆阻器具有该特性，我们用Multisim仿真软件对忆阻器的电路模型进行了仿真，仿真电路如图2。仿真参数为：R1=50kΩ，R2=2kΩ，R3=100kΩ，C1=1μF，V1(t)=5sin10πt(V)，得到忆阻器的电压、电流波形及电压-电流的相图如图3所示。图3a中蓝色曲线为电压波形，红色曲线为电流波形，图3b为伏安特性曲线，为一斜8字形曲线。 图4是忆阻器阻值的变化曲线，从图中可看出忆阻是一个周期变化的曲线，有最大值2000Ω和最小值1222Ω。图5给出了忆阻器在不同频率正弦激励下的伏安特性曲线，从图中可以看出频率越高，伏安特性曲线越接近一条直线，当频率为无穷大时，忆阻效应消失，忆阻器就相当于一个普通的电阻。
图2 忆阻器Multisim仿真电路
(a) 忆阻器电压及电流波形
(b) 忆阻器伏安特性曲线
图3 忆阻器电压电流波形及伏安特性曲线
图4 忆阻器阻值变化曲线
(a) f=5Hz
(b) f=10Hz
(c) f=20Hz
(d) f=100Hz
图5 不同频率正弦激励下的伏安特性曲线
3 基于忆阻器的低通滤波电路
滤波器是一种对不同频率的信号具有不同抑制特性的电路，RC无源滤波器是最简单的模拟滤波器，它具有成本低、运行稳定、技术相对成熟、选择性高等优势，在模拟电路中有着广泛的应用。基于忆阻器对频率的敏感性，用忆阻器M代替RC无源低通滤波器中的电阻R组成MC低通滤波器［9-10］，通过仿真和实验来分析MC滤波电路。
(a)RC低通滤波电路(b) MC低通滤波电路
图6 低通滤波电路
图6a所示的RC低通电路是最简单的低通滤波器，一般称为无源低通滤波器。电压源作为输入端，电容作为低通输出端。电阻的阻抗为R，电容的阻抗为1/jωC，系统的传递函数
H(jω)=VoutVin=1/jωCR+1/jωC=11+jωRC (5)
由上式可知，一阶RC无源低通滤波电路的传递函数与时间无关，是一个时不变系统。不论输入信号如何，系统的传递函数都保持不变，仅与RC电路中电阻和电容的参数有关。
图6b是MC低通滤波器的电路原理图，与RC低通滤波器不同的是用忆阻器替代了电阻，电容两端电压仍然作为低通输出端。由基尔霍夫电路定律可得
Vin=Mi+Vout=1WCdVoutdt+Vout (6)
令Vin=ejωt，Vout=H(jω)Vin,并将式(4)代入上式中得
ejωt=jωCH(jω)ejωtα+β∫t0(ejωt－H(jω)ejωt)dt+H(jω)ejωt(7)
两边同时消去一个ejwt化简得到
H(jω)－1=ω2CH(jω)jωα+β(1－H(jω))(ejωt－1) (8)
由式(8)可知，系统函数包含时间因子，因此由忆阻器和电容组成的滤波电路是一个时变系统，从而无法直接通过系统传递函数来描述MC滤波器。
图7是MC低通滤波器的Multisim仿真电路图，电容C2与忆阻器串联，电容C2两端的电压作为低通滤波器的输出电压，输入电压为V1(t)=8sinωt(V)。图8给出了不同频率下输入电压（蓝色）和输出电压（红色）的波形。从中可以看出，低频时，输出电压幅度比较大，衰减小，而高频时，输出电压幅度比较小，衰减大。因此MC低通滤波电路能保证低频信号顺利通过，高频信号得到抑制。图9给出了MC低通滤波器工作时忆阻器的电压电流波形及伏安特性曲线。
图7 MC低通滤波器Multisim仿真电路图
(a)f=5Hz
(b)f=10Hz
(c)f=20Hz
(d)f=100Hz
图8 MC低通滤波器输入输出电压波形
图9 MC低通滤波器工作时忆阻器的
电压电流波形及伏安特性曲线
4 电路实验与分析
为了观察忆阻器斜8字形的伏安特性曲线，必须将忆阻器的电流信号转化为电压信号才能利用示波器显示出来。注意到图1中忆阻器的电流与电阻R2是成正比的，比例系数等于电阻R2的大小即2000倍，因此只要测出R2两端的电压即可。这就需要用到一个电压减法电路如图11所示，输入信号U1和U2分别通过R1和R2接到运放的反相输入端和同相输入端，输出电压经过R4反馈到反相输入端。在MC低通滤波实验中，为了测量输出电压（电容C2两端的电压）的波形，也需要用到此电压减法电路。
图10 MC低通滤波电路实物图
图11 电压减法器电路
根据电阻分压的关系有
U+=R3R2+R3U2，U－=R4R1+R4U1+R1R1+R4U0(9)
由U+=U－可得
R3R2+R3U2=R4R1+R4U1+R1R1+R4U0(10)
本实验中取R1=R2=R3=R4=100kΩ，即Uo=U2-U1。
首先来检验单独忆阻器的伏安特性，取偏置电压为V1(t)=5sin10πt(V)，忆阻器的电压可以直接利用示波器测量，忆阻器电流利用电压减法器可以测量出，得到电压电流的时域波形和相图如图12所示。图12 a中黄色曲线为忆阻器两端的电压即偏置电压信号，绿色曲线为放大2000倍后的电流波形，这与Multisim的仿真结果保持一致。图12 b所示的忆阻器伏安特性曲线是一个斜8字型，验证了理论与仿真的正确性。改变偏置电压的频率可以得到不同形状的伏安特性曲线如图13所示，频率越高，斜8字型曲线越窄，忆阻效应减弱，当频率无穷大时，为一条直线，与普通的电阻伏安特性相同。
(a)忆阻器电压和电流波形
(b) 伏安特性曲线
图12 偏置电压为V1(t)=5sin10πt(V)时
忆阻器电压和电流波形及伏安特性曲线
接下来测试MC低通滤波器，取偏置电压为V1(t)=8sinωt(V)，输入电压可以直接利用示波器测量，电容两端的输出电压需要用到电压减法器测量，改变输入电压的频率可以得到输入输出的电压波形如图14所示。从图中可以看出随着输入电压频率的增大，输出电压的幅度得到了抑制，从而实现了低通滤波。
(a)f=5Hz
(b)f=10Hz
(c)f=20Hz
(d)f=100Hz
图13 不同频率正弦偏置下的忆阻器伏安特性曲线
(a)f=5Hz
(b)f=10Hz
(c)f=20Hz
(d)f=100Hz
图14 偏置电压改变频率MC
滤波器的输入输出电压波形
5 结 论
本文设计了一个具有斜8字型伏安特性曲线的忆阻器模拟电路，忆阻器的阻值会随着偏置电压的作用而发生改变。忆阻器模拟电路的Multisim仿真和电路实验验证工作表明本忆阻器的模拟电路能够较好地模拟忆阻器的特性，可以将其应用于有关忆阻器的其它电路中，为忆阻器拓展电路的研究打下基础。此外，本文还基于忆阻器模拟电路研究了由其构成的低通滤波电路，仿真结果和实验结果表明该滤波电路是一个时变电路，为进一步利用该电路的时变低通滤波特性奠定了基础。
参考文献
［1］ CHUA L O. Memristor-the missing circuit element ［J］.IEEE Trans Circuit Theory, 1971, 18(5): 507-519.
［2］ STRUKOV D B,SNIDER G S,STEWART D R, et al. The missing memristor found ［J］.Nature, 2008, 453:80- 83.
［3］ WILLIAMS S. How we found the missing memristor ［J］. IEEE Spectrum, 2008, 45(12):24-31.
［4］ CHUA L O, KANG S M. Memristive devices and systems［J］.Proc IEEE, 1976, 64 (2):209-223.
［5］ DI V M,PERSHIN Y V, CHUA L O. Circuit elements with memory: memristors, memcapacitors, and meminductors ［J］.Proc IEEE,2009,97(10):1717-1724.
［6］ RAJA T,MOURAD S. Digtial logic implementation in memristorbased crossbars ［C］ Int Conf Commun, Circ Syst. Santa Clara,CA,USA. 2009: 939-943
［7］ CONG J, XIAO BJ. mrFPGA: a novel FPGA architecture with memristorbased reconfiguration ［C］ IEEE Int Symp Nanoscale Architectures. Los Angeles, CA,USA.2001: 1-8.
［8］ LAIHO M, LEHTONEN E. Cellular nanoscale network cell with memristors for local implication logic and synapses ［C］ IEEE Int Symp Circ Syst. Turku, Finland. 2010: 2051-2054.
［9］ JOGLEKAR Y N,WOLFS J. The elusive memristor: properties of basic electrical circuits ［J］. European Journal of Physics, 2009, 30(4):661-675.
［10］田晓波. 忆阻器电路特性与应用研究［D］. 长沙: 国防科学技术大学, 2009: 35-38.
图6b是MC低通滤波器的电路原理图，与RC低通滤波器不同的是用忆阻器替代了电阻，电容两端电压仍然作为低通输出端。由基尔霍夫电路定律可得
Vin=Mi+Vout=1WCdVoutdt+Vout (6)
令Vin=ejωt，Vout=H(jω)Vin,并将式(4)代入上式中得
ejωt=jωCH(jω)ejωtα+β∫t0(ejωt－H(jω)ejωt)dt+H(jω)ejωt(7)
两边同时消去一个ejwt化简得到
H(jω)－1=ω2CH(jω)jωα+β(1－H(jω))(ejωt－1) (8)
由式(8)可知，系统函数包含时间因子，因此由忆阻器和电容组成的滤波电路是一个时变系统，从而无法直接通过系统传递函数来描述MC滤波器。
图7是MC低通滤波器的Multisim仿真电路图，电容C2与忆阻器串联，电容C2两端的电压作为低通滤波器的输出电压，输入电压为V1(t)=8sinωt(V)。图8给出了不同频率下输入电压（蓝色）和输出电压（红色）的波形。从中可以看出，低频时，输出电压幅度比较大，衰减小，而高频时，输出电压幅度比较小，衰减大。因此MC低通滤波电路能保证低频信号顺利通过，高频信号得到抑制。图9给出了MC低通滤波器工作时忆阻器的电压电流波形及伏安特性曲线。
图7 MC低通滤波器Multisim仿真电路图
(a)f=5Hz
(b)f=10Hz
(c)f=20Hz
(d)f=100Hz
图8 MC低通滤波器输入输出电压波形
图9 MC低通滤波器工作时忆阻器的
电压电流波形及伏安特性曲线
4 电路实验与分析
为了观察忆阻器斜8字形的伏安特性曲线，必须将忆阻器的电流信号转化为电压信号才能利用示波器显示出来。注意到图1中忆阻器的电流与电阻R2是成正比的，比例系数等于电阻R2的大小即2000倍，因此只要测出R2两端的电压即可。这就需要用到一个电压减法电路如图11所示，输入信号U1和U2分别通过R1和R2接到运放的反相输入端和同相输入端，输出电压经过R4反馈到反相输入端。在MC低通滤波实验中，为了测量输出电压（电容C2两端的电压）的波形，也需要用到此电压减法电路。
图10 MC低通滤波电路实物图
图11 电压减法器电路
根据电阻分压的关系有
U+=R3R2+R3U2，U－=R4R1+R4U1+R1R1+R4U0(9)
由U+=U－可得
R3R2+R3U2=R4R1+R4U1+R1R1+R4U0(10)
本实验中取R1=R2=R3=R4=100kΩ，即Uo=U2-U1。
首先来检验单独忆阻器的伏安特性，取偏置电压为V1(t)=5sin10πt(V)，忆阻器的电压可以直接利用示波器测量，忆阻器电流利用电压减法器可以测量出，得到电压电流的时域波形和相图如图12所示。图12 a中黄色曲线为忆阻器两端的电压即偏置电压信号，绿色曲线为放大2000倍后的电流波形，这与Multisim的仿真结果保持一致。图12 b所示的忆阻器伏安特性曲线是一个斜8字型，验证了理论与仿真的正确性。改变偏置电压的频率可以得到不同形状的伏安特性曲线如图13所示，频率越高，斜8字型曲线越窄，忆阻效应减弱，当频率无穷大时，为一条直线，与普通的电阻伏安特性相同。
(a)忆阻器电压和电流波形
(b) 伏安特性曲线
图12 偏置电压为V1(t)=5sin10πt(V)时
忆阻器电压和电流波形及伏安特性曲线
接下来测试MC低通滤波器，取偏置电压为V1(t)=8sinωt(V)，输入电压可以直接利用示波器测量，电容两端的输出电压需要用到电压减法器测量，改变输入电压的频率可以得到输入输出的电压波形如图14所示。从图中可以看出随着输入电压频率的增大，输出电压的幅度得到了抑制，从而实现了低通滤波。
(a)f=5Hz
(b)f=10Hz
(c)f=20Hz
(d)f=100Hz
图13 不同频率正弦偏置下的忆阻器伏安特性曲线
(a)f=5Hz
(b)f=10Hz
(c)f=20Hz
(d)f=100Hz
图14 偏置电压改变频率MC
滤波器的输入输出电压波形
5 结 论
本文设计了一个具有斜8字型伏安特性曲线的忆阻器模拟电路，忆阻器的阻值会随着偏置电压的作用而发生改变。忆阻器模拟电路的Multisim仿真和电路实验验证工作表明本忆阻器的模拟电路能够较好地模拟忆阻器的特性，可以将其应用于有关忆阻器的其它电路中，为忆阻器拓展电路的研究打下基础。此外，本文还基于忆阻器模拟电路研究了由其构成的低通滤波电路，仿真结果和实验结果表明该滤波电路是一个时变电路，为进一步利用该电路的时变低通滤波特性奠定了基础。
参考文献
［1］ CHUA L O. Memristor-the missing circuit element ［J］.IEEE Trans Circuit Theory, 1971, 18(5): 507-519.
［2］ STRUKOV D B,SNIDER G S,STEWART D R, et al. The missing memristor found ［J］.Nature, 2008, 453:80- 83.
［3］ WILLIAMS S. How we found the missing memristor ［J］. IEEE Spectrum, 2008, 45(12):24-31.
［4］ CHUA L O, KANG S M. Memristive devices and systems［J］.Proc IEEE, 1976, 64 (2):209-223.
［5］ DI V M,PERSHIN Y V, CHUA L O. Circuit elements with memory: memristors, memcapacitors, and meminductors ［J］.Proc IEEE,2009,97(10):1717-1724.
［6］ RAJA T,MOURAD S. Digtial logic implementation in memristorbased crossbars ［C］ Int Conf Commun, Circ Syst. Santa Clara,CA,USA. 2009: 939-943
［7］ CONG J, XIAO BJ. mrFPGA: a novel FPGA architecture with memristorbased reconfiguration ［C］ IEEE Int Symp Nanoscale Architectures. Los Angeles, CA,USA.2001: 1-8.
［8］ LAIHO M, LEHTONEN E. Cellular nanoscale network cell with memristors for local implication logic and synapses ［C］ IEEE Int Symp Circ Syst. Turku, Finland. 2010: 2051-2054.
［9］ JOGLEKAR Y N,WOLFS J. The elusive memristor: properties of basic electrical circuits ［J］. European Journal of Physics, 2009, 30(4):661-675.
［10］田晓波. 忆阻器电路特性与应用研究［D］. 长沙: 国防科学技术大学, 2009: 35-38.
图6b是MC低通滤波器的电路原理图，与RC低通滤波器不同的是用忆阻器替代了电阻，电容两端电压仍然作为低通输出端。由基尔霍夫电路定律可得
Vin=Mi+Vout=1WCdVoutdt+Vout (6)
令Vin=ejωt，Vout=H(jω)Vin,并将式(4)代入上式中得
ejωt=jωCH(jω)ejωtα+β∫t0(ejωt－H(jω)ejωt)dt+H(jω)ejωt(7)
两边同时消去一个ejwt化简得到
H(jω)－1=ω2CH(jω)jωα+β(1－H(jω))(ejωt－1) (8)
由式(8)可知，系统函数包含时间因子，因此由忆阻器和电容组成的滤波电路是一个时变系统，从而无法直接通过系统传递函数来描述MC滤波器。
图7是MC低通滤波器的Multisim仿真电路图，电容C2与忆阻器串联，电容C2两端的电压作为低通滤波器的输出电压，输入电压为V1(t)=8sinωt(V)。图8给出了不同频率下输入电压（蓝色）和输出电压（红色）的波形。从中可以看出，低频时，输出电压幅度比较大，衰减小，而高频时，输出电压幅度比较小，衰减大。因此MC低通滤波电路能保证低频信号顺利通过，高频信号得到抑制。图9给出了MC低通滤波器工作时忆阻器的电压电流波形及伏安特性曲线。
图7 MC低通滤波器Multisim仿真电路图
(a)f=5Hz
(b)f=10Hz
(c)f=20Hz
(d)f=100Hz
图8 MC低通滤波器输入输出电压波形
图9 MC低通滤波器工作时忆阻器的
电压电流波形及伏安特性曲线
4 电路实验与分析
为了观察忆阻器斜8字形的伏安特性曲线，必须将忆阻器的电流信号转化为电压信号才能利用示波器显示出来。注意到图1中忆阻器的电流与电阻R2是成正比的，比例系数等于电阻R2的大小即2000倍，因此只要测出R2两端的电压即可。这就需要用到一个电压减法电路如图11所示，输入信号U1和U2分别通过R1和R2接到运放的反相输入端和同相输入端，输出电压经过R4反馈到反相输入端。在MC低通滤波实验中，为了测量输出电压（电容C2两端的电压）的波形，也需要用到此电压减法电路。
图10 MC低通滤波电路实物图
图11 电压减法器电路
根据电阻分压的关系有
U+=R3R2+R3U2，U－=R4R1+R4U1+R1R1+R4U0(9)
由U+=U－可得
R3R2+R3U2=R4R1+R4U1+R1R1+R4U0(10)
本实验中取R1=R2=R3=R4=100kΩ，即Uo=U2-U1。
首先来检验单独忆阻器的伏安特性，取偏置电压为V1(t)=5sin10πt(V)，忆阻器的电压可以直接利用示波器测量，忆阻器电流利用电压减法器可以测量出，得到电压电流的时域波形和相图如图12所示。图12 a中黄色曲线为忆阻器两端的电压即偏置电压信号，绿色曲线为放大2000倍后的电流波形，这与Multisim的仿真结果保持一致。图12 b所示的忆阻器伏安特性曲线是一个斜8字型，验证了理论与仿真的正确性。改变偏置电压的频率可以得到不同形状的伏安特性曲线如图13所示，频率越高，斜8字型曲线越窄，忆阻效应减弱，当频率无穷大时，为一条直线，与普通的电阻伏安特性相同。
(a)忆阻器电压和电流波形
(b) 伏安特性曲线
图12 偏置电压为V1(t)=5sin10πt(V)时
忆阻器电压和电流波形及伏安特性曲线
接下来测试MC低通滤波器，取偏置电压为V1(t)=8sinωt(V)，输入电压可以直接利用示波器测量，电容两端的输出电压需要用到电压减法器测量，改变输入电压的频率可以得到输入输出的电压波形如图14所示。从图中可以看出随着输入电压频率的增大，输出电压的幅度得到了抑制，从而实现了低通滤波。
(a)f=5Hz
(b)f=10Hz
(c)f=20Hz
(d)f=100Hz
图13 不同频率正弦偏置下的忆阻器伏安特性曲线
(a)f=5Hz
(b)f=10Hz
(c)f=20Hz
(d)f=100Hz
图14 偏置电压改变频率MC
滤波器的输入输出电压波形
5 结 论
本文设计了一个具有斜8字型伏安特性曲线的忆阻器模拟电路，忆阻器的阻值会随着偏置电压的作用而发生改变。忆阻器模拟电路的Multisim仿真和电路实验验证工作表明本忆阻器的模拟电路能够较好地模拟忆阻器的特性，可以将其应用于有关忆阻器的其它电路中，为忆阻器拓展电路的研究打下基础。此外，本文还基于忆阻器模拟电路研究了由其构成的低通滤波电路，仿真结果和实验结果表明该滤波电路是一个时变电路，为进一步利用该电路的时变低通滤波特性奠定了基础。
参考文献
［1］ CHUA L O. Memristor-the missing circuit element ［J］.IEEE Trans Circuit Theory, 1971, 18(5): 507-519.
［2］ STRUKOV D B,SNIDER G S,STEWART D R, et al. The missing memristor found ［J］.Nature, 2008, 453:80- 83.
［3］ WILLIAMS S. How we found the missing memristor ［J］. IEEE Spectrum, 2008, 45(12):24-31.
［4］ CHUA L O, KANG S M. Memristive devices and systems［J］.Proc IEEE, 1976, 64 (2):209-223.
［5］ DI V M,PERSHIN Y V, CHUA L O. Circuit elements with memory: memristors, memcapacitors, and meminductors ［J］.Proc IEEE,2009,97(10):1717-1724.
［6］ RAJA T,MOURAD S. Digtial logic implementation in memristorbased crossbars ［C］ Int Conf Commun, Circ Syst. Santa Clara,CA,USA. 2009: 939-943
［7］ CONG J, XIAO BJ. mrFPGA: a novel FPGA architecture with memristorbased reconfiguration ［C］ IEEE Int Symp Nanoscale Architectures. Los Angeles, CA,USA.2001: 1-8.
［8］ LAIHO M, LEHTONEN E. Cellular nanoscale network cell with memristors for local implication logic and synapses ［C］ IEEE Int Symp Circ Syst. Turku, Finland. 2010: 2051-2054.
［9］ JOGLEKAR Y N,WOLFS J. The elusive memristor: properties of basic electrical circuits ［J］. European Journal of Physics, 2009, 30(4):661-675.
［10］田晓波. 忆阻器电路特性与应用研究［D］. 长沙: 国防科学技术大学, 2009: 35-38.
